詹 森，王輝豐

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣東 廣州 510665；

2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

構(gòu)造奇數(shù)階幻方完美幻方和對稱完美幻方的新方法

詹 森1，王輝豐2

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 廣東 廣州 510665；

2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

給出構(gòu)造奇數(shù)階幻方、完美幻方和對稱完美幻方的新方法及其證明.這些方法可分別得到個(gè)不同的奇數(shù)n階幻方、完美幻方和對稱完美幻方.

幻方；完美幻方；對稱完美幻方

我們在文[1-5]討論了構(gòu)造幻方的各種方法，如加法、六字法和代碼法等.在此基礎(chǔ)上，我們利用文[1]的余函數(shù)進(jìn)一步研究幻方的構(gòu)造方法，得到新的更好的結(jié)果，分別得到(( n-1)!)2,(( n-1)!)2和2m(2m-1(( m -1)!))2個(gè)不同的奇數(shù)n階幻方、完美幻方和對稱完美幻方，而文[1]是局限于只能構(gòu)造一個(gè)這三類幻方.下面我們對余函數(shù)[1]

（n、t是自然數(shù)，t|n 表示t被n整除，R（t）表示t除以n的余數(shù)）證明結(jié)果：

證明1）對n=2m+1（m=1，2，…自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，m時(shí)，由余函數(shù)定義知r（2i）=2i是一個(gè)2～2m公差為2的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=m+1，m+2，…，2m+1時(shí)，r（2i）是一個(gè)1～2m+1公差為2的等差有限數(shù)列.所以，r（2i）（i=1，2，…，n）是1～n的自然數(shù).

對n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，s時(shí)，r（4i）是一個(gè)4～4s公差為4的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=s+1，…，2s時(shí)，r（4i）是一個(gè)3～4s-1公差為4的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=2s+1，…，3s時(shí)，r（4i）是一個(gè)2～4s-2公差為4的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=3s+1，…，4s+1時(shí)，r（4i）是一個(gè)1～4s+1公差為4的等差有限數(shù)列.所以，對n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（4i）是1～n的自然數(shù).同理可證，對n=2m+1=2（2s+1）+1=4s+3（s=0，1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（4i）是1～n的自然數(shù).

綜上所述，對n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（4i）也是1～n的自然數(shù).

2）對n=2m+1，m=1，2，…為自然數(shù).

① 對n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，2t時(shí)，由余函數(shù)定義知r（3i）是一個(gè)3～6t公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=2t+1，…，4t時(shí)，r（3i）是一個(gè)2～6t-1公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=4t+1，…，6t+1時(shí)，r（3i）是一個(gè)1～6t+1公差為3的等差有限數(shù)列.所以，對n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（3i）是1～n的自然數(shù).

② 對n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，2t+1時(shí)，r（3i）是一個(gè)3～6t+3公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=2t+2，…，4t+3時(shí)，r（3i）是一個(gè)1～6t+4公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=4t+4，…，6t+5時(shí)，r（3i）是一個(gè)2～6t+5公差為3的等差有限數(shù)列.所以，對n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（3i）是1～n的自然數(shù).

③ 對n=2m+1=2（3t+1）+1=6t+3（t=0，1，2，…），當(dāng)i=1，2，…，2t+1時(shí)，r（3i-1）是一個(gè)2～6t+2公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=2t+2，…，4t+2時(shí)，r（3i-1）是一個(gè)2～6t+2公差為3的等差有限數(shù)列；當(dāng)i=4t+3，…，6t+3時(shí)，是一個(gè)2～6t+2公差為3的等差有限數(shù)列.所以，

至此預(yù)備定理證畢.我們還不難得到

推論對n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，則r（2i+C），r（4i+C）仍是1～n的自然數(shù)；對n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，…的自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，則r（3i+C），r（3i-1）仍是1～n的自然數(shù)（其中C為任意給定的自然數(shù)）.

我們分三部份討論如下：

1 奇數(shù)階幻方的構(gòu)造法

第一步 安裝基方陣.

對n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)），設(shè)n階基方陣[1]A位于第i行、第j列的元素為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1個(gè)基數(shù)

1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1

可隨意安裝到如下n-1個(gè)位置

基數(shù)安裝完畢后，得到基方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.安裝于第j列的基元記為ncj+1（j=1，2，…，n），在每一列站點(diǎn)ncj+1的下方（包括該站點(diǎn)），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n，取定d1=1，其余dk取遍2～n的自然數(shù)）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.

