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(楊浦區(qū)彰武路同濟(jì)新村224號(hào)甲 上海 200092)

認(rèn)識(shí)橢圓上的4個(gè)特殊點(diǎn)

●姜坤崇

(楊浦區(qū)彰武路同濟(jì)新村224號(hào)甲 上海 200092)

圖1

(1)S△PAB=S△PCD;

(2)|PA|·|PB|=|PC|·|PD|;

(3)∠APB=∠CPD.

(2)由題意可得

|PA|2·|PB|2=

同理可得

于是

|PA|2·|PB|2=|PC|2·|PD|2,

得

|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

(3)由第(1)，(2)小題的結(jié)論知

S△PAB=S△PCD,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

又

得

sin∠APB=sin∠CPD,

從而

∠APB=∠CPD.

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

又

得

S=S△PCD.

兩邊同減去梯形EFDC的面積即得

S△PEF=S△ACE+S△BDF.

圖2

圖3

又

于是

|PF1|·|PF2|=|PO|2,

即|PF1|,|PO|,|PF2|成等比數(shù)列.

性質(zhì)4如圖4，A是橢圓E在第一象限的一段弧上的動(dòng)點(diǎn)，A在x軸、y軸上的射影分別為P,Q,則當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P的位置時(shí)，矩形OPAQ(O為中心)的面積最大.

證明設(shè)A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，矩形OPAQ的面積為S,則

由基本不等式得

圖4

圖5

性質(zhì)5如圖5，點(diǎn)A是橢圓E在第一象限的一段弧上的一點(diǎn)，B(a,0),C(0,b)是E的2個(gè)頂點(diǎn)，則當(dāng)A在點(diǎn)P的位置時(shí)，四邊形OBAC(O為中心)的面積最大.

證明設(shè)A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，四邊形OBAC的面積為S,則

連結(jié)AO，則

性質(zhì)6如圖6，設(shè)A(a,0),B(0,b)是橢圓E的2個(gè)頂點(diǎn)，E在P處的切線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C,D,則AB∥CD,|PC|=|PD|.

AB∥CD.

圖6

圖7

性質(zhì)7如圖7，A是橢圓E在第一象限的一段弧上的一點(diǎn)，橢圓E在點(diǎn)A處的切線l和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B,C,則當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)P的位置時(shí)，△BOC(O為中心)的面積最小.

證明設(shè)A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，△BOC的面積為S,則

切線l的方程為

當(dāng)且僅當(dāng)bx0=ay0時(shí)等號(hào)成立,從而

于是