趙 娟，金燕生，劉征福

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

復(fù)合二項(xiàng)分布下多險種的負(fù)風(fēng)險模型

趙 娟，金燕生，劉征福

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

考慮了離散的復(fù)合二項(xiàng)分布下多險種的負(fù)風(fēng)險模型.其中，保險公司的保費(fèi)收入是一個負(fù)的常數(shù)，并且索賠過程為復(fù)合二項(xiàng)過程模型的多險種風(fēng)險過程.通過構(gòu)建有關(guān)索賠過程的期望方程給出了調(diào)節(jié)系數(shù)的定義，并通過鞅論得到了破產(chǎn)概率的Lundberg不等式(倫德伯格不等式)，運(yùn)用更新理論與遞歸的手法獲得了破產(chǎn)概率的關(guān)系式以及破產(chǎn)概率確切的表達(dá)式.而且，最后根據(jù)破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式給出了關(guān)于破產(chǎn)概率的一個極限值.

負(fù)風(fēng)險； 復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險過程； 破產(chǎn)概率； Lundberg不等式

0 引言

在經(jīng)典的復(fù)合二項(xiàng)過程中,保險公司單位時間的保費(fèi)收入為一個常數(shù).文獻(xiàn)[1]給出了u=0的破產(chǎn)概率與一些u≥0的破產(chǎn)概率的計(jì)算公式.近年來，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注負(fù)風(fēng)險的情況，如文獻(xiàn)[2-5].其中，生命年金或養(yǎng)老保險就是最典型的例子.文獻(xiàn)[2]中的風(fēng)險過程為相依的負(fù)風(fēng)險的和,并對比結(jié)果研究了相互獨(dú)立的險種之間是如何影響破產(chǎn)概率的.雖然這些離散的保險風(fēng)險模型考慮了負(fù)風(fēng)險過程,并最后得出了破產(chǎn)概率的計(jì)算公式和Lundberg不等式,但他們僅僅是研究了單險種的風(fēng)險模型，而且在文獻(xiàn)[5]中，各個時期保險代理人對投保人支付的年金為1單位元.

我們考慮的多險種負(fù)風(fēng)險模型中,保險人的保費(fèi)收入是一個負(fù)的常數(shù)，并且索賠過程為復(fù)合二項(xiàng)過程的模型.

1 復(fù)合二項(xiàng)分布下多險種負(fù)風(fēng)險模型

復(fù)合二項(xiàng)分布下多險種的負(fù)風(fēng)險模型是一個離散的過程,

并且它滿足

(a)R(n)是保險人在第n個時期末初始準(zhǔn)備金為u的盈余，u≥0.

(b)保險公司在每個周期向投保人支付年金c單位元，c是一個大于零的常數(shù).

(c)m重險種在每個時期發(fā)生索賠的概率分別為p(1),p(2),…,p(m),而且不會發(fā)生索賠的概率分別為q(1)=1-p(1),q(2)=1-p(2),…,q(m)=1-p(m),m=1,2,….

(d)索賠序列{Xi(1)}i≥1,{Xi(2)}i≥1,…,{Xi(m)}i≥1分別為獨(dú)立同分布的正隨機(jī)變量序列，它們的概率分布分別為

pk(1)=P(X(1)=k),pk(2)=P(X(2)=k), …,pk(m)=P(X(m)=k),k=1,2,…，

均值分別為μ1=E(X(1)),μ2=E(X(2)),…,μm=E(X(m)).

而且索賠序列{Xi(1)}i≥1,{Xi(2)}i≥1,…,{Xi(m)}i≥1與復(fù)合二項(xiàng)過程{N1(n);n=0,1,2,…},{N2(n);n=0,1,2,…,},…,{Nm(n);n=0,1,2,…},m=1,2,…，相互獨(dú)立.

Tu=inf{n≥0|R(n)=u+X(n)<0}表示初始準(zhǔn)備金為u的破產(chǎn)時刻，

ψ(u)=P(Tu<∞)表示初始準(zhǔn)備金為u的破產(chǎn)概率,則生存概率為?(u)=1-ψ(u).

2 主要結(jié)果

定理1對復(fù)合二項(xiàng)分布下m重險種的負(fù)風(fēng)險過程{R(n)=u+X(n),n=0,1,2,…}，存在g(r)使得

E[exp(-rX(n))]=exp(ng(r)).

證明{Xi(1)}i≥1，{Xi(2)}i≥1，…，{xi(m)}i≥1均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列而且與復(fù)合二項(xiàng)過程{N1(n);n=0,1,2,…}，{N2(n);n=0,1,2,…}，…，{Nm(n);n=0,1,2,…}，m=1,2,…，相互獨(dú)立.所以對于n=0,1,2,…；m=1,2,…,

E(exp(-rX(m)))kP(m)kq(m)n-kCnk].

令

則E[exp(-rX(n))]=exp(ng(r))，即證.