第二步 對基方陣A施行雙移，安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

把A中第一列每一行的數(shù)（即行標(biāo)[1]）移至B中同一行相應(yīng)于A的基元所在的位置，A中各行的其他元素順移至B中，就得一個(gè)n階方陣B.

這樣，經(jīng)過以上兩步所得的方陣B就是一個(gè)n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)）階幻方（見定理1）.這種安裝與文[2]的六字法有些不同，為了下文敘述方便起見，這里不把以上兩步安裝稱為任安基元雙順法（六字法），而簡稱為余函數(shù)法.

由于基數(shù)安裝結(jié)構(gòu)可有( )n-1!種不同的選擇，各列數(shù)的安裝有(n -1)!種不同的選擇，而移入方式也有其他可能的選擇，所以，利用以上方法至少可構(gòu)造出(( n-1)!)2個(gè)不同的幻方.

定理1由以上余函數(shù)法得到的n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)）階方陣B是一個(gè)幻方.

證明設(shè)基方陣A安裝于第j列的基數(shù)為ncj+1（j=1，2，…，n），則

由上述行的表達(dá)式可得出基方陣A位于第i行、第j列的元素為

設(shè)方陣B位于第i行、第j列元素為b（i，j），因?yàn)榉疥嘇第m+1-k（k=0，1，2，…，m）行的元素向右順移k個(gè)位置，所以

綜上所述方陣B是一個(gè)幻方.

例1 構(gòu)造一個(gè)9階幻方.

根據(jù)以上余函數(shù)法，取c5=4，c1=2，c2=5，c3=0，c4=7，c6=8，c7=1，c8=3，c9=6；dk=k，k=1，2，…，9，我們按以上兩步，安裝得基方陣A（略）和一個(gè)9階幻方（略）.

2 奇數(shù)n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方的構(gòu)造法

第一步 與上述方法相同.

第二步 對基方陣A施行雙移安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

設(shè)方陣B中位于第i行、第j列的元素為b（i，j），方陣A中第m+1-k（k=0，1，…，m）行的元素向右順移2k個(gè)位置，所以

以上安裝第一步與六字法相同，第二步的順移是用余函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，為了區(qū)別于其他方法，我們將以上安裝方法叫做余函數(shù)法.利用此方法可構(gòu)造出(( n-1)!)2個(gè)不同的完美幻方.

定理2利用余函數(shù)法安裝得到的n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階方陣B是一個(gè)完美幻方.

證明n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階方陣B位于第i行、第j列的元素為

由余函數(shù)的定義、預(yù)備定理及其推論得

第i行元素的和（求和過程中，2i-1和m+3i-1（i=1，2，…，n）都是固定的）為

即各行元素之和都等于幻方常數(shù).

第j列元素的和（在求和過程中，j-1和m+j-1（j=1，2，…，n）都是固定的）為

即各列元素之和都等于幻方常數(shù).

過b（h，1）（h=1，2，…，n）從左上角至右下角的對角線以及與其同方向的泛對角線上的元素b（i，j）而言，有r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），在求和過程中，n-h和n+m-h都是固定的，所以，其上各元素之和為

即從左上角至右下角的對角線以及每一條與其同方向的泛對角線上的元素之和都等于幻方常數(shù).

過b（h，n）（h=1，2，…，n）從左下角至右上角的對角線以及與其同方向的泛對角線上的元素b（i，j）而言，有r（i+j）=h（h=1，2，…，n），在求和過程中h-1和m+h-1都是固定的，所以，其上各元素之和為

即從左下角至右上角的對角線以及每一條與其同方向的泛對角線上的元素之和都等于幻方常數(shù).

由以上事實(shí)可見，方陣B是一個(gè)完美幻方.

顯然，由余函數(shù)法可得出(( n -1)!)2個(gè)不同的n階完美幻方（其中n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）.

例2 構(gòu)造11階完美幻方.

根據(jù)余函數(shù)法，取c6=5，c1=3，c2=6，c3=8，c4=4，c5=1，c7=0，c8=9，c9=10，c10=2，c11=7，d1=1，d2=5，d3=7，d4=10，d5=3，d6=8，d7=2，d8=9，d9=11，d10=4，d11=6.我們得到基方陣（見圖1）和一個(gè)11階完美幻方（見圖2）.

