聶春笑

（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

一種4m階幻方的構(gòu)造方法

聶春笑

（合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

給出一個(gè)雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法，并證明按照這種方法構(gòu)造出的幻方具有四階幻方類似的性質(zhì)，同時(shí)這類幻方具有特別的對稱性.

雙偶數(shù)階幻方；構(gòu)造；四階幻方

楊輝在其1275年成書的《續(xù)古摘奇算法》上卷里面給出了兩個(gè)四階幻方并指明其中的陰圖的構(gòu)造方法（這里只給出其中的陰圖，如矩陣（1）所示，本文的幻方均用矩陣形式表達(dá)）為“以十六子依次第作四行排列.先以外四角對換一換十六，四換十三，復(fù)以內(nèi)四角對換六換十一，七換十”[1].丟勒在其的著名銅版畫《憂郁》里也出現(xiàn)了一個(gè)神秘的四階幻方（如矩陣（2）所示），特別的，其最后一行中間的兩個(gè)數(shù)字組合1514為這幅畫的創(chuàng)作年份.關(guān)于這兩個(gè)幻方的討論已經(jīng)有很多了.這里要提及的是一個(gè)它們均具有的特別性質(zhì)，即對角線上的元素平方之和等于非對角線上的元素平方之和，對角線上的元素的立方之和等于非對角線元素的立方之和.

由于四階幻方的對角線元素與非對角線元素的個(gè)數(shù)是相等的，因此我們進(jìn)一步猜測應(yīng)該是存在一般的對角線元素與非對角線元素之間的關(guān)系滿足（3）、（4）式的雙偶數(shù)階幻方.

當(dāng)4m=4（也即2m-1=1）的時(shí)候就是上面我們說的楊輝與丟勒的幻方所給出的性質(zhì).這個(gè)性質(zhì)看起來比較苛刻，但實(shí)際上我們可以構(gòu)造多種方法來滿足上述要求，并且還有大量的幻方滿足這個(gè)性質(zhì).本文僅就一種較特殊的方法給出證明.

1 一種構(gòu)造雙偶數(shù)階幻方的方法

雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法多種多樣，在一些中文專著上均有一些較經(jīng)典的方法[2-4]，而在大量的論文中也給出了雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法，這里不再一一列舉.其中在文獻(xiàn)[3]中給出了一種稱為“調(diào)換對稱行、列法”的雙偶數(shù)階幻方的構(gòu)造方法，本文將這個(gè)方法進(jìn)行推廣，并給出完整證明.

方法：

（1）將1…（4m）2按照從左到右，從上到下按大小排列成一個(gè)方陣（如矩陣（5）所示），記為方陣M=（ai）j；

（2）從1…2m中任取m個(gè)數(shù)字，不妨記為i1，i2…im，再從2m+1…4m中對偶的選取m個(gè)數(shù)4m-i1+1，4m-i2+1…4m-im+1，將這2m個(gè)數(shù)總括為一個(gè)集合，記為T1={i1，i2…im，4m-i1+1，4m-i2+1…4m-im+1}；

（3）對于T1中的元素i，將方陣M=（ai）j中的對應(yīng)的行（或列）倒置，否則則該行（或列）保持不變，形成方陣M=()；

（4）類似（2）中的方式，再選取2m個(gè)數(shù)，做成集合T2={j1，j2…jm，4m-j1+1，4m-j2+1…4m-jm+1}，其中T1與T2可以相同，也可以不同；

（5）對于T2中的元素j，將（3）中形成的方陣M=)對應(yīng)的列（或行）倒置形成M=).

為簡便，上述方法中的T1與T2稱為變換集.

2 證明

下面給出上面的方法的證明.根據(jù)上述的構(gòu)造方法，我們可以輕易的追溯對于M2中的元素在初始方陣M=（ai）j中的位置，而對于M中的任意元素都有一個(gè)表達(dá)式，因而用這種回溯的方式可以把M2中的行列元素之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化一般的數(shù)字計(jì)算.

對于上面的構(gòu)造方法，有如下兩條數(shù)字的變換規(guī)則，這里選取首先進(jìn)行行變換再進(jìn)行列變換的情形進(jìn)行說明：

下面分別驗(yàn)證M2的確滿足我們所要求的條件，首先證明其滿足幻方的條件，然后再證明其滿足前面所提到的兩個(gè)條件.

