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        利用高斯偽譜法求解小推力伴星最優(yōu)釋放軌跡

        2011-11-26 08:44:04段傳輝董云峰
        中國空間科學(xué)技術(shù) 2011年5期

        段傳輝 董云峰

        (北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)

        1 引言

        航天器編隊飛行可以完成單個航天器所不能完成的任務(wù),近年來成為國內(nèi)外航天領(lǐng)域的研究重點[1]。

        航天器相對運動軌跡控制是編隊飛行的重要內(nèi)容,傳統(tǒng)方法一般以脈沖變軌完成。近年來由于小推力發(fā)動機技術(shù)逐漸成熟,以效率高、壽命長的特點得到充分的重視[2-4]。

        求解航天器最優(yōu)軌跡問題的方法通常可分為直接法和間接法[5-7],間接法利用Pontryagin原理,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的兩點邊值問題;間接法可以獲得很高的精度,但是因初值猜測很困難,收斂半徑小使得兩點邊值問題很難求解[5]。直接法的思想是將狀態(tài)量和控制量離散化,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(NLP)問題,然后用常規(guī)的NLP求解方法,如系列二次規(guī)劃方法(SQP)求得近似解。直接法有許多種,各種方法在計算量、收斂性等方面各有差異,近年來由David Benson和Huntington提出的高斯偽譜法對平滑型最優(yōu)控制問題有很好的收斂性,以較少節(jié)點即可獲得較高的精度[7-8]。國內(nèi)的學(xué)者利用高斯偽譜法求解了深空探測、高超聲速飛行器的再入、月球軟著陸等最優(yōu)軌跡問題[6,9-10]。

        本文針對雙星編隊的伴飛星的釋放任務(wù),提出基于小推力變軌完成的從主星投放至形成穩(wěn)定繞飛構(gòu)型的燃料最省釋放軌跡,利用高斯偽譜法將C-W方程描述的連續(xù)型最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題,再利用SQP方法求解此NLP問題并給出了仿真算例。

        2 相對運動描述及穩(wěn)定繞飛條件

        考慮目標(biāo)航天器在圓軌道或者近圓軌道上運行,追蹤航天器與目標(biāo)航天器的位置誤差遠(yuǎn)小于圓的半徑,速度差遠(yuǎn)小于目標(biāo)航天器的在軌運行速度。定義相對運動坐標(biāo)系,其原點位于目標(biāo)航天器質(zhì)心,x軸指向速度方向,y軸指向目標(biāo)飛行器矢徑方向,z軸與x和y軸構(gòu)成右手正交系。

        式中A和B的定義為

        考慮航天器不受軌控的繞飛情形,即令式(1)中T為零,可解出相對位置隨時間的變化關(guān)系[11]為

        從式(2)可以看出,z方向和x,y是相互獨立的,可單獨分析。此外,三軸中僅x(t)中含有隨時間線性增長的項為形成長期穩(wěn)定的繞飛,則必須滿足條件

        此時,x-y平面內(nèi)的方程可轉(zhuǎn)化為

        由此可見,飛行器的相對運動軌跡在x-y平面投影為一橢圓,其半長軸為半短軸為半長軸的一半,進一步分析可知,相對運動軌跡在y-z,x-z平面的投影也為橢圓,但其長軸和短軸不一定與坐標(biāo)軸重合[12]。

        上述橢圓的圓心在x軸還有常值偏移量,為達到伴星對目標(biāo)星的較好觀測效果,可進一步令

        只要航天器的相對位置與相對速度初始條件滿足式(3)和式(5),在近距離且不考慮攝動情況下,伴星相對目標(biāo)星的軌跡為一個空間橢圓,且橢圓中心在目標(biāo)星質(zhì)心。

        小型的伴星一般由主星搭載,入軌后通過航天員或者主星上的分離機構(gòu)釋放,初始相對位置Δr≈0,相對速度Δv≈0,此狀態(tài)一般不滿足式(3)和式(5)所確定的穩(wěn)定的橢圓軌跡繞飛的初始條件,因此伴星投放后必須實施變軌,才能進入穩(wěn)定的繞飛狀態(tài)。

        傳統(tǒng)的變軌一般由脈沖控制來完成,只需進行有限次的脈沖即可進入目標(biāo)軌道,此種方式計算簡便,但是誤差較大,不能精確調(diào)整。利用有限小推力發(fā)動機可以得到比脈沖控制更為精確的變軌,且可以充分利用已有的最優(yōu)控制理論,對變軌過程進行優(yōu)化。本文選用推力恒定,方向可變的常值小推力發(fā)動機完成伴星的釋放軌跡控制,則關(guān)于求解推力器噴氣方向單位矢量u=[ux,uy,uz]T的最優(yōu)控制問題可描述如下。