圖1 基方陣AFig.1Basic matrix square A

圖211 階完美幻方Fig.211-order perfect magic square

3 奇數(shù)n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階對稱完美幻方的構(gòu)造法

第一步取定a（1，m+1）=mn+1，注意到基數(shù)列中處于中心對稱位置上的兩個(gè)數(shù)，其和都等于（n-1）n+2，我們共有m對這樣的基數(shù)，在每對基數(shù)中隨意選取一個(gè)基數(shù)，將這m個(gè)基數(shù)隨意安裝到如下m個(gè)位置：

記a（m+1-k，k+1）=nck+1+1（k=0，1，2，…，m-1）；余下的m個(gè)基數(shù)安裝到如下m個(gè)位置：

記a（m+1+k，n-k+1）=ncn-k+1+1（k=1，2，…，m），但必須滿足條件ck+cn-k+1=n-1（k=1，2，…，m）.

基數(shù)安裝完畢后，得到方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到1～n的自然數(shù)列中處于中心對稱位置上的兩個(gè)自然數(shù)，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我們共有m-1對這樣的自然數(shù)，在每對自然數(shù)中隨意選取一個(gè)自然數(shù)，將這m-1個(gè)自然數(shù)隨意排序依次記為dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1個(gè)自然數(shù)記為dn-k+1（k=2，3，…，m），但必須滿足條件：dk+dn-k+1=n+1（k=2，3，…，m）.

在第j列基元ncj+1的下方（包括該基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.由此得到基方陣A.

第二步 與余函數(shù)法的第二步相同，所得方陣B就是一個(gè)n階對稱完美幻方（見定理3）.

以上安裝方法與余函數(shù)法的不同之處，在于對cj，dk的安裝增加了對稱的要求.我們不妨把以上方法稱為對稱·余函數(shù)法.

本文作者已對奇數(shù)階幻方制作成一種“幻方生成器”，取得了專利權(quán)[6].對其他各種幻方也可設(shè)計(jì)、制作新的幻方生成器.

定理3用對稱·余函數(shù)法得到的方陣B是一個(gè)n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階對稱完美幻方.

證明由定理2知，方陣B是一個(gè)n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方，我們只須證明方陣B是中心對稱，則定理3就已成立.

元素b（i，j）=ncr（2i+j-1）+dr（m+3i+j-1）（i，j=1，2，…，n）的在其中心對稱位置上的元素為

即方陣B的元素是中心對稱的.由此可見，方陣B是一個(gè)對稱完美幻方.

例3 構(gòu)造一個(gè)13階對稱完美幻方.

根據(jù)對稱·余函數(shù)法，取c7=6，c1=5，c2=2，c3=9，c4=12，c5=1，c6=4，c13=7，c12=10，c11=3，c10=0，c9=11，c8=8.d7=7，d1=1，d13=13，d2=9，d3=6，d4=3，d5=12，d6=4；d8=10，d9=2，d10=11，d11=8，d12=5.我們得到基方陣A（見圖3）和一個(gè)13階對稱完美幻方（見圖4）.

圖3 基方陣AFig.3 Basic matrix square A

圖413 階對稱完美幻方Fig.413-order symmetrical-perfect magic square

[1]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(4):396-402.

[2]王輝豐,詹森.關(guān)于構(gòu)造三類奇數(shù)階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(1):12-15.

[3]詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(3):250-254.

[4]詹森,王輝豐.構(gòu)造鑲邊幻方的代碼法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(2):152-157.

[5]詹森.關(guān)于構(gòu)造幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(2):131-132.

[6]詹森,王輝豐.一種幻方生成器:中國,CN2019559570[P/OL].(2011-08-31)[2011-09-09].http://www.sipo.gor.cn.

The New Structure Methods to Construct Odd Order Magic Square Perfect Magic Square and Symmetrical Perfect Magic Square

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangdong510665，China；
2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

The new structure methods and their theoretical proof to construct oddnorder magic square,perfect magic square and symmetrical perfect magic square were qiven.By using these methods,andof different magic squares of ordern;perfect magic squares,symmetrical perfect magic squares sev?erally can be obtained.

magic square；perfect magic square；symmetrical perfect magic square

O 157.6

A

1674-4942（2011）03-0265-05

2011-04-25

黃 瀾