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(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

穩(wěn)中有變亮點(diǎn)紛呈
——2011年數(shù)學(xué)高考解析幾何試題評析

●張惠民

(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

1 教學(xué)要求與考查要求

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，其核心是用代數(shù)的方法研究解決幾何問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.這類試題主要考查運(yùn)算求解能力和推理思辨能力.題型一般為一個選擇題、一個填空題、一個解答題，分值在20分左右.

2 命題特點(diǎn)和知識類型

2011年的數(shù)學(xué)高考試題有3個比較明顯的特點(diǎn)：一是直線與雙曲線的位置關(guān)系繼續(xù)淡化；二是對設(shè)參、消參的考查進(jìn)一步強(qiáng)化；三是探究在什么條件下使某個對象為定值的雙向探究問題有明顯降溫趨勢.選擇題和填空題以考查基本知識和基本技能為主，但穩(wěn)中有變，例如，浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題是一個小巧靈活的好題.解答題通常集中在直線和圓、橢圓及拋物線的位置關(guān)系方面命制，第(2)小題大多以軌跡問題、最值問題、存在性問題、定值問題、參數(shù)求解的形式出現(xiàn).

3 亮點(diǎn)掃描

亮點(diǎn)1情理之中 意料之外

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由已知得

整理得

又

2式比較得

從而

因此

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

設(shè)A(x1,y1)，C(x2,y2),則直線AC的方程為

y1=-5y2，

從而

式(1)2÷式(2),得

利用韋達(dá)定理可得

解得

設(shè)點(diǎn)A的極角為θ，則點(diǎn)C的極角為π+θ.因?yàn)棣袮=5ρC，所以

解法3設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),由橢圓定義知

所以

由橢圓第二定義知

從而

(3)

由式(3),式(4)解得x1=0，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,±1).

亮點(diǎn)22個方程消2個參數(shù)成為一道風(fēng)景線

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由已知得

又

(6)

求離心率常規(guī)的方法往往是先得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，再消去b然后解得e．

整理得

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

式(7)×2-式(8)，得點(diǎn)P的軌跡方程為

2x-y-1=0.

亮點(diǎn)3結(jié)論即證即用,考查思維的靈活性

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0.

設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則

化簡得

3k2+2=2m2,

因此

當(dāng)直線l的斜率不存在時，易驗(yàn)證

也成立.

(2)因?yàn)镸為線段PQ的中點(diǎn)，而

2|OM|·|PQ|,

評注借用平面幾何中的結(jié)論避免了代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，而結(jié)論的即證即用使最值求解的過程得以優(yōu)化.

(3)假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)D(x1,y2)，E(x2,y2)，G(x3,y3)，使得

由第(1)小題知

從而

同理可得

評注已證結(jié)論的再一次應(yīng)用無疑使該題的特色更趨顯明，這也成為2011年眾多解析幾何試題中一道好題.

4 復(fù)習(xí)建議

4.1 有創(chuàng)意地呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識和基本技能

2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第20題第(2)小題中的部分表述為：“是否存在2個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值.”從表面上看，該小題是一個雙向探究題，2個定點(diǎn)和1個定值都需要探究，但其本質(zhì)實(shí)為求橢圓的方程.高考復(fù)習(xí)不該是基礎(chǔ)知識和基本技能的簡單多次重現(xiàn)，有創(chuàng)意地呈現(xiàn)基礎(chǔ)知識和基本技能，無疑有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高復(fù)習(xí)效率.2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題，其中關(guān)健性的一步是得到k1,k2是方程

的2個根，若由此適時提出“同一法”的思想，則能提高學(xué)生對此類問題的理解層次和記憶深度.

4.2 重視“點(diǎn)參數(shù)”的應(yīng)用

4.3 重視軌跡求解方法的拓展

設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡、檢驗(yàn)是軌跡求解的最基本方法.例如,2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題、2011年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題、2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第18題均用到此法.而交軌法、參數(shù)法、定義法等在軌跡求解中的應(yīng)用在現(xiàn)行教材中沒有系統(tǒng)講述，需要拓展補(bǔ)充.如2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題主要考查的就是用參數(shù)法求軌跡,且有相當(dāng)?shù)碾y度.

4.4 提高字母演算的準(zhǔn)確性

解析幾何中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力固然重要，但是繁雜、冗長的字母演算是學(xué)好解析幾何的基礎(chǔ)和必備功課.