劉能東,張忠志

(東莞理工學(xué)院數(shù)學(xué)系,中國(guó)東莞 523808)

在振動(dòng)設(shè)計(jì)中，往往需要修改一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的物理參數(shù)，這在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為矩陣的逆特征值問(wèn)題或是廣義逆特征值問(wèn)題[1].例如，振動(dòng)系統(tǒng)中剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的校正問(wèn)題.

設(shè)ω1,ω2,…,ωm(m≤n)是m個(gè)自然頻率，φ1,φ2,…,φm是相應(yīng)的振型．令

設(shè)K為待校正的剛度矩陣，M為待校正的質(zhì)量矩陣，它們滿足下列條件：

(1)特征方程：Kφ=MφΩ2；

(2)對(duì)稱性：KT=K，MT=M.

求解滿足上述約束條件的K,M等價(jià)于求解具有某種對(duì)稱結(jié)構(gòu)的關(guān)于K,M的廣義逆特征值問(wèn)題.

通過(guò)試驗(yàn)觀察，統(tǒng)計(jì)分布的信息，或是利用有限元等方法可以得到剛度矩陣K的初始估計(jì)值K0和質(zhì)量矩陣M的初始估計(jì)值M0. 根據(jù)M.Baruch等人[2]提出的極小化加權(quán)歐幾里德模方法，可以校正K0和M0, 即求滿足條件(1)和(2)的矩陣K,M，使得min‖(K，M)-(K0，M0)‖.這表明如何確定結(jié)構(gòu)的剛度分布和質(zhì)量分布，使結(jié)構(gòu)具有要求的固有頻率和相應(yīng)的固有振型這一問(wèn)題可歸結(jié)為求解矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題和與其相關(guān)的矩陣逼近問(wèn)題.

由于廣義逆特征值問(wèn)題在力學(xué)、電學(xué)、參數(shù)識(shí)別、自動(dòng)控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用, 因而引起了眾多學(xué)者的關(guān)注. 關(guān)于廣義逆特征值問(wèn)題的研究已取得了一系列成果[3-7]. 廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣產(chǎn)生于具有自反對(duì)稱結(jié)構(gòu)的物理問(wèn)題，它被廣泛地應(yīng)用于電網(wǎng)系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域[8].本文就廣義自反矩陣與廣義反自反矩陣的廣義逆特征值問(wèn)題進(jìn)行討論．

GRCn×n={P|PH=P,P2=I且P∈Cn×n}．

定義1給定矩陣P∈GRCn×n，設(shè)x∈Cn．(1)若x=Px，則稱x為關(guān)于P的自反向量．(2)若x=-Px，則稱x為關(guān)于P的反自反向量．

(1)

定義2給定矩陣P∈GRCm×m，Q∈GRCn×n，設(shè)A∈Cm×n．

本文所討論的問(wèn)題如下．

1 問(wèn)題Ⅰ解的表達(dá)式

利用定義1、定義2和矩陣P、Q的性質(zhì)，不難證明下面兩個(gè)引理．

引理1(1)A∈Crn×n(P,Q)當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣E1∈Cr×s，E2∈C(n-r)×(n-s)，使得

(2)

(2)B∈Can×n(P,Q)當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣F1∈Cr×(n-s)，F(xiàn)2∈C(n-r)×s，使得

(3)

X=X1+X2，

(4)

其中X1的列向量均是關(guān)于Q的自反向量，X2的列向量均是關(guān)于Q的反自反向量，即有X1=QX1，X2=-QX2．

容易證明：條件X1=QX1等價(jià)于X1=Q1X1；X2=-QX2等價(jià)于X2=Q2X2．

定理1給定X∈Cn×m，Λ=diag(λ1,λ2,…λm)∈Cm×m，矩陣X1和X2滿足(4)式．設(shè)X1-X2Λ和X2-X1Λ的奇異值分解分別為

(5)

(6)

其中G1∈Cr×(n-t1),G2∈C(n-r)×(n-t2)為任意矩陣．

證由AX=BXΛ和(4)式，有A(X1+X2)=B(X1+X2)Λ，即AX1-BX2Λ=BX1Λ-AX2．由于X1的列向量均是關(guān)于Q的自反向量，X2的列向量均是關(guān)于Q的反自反向量，所以由引理2不難證明，矩陣AX1-BX2Λ的列向量都是關(guān)于P的自反向量，而矩陣BX1Λ-AX2的列向量都是關(guān)于P的反自反向量．因此，由(1)得AX1-BX2Λ=0，AX2-BX1Λ=0，即有A(X1,X2)=B(X2Λ,X1Λ)．由引理1，有

(7)

因此，AX=BXΛ等價(jià)于下面2個(gè)等式

(8)

(9)

由(8)式有

(10)

其中G1∈Cr×(n-t1)為任意矩陣．同理，由(9)和(5)兩式可得

(11)

其中G2∈C(n-r)×(n-t2)為任意矩陣．把(10)和(11)式分別代入到(2)式和(3)式，得問(wèn)題Ⅰ的解(6)式．證畢．

2 問(wèn)題Ⅱ解的表達(dá)式

(12)

(13)

排除標(biāo)準(zhǔn):需排除合并糖尿病酮癥酸中毒患者；排除合并精神疾病的患者；排除合并其他心腦血管病變患者；排除相關(guān)藥物過(guò)敏史患者[3]。

‖(A,B)-(A*,B*)‖2=‖A-A*‖2+‖B-B*‖2=

(14)

因此，由(14)式可知，當(dāng)且僅當(dāng)

(15)

(16)

‖(A,B)-(A*,B*)‖達(dá)到最小值．不難證明，(15)式等價(jià)于

(17)

(16)式等價(jià)于

(18)

將(17)、(18)兩式代入(6)式，得問(wèn)題Ⅱ的解(12)式和(13)式．證畢．

3 擾動(dòng)分析

(19)

(20)

由矩陣范數(shù)的性質(zhì)，可得

同理得

于是，由(20)式知

因此，(19)式成立．證畢．

4 數(shù)值例子

算法求解問(wèn)題Ⅱ的步驟如下:

(1) 輸入P,Q,X,Λ,A*,B*；

例1n=7,m=3,給定

按以上算法得結(jié)果如下：

參考文獻(xiàn)：

[1] 高福安,宋增浩,劉瑞慶.特征值問(wèn)題的分類,應(yīng)用及參數(shù)敏感性研究[C].全國(guó)第一次逆特征值問(wèn)題討論會(huì)論文.西安：陜西,1986.

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[3] 李伯忍,胡錫炎,劉學(xué)杰.譜約束下反對(duì)稱正交反對(duì)稱矩陣束的最佳逼近[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2007,28(4):272-289.

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