●(玉門(mén)市第一中學(xué) 甘肅玉門(mén) 735211)

面對(duì)困惑探究本源

●謝鵬作(玉門(mén)市第一中學(xué) 甘肅玉門(mén) 735211)

剛學(xué)習(xí)完概率,筆者找了一道2010年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題作為章末復(fù)習(xí)用,然而在課堂練習(xí)時(shí)運(yùn)用各種解法都遭遇了尷尬.面對(duì)困惑,筆者認(rèn)為有進(jìn)一步研究的價(jià)值,現(xiàn)將課堂實(shí)錄供述如下,以饗讀者.

題目某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線(xiàn)上40件產(chǎn)品作為樣本,稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495],(495,500],…,(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖1所示．

圖1

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過(guò)505 g的產(chǎn)品數(shù)量；

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505 g的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列；

(3)從流水線(xiàn)上任取5件產(chǎn)品,求恰有2件產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505 g的概率．

以下是學(xué)生的解法,分別寫(xiě)到黑板上.

解(1)質(zhì)量超過(guò)505 g的產(chǎn)品數(shù)量為12件(過(guò)程略).

表1 Y的分布列

方法2Y的分布列如表2所示：

表2 Y的分布列

方法3超過(guò)505 g的產(chǎn)品數(shù)量Y可能的取值有0,1,2，其中

所以Y的分布列如表3所示：

表3 Y的分布列

因?yàn)榈?2)小題的3種方法不同,所以沒(méi)有讓學(xué)生寫(xiě)出第(3)小題.在大家的相互討論下,否定了方法1,多數(shù)學(xué)生肯定了方法2和方法3.此時(shí)有學(xué)生發(fā)表看法，方法2和方法3分布列中對(duì)應(yīng)的概率不相等，說(shuō)明方法2有誤,但不知誤在何處?頓時(shí),教室一片寂靜,陷入困惑之中.

方法2錯(cuò)在哪兒呢?(過(guò)了2分鐘)有個(gè)小組的學(xué)生顯得很自信，認(rèn)為是將頻率看成概率時(shí)產(chǎn)生的誤差.如當(dāng)Y=0時(shí),方法2中P(Y=0)=0.72=0.49(0.7只是頻率而不是概率),方法3中

是頻率惹的禍?誤差還是錯(cuò)誤?錯(cuò)誤的本源在哪?隨著問(wèn)題的提出，學(xué)生爭(zhēng)先恐后地探索著……(2分鐘后)見(jiàn)學(xué)生沒(méi)有動(dòng)靜,教師開(kāi)始點(diǎn)撥.

P(Y=0)=0.72中的第1個(gè)0.7指的是從40件樣品中抽取1件不超過(guò)505 g的概率(學(xué)生齊答,看來(lái)0.7就是概率),此時(shí)剩39件樣品,不超過(guò)505 g的有27件,從中抽取1件不超過(guò)505 g的概率為第2個(gè)0.7嗎?此時(shí),學(xué)生恍然大悟,原來(lái)錯(cuò)誤地將不放回抽樣看成放回抽樣!

很快,學(xué)生得到了方法2的更正與第(3)小題的解答.

方法2的更正

Y的分布列略.

(3)該問(wèn)題從流水線(xiàn)上抽取,因此超過(guò)505 g的產(chǎn)品數(shù)ξ～B(5，0.3),故

若從樣本中抽取,則

這2種結(jié)果明顯不同,而將從樣本中抽取看成有放回抽樣,則

因此,從流水線(xiàn)上抽取,雖然不放回抽樣,但因流水線(xiàn)產(chǎn)品數(shù)量大可視為無(wú)限容量的總體.

反思與感悟通過(guò)問(wèn)題的解答,筆者發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)以下概念存在混淆.

(1)古典概型與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

古典概型具有2個(gè)特點(diǎn):①實(shí)驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.對(duì)于古典概型,任何事件的概率為

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在相同條件下重復(fù)做n次試驗(yàn),關(guān)鍵字是“獨(dú)立”、“重復(fù)”，即:①每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的;②每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;③每次試驗(yàn)只有2種結(jié)果:要么發(fā)生,要么不發(fā)生.

(2)放回抽樣與不放回抽樣.

由古典概型得出超幾何分布,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布,這2個(gè)分布的區(qū)別是:在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中,如果采用不放回抽樣,則次品數(shù)服從超幾何分布;如果采用有放回抽樣,則次品數(shù)服從二項(xiàng)分布.二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).

在實(shí)際問(wèn)題中,區(qū)分古典概型與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的關(guān)鍵是不放回還是有放回.不放回符合古典概型,隨機(jī)變量服從超幾何分布;有放回符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大而抽取的數(shù)不太大時(shí),不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣,超幾何分布近似于二項(xiàng)分布,此時(shí)2種公式等價(jià).

在解題時(shí),我們需要區(qū)別字眼,區(qū)分概念,從源頭思起,考慮路徑,選擇方法.解題是高中數(shù)學(xué)的核心,“解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最好手段”(張乃達(dá)先生語(yǔ)).因此我們不僅要重視解題,更要教會(huì)學(xué)生如何解題.特別是當(dāng)問(wèn)題產(chǎn)生錯(cuò)解而面對(duì)困惑時(shí),飲水思源,探究本質(zhì),正如英國(guó)心理學(xué)家貝思布里說(shuō)過(guò)“差錯(cuò)人皆有之,而作為教師,對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤不加利用則是不能原諒”.

[1] 張?jiān)旅?一樣的Eξ不一樣的是對(duì)與錯(cuò)——古典概型與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)混淆、困惑、探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2010(11):18-21 .