（1）這里只證明對于M2，其的行元素之和為幻和，對于列與對角線的驗(yàn)證是類似的.對于M2的第i行，不妨設(shè)i∈T1，（其他情形類似的處理），則有等式

對于上面兩個(gè)求和項(xiàng)分別計(jì)算如下，

3 一個(gè)例子

下面給出一個(gè)8階幻方的構(gòu)造的例子，首先構(gòu)造如（5）所示的方陣，

可以直接驗(yàn)證上述的方陣的確滿足我們的要求.事實(shí)上這種基于對稱構(gòu)造的幻方還有很多其他的性質(zhì)，比如在上面的例子中如果取變換集T2={1，4，5，8}或者T2={2，4，5，7}的話那么最后形成的幻方的中間將存在一個(gè)四階子幻方.對于高階時(shí)的結(jié)果是類似的，并且如果取一些特殊的變換集時(shí)將會(huì)出現(xiàn)多個(gè)子幻方的嵌套.

4 其他的初始方陣

對于上述的方法可以以不同的形式推廣開來，下面僅就改變初始方陣的形式來給出一些小小的改進(jìn).改變初始方陣為其他類型的初始方陣而不改變具體的操作過程的話也可以得到幻方.下面給出具體的幾個(gè)形式.

將初始方陣分割為若干同階的小方陣并按照一定規(guī)律排列也可以獲得幻方，下面以8階幻方的構(gòu)造為例，首先給出由2×2方陣排列的初始方陣如（8）所示，（9）即為對應(yīng)構(gòu)造出的幻方，變換集選取和上面的例子一致，下面的變換集選取均與上面例子中的一致.

也可以用4×4方陣進(jìn)行類似的排列，如（10）即為一種排列方式，（11）為對應(yīng)的幻方，若與（5）類似，但是每行均用公差為d|4m的等差數(shù)列也可以獲得合適的初始方陣，如（12）所示的即為公差為2的初始方陣，（13）為對應(yīng)形成的幻方.

若將（12）中的任意若干對偶的行（或列）交換則依然可以作為一個(gè)初始陣，比如1行與8行交換，4行與5行交換，則最后形成的幻方是由（13）的對應(yīng)的幻方1行與8行交換，4行與5行交換形成的.

5 幻跡

上世紀(jì)初，建筑師C.F.布拉頓發(fā)現(xiàn)將幻方中的數(shù)字依次連接，可以獲得一些對稱的圖案，這種圖案稱為幻跡（也稱為幻直線）.

由于上面的方法是對稱式的構(gòu)造幻方的，因而對應(yīng)的幻跡也呈現(xiàn)出很好的對稱性，下面僅給出（7）對應(yīng)的幻跡，見圖1.

圖1 幻方（7）的幻跡Fig.1The locus of magic square（7）

6 結(jié)論

本文給出了一種對稱式構(gòu)造雙偶數(shù)階幻方的方法，并證明了其具有和楊輝與丟勒在《續(xù)古摘奇算法》以及《憂郁》中給出的4階幻方類似的性質(zhì).這類方法可以構(gòu)造大量的幻方，并且這類幻方具有非常對稱的幻跡.除了證明的情形外，一些其他形式初始方陣在具體方法不變的前提下也可構(gòu)造出幻方，一般的規(guī)律與證明還需要進(jìn)一步的研究.

[1]孫宏安.楊輝算法[M].沈陽:遼寧教育出版社,1997:384-385.

[2]吳鶴玲.幻方及其他[M].北京:科學(xué)出版社,2004:50-72.

[3]舒文中.幻方[M].廣州:廣東科技出版社,1991:2-41.

[4]歐陽錄.幻方與幻立方的當(dāng)代理論[M].長沙:湖南教育出版社,2004:67-84.

A Construction Method for the Magic Square of Order 4m

NIE Chunxiao
（School of Management，Hefei University of Technology，Hefei230009，China）

A method was given to construct the doubly even order magic square,and it was proved that the magic square constructed by this method have the similar properties with the magic squares of order four,and these magic squares have symmetrical properties.

doubly even order magic square；construct；magic square of order 4

O 157

A

1674-4942（2011）03-0270-04

2011-04-25

畢和平