由于

定義1對復(fù)合二項(xiàng)過程的m重險種的負(fù)風(fēng)險過程{X(n);n=0,1,2,…}，F(xiàn)={Fn;n=0,1,2,…}稱為濾波，如果Fn=δ{X(m);m≤n}.

如果{T≤n}∈{Fn}，n≥0，隨機(jī)變量T∶Ω→[0,∞)是一個停時.

引理1復(fù)合二項(xiàng)分布下m重負(fù)風(fēng)險過程中，破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式：ψ(u)≤e-Ru，其中R=sup{r>0;g(r)≤0}稱為Lundberg上界，并且當(dāng)m=1時R=R0.

證明根據(jù)定義Tu是一個停時.對任意的n0<∞,則n0∧Tu是一個停時.由定理1有：?m≤n，

e-ru=Mu(0)=E[Mu(n0∧Tu)]=E[Mu(n0∧Tu)|Tu≤n0]P{Tu≤n0}+

E[Mu(n0∧Tu)|Tu≥n0]P{Tu≥n0}

≥E[Mu(Tu)|Tu≤n0]P{Tu≤n0}.

(1)

顯然，在{Tu<∞}上,R(Tu)=u+X(Tu)≤0.因此，由(1)式，我們可得

從而可得

可見，以上結(jié)論是對c=1，m=1的情況[5]的一個推廣.同理，以下引理亦然.

引理2在復(fù)合二項(xiàng)分布下m重險種的負(fù)風(fēng)險過程中，令j，k為兩個正變量且0≤k≤j，那么：

(i)ψ(j)=ψ(k)ψ(j-k-1);

(ii)ψ(n)=ψn+1(0).

證明(i)對?0≤k≤j，

ψ(j)=P(j+X(n)<0,?n≥0)

=P(j+X(n)<0,?n≥0|k+X(m)<0,?m>0)P(k+X(m)<0,?m>0)

+P(j+X(n)<0,?n≥0|k+X(m)≥0,?m>0)P(k+X(m)≥0,?m>0)

=P(j+X(n′)=-1,?n′≥0|k+X(m′)=-1,?m′>0)P(k+X(m′)=-1,?m′>0)+0

=P(j-k-1+X(n′-m′)=-1,?n′,m′≥0)P(k+X(m′)=-1,?m′>0)

=ψ(j-k-1)ψ(k).

(ii)由(i)，很容易地可得ψ(1)=ψ2(0)，由歸納假設(shè)，則ψ(n)=ψn+1(0).

證明根據(jù)引理2的(ii)，則ψ(j)=ψj+1(0)，那么ψ(j)=e(j+1)ln ψ(0).令r=-lnψ(0)，可得

ψ(j)=e-r(j+1),ψ(0)=e-r.

(2)

在m重險種的負(fù)風(fēng)險過程

中，當(dāng)初始準(zhǔn)備金為j，j=1,2,…，如果在第一個時期沒有索賠發(fā)生，準(zhǔn)備金變?yōu)閖-c，如果在第一個時期發(fā)生了索賠量為x的索賠，準(zhǔn)備金變?yōu)閖-c+x.因此，由全概率公式可得

(3)

將(2)式代入 (3)式，得

(4)

將(4)化簡整理，得

(5)

從而由(5)式我們得到一個正解R，因此我們有ψ(j)=e-R(j+1)，且ψ(0)=e-R.

當(dāng)m=1時，式(5)的正解R是唯一的，并且與定理1中的R0相等.

[1] 龔日朝，楊向群．復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001， 18(2)：95-99．

[2] 董迎輝，王過京．相關(guān)負(fù)風(fēng)險和的模型的概率[J]．應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)， 2004， 20(3)： 301-306．

[3] 趙朋，馬松林．雙負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]．合肥學(xué)院學(xué)報(bào)， 2007， 17(1)： 21-23．

[4] 趙培臣，王志攀，張春梅，等．雙復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]．廣西大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版，2007，32(z1)：69-71．

[5] Luo Kui，Hu Yijun．The negative risk model with the compound binomial process[J]．Journal of Math, 2009, 29(4)：309-412．

NegativeMultipleLineRiskModelwithCompoundBinomialProcess

ZHAO Juan, JIN Yan-sheng, LIU Zheng-fu

(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The negative multiple line risk model of discrete process was considered.Insurers’ premium income was a negative constant, and claims models were compound binomial risk process.By constructing the expectations about claim process, the adjustment coefficient of definition was given. Then in line with martingale theory, the Lundberg inequality of ruin probability was concluded, furthermore,ruin probability formula and the exact formula of ruin probability were obtained by the updated theory and recursion. And the limit of ruin probability was given at the end of the paper according to the exact formula of ruin probability.

negative risk； compound binomial process； ruin probability； Lundberg inequality

O 211.9

A

1671-6841(2011)03-0034-04

2010-04-28

河北省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目，編號Z2008136.

趙娟(1984-)，女，碩士研究生，主要從事保險精算研究，E-mail: juanz-84@163.com.