        邊界點約束:x(t0)=[r0,v0],x(tf)=[rf,vf],在初始狀態(tài)選取時注意剛釋放時r0≈0,v0≈0,在終端時刻,即變軌結(jié)束點(橢圓繞飛構(gòu)型的入口點處),rf一般取為102m~103m的級別,而vf是根據(jù)rf的取值及式(3)和式(5)的約束條件來確定的。

        過程約束:由于控制量u是方向矢量,必須滿足

        3 高斯偽譜法求解最優(yōu)控制問題

        高斯偽譜法的基本思想是通過將隨時間連續(xù)變化的狀態(tài)量和控制量在有限個數(shù)的時間點進行離散,用這些離散點上Lagrange差值多項式近似表達狀態(tài)量和控制量函數(shù),再利用Gauss數(shù)值積分將積分約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)求和約束,最終將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題來求解。

        設(shè)x(t)∈Rn為狀態(tài)變量,u(t)∈Rm為控制變量,t0和tf為起始和結(jié)束時刻,則一個典型的Bolza型的最優(yōu)控制問題[8]可描述為確定u(t),使以下指標(biāo)函數(shù)為最小。

        式中Φ為終端指標(biāo);g為積分型指標(biāo)。式(6)中各變量滿足以下約束

        式中ψ為等式約束;C為不等式約束。由于Gauss積分定義在[-1,1],需將以上t∈[t0,tf]描述變換為τ∈[-1,1],變換方法為

        對于一個定義在[-1,1]上的函數(shù)f(t),取Legendre-Gauss多項式的K個零點(LG點)τ1~τK,則可利用Gauss積分公式將積分求解轉(zhuǎn)化為近似求和運算

        式中ωi為第i處的高斯權(quán)重,ωi和τi只與個數(shù)K有關(guān),求解方法參見文獻[7]。

        利用起始點τ=-1及K個LG零點共計K+1個點,對x(t)進行K+1次多項式Lagrange差值[8]得到:

        Lagrange差值可以保證在K+1個差值點處有x(τi)=X(τi),其他點處二者則近似相等。

        同理,對u(t)在K個LG零點處進行Lagrange差值(因差值點個數(shù)不同

        式中Dki為微分矩陣,僅與LG點的個數(shù)K有關(guān),可在算法開始前離線確定,其定義[8]為

        針對伴星釋放最優(yōu)軌跡控制的具體問題,設(shè)起始時刻t0=0,狀態(tài)變量為x=[x,y,z,vx,vy,vz]T,控制變量為推力器方向矢量u=[ux,uy,uz]T,動力學(xué)微分方程的右端函數(shù)為f(x,u)。將連續(xù)量的x(τ)和u(τ)在[-1,1]區(qū)間進行離散,其中x(τ)的離散點取為起始點、終止點及K個LG點,構(gòu)成一個6(K+2)維的未知向量[X0,X1,…,XK,Xf],控制量u(τ)的離散點選取在K個LG點處,構(gòu)成一個3K維的未知向量[U1,U2,…,UK]。

        根據(jù)高斯偽譜法,離散變換之后,連續(xù)型的最優(yōu)控制問題的微分方程約束可化作6K維的代數(shù)約束Rk,其表達式為

        邊界條件為ψ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0,即上文所述的釋放初始及結(jié)束時刻的位置、速度應(yīng)滿足的條件,其維數(shù)為12。

        過程約束為C(Xk,Uk,τk,tf)≤0,(k=1,2,…,K),即每個LG點處Uk模為1的條件,其維數(shù)是6K。

        指標(biāo)函數(shù)為min(J),J=tf。

        至此,伴星釋放最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為針對9K+13維的未知量Y=[X0,…,XK,Xf,U1,U2,…,UK,tf],在滿足Rk=0,Rf=0,ψ=0,C≤0條件下的一個非線性規(guī)劃問題,可用現(xiàn)有的非線性規(guī)劃問題求解方法進行求解,本文選用效率比較高的系列二次規(guī)劃法求解。

        由于高斯偽譜法求解得到的控制量是有限點處的近似解,而完整的控制問題需要知道任意時刻的控制量,本文選用三次樣條差值法在所求解得到的離散點處的控制量[U1,U2,…,UK]上進行差值,以此獲得控制量在整個時間歷程上隨時間連續(xù)變化的函數(shù)u(t)。

        4 仿真算例

        考慮目標(biāo)飛行器軌道高度為h=500km的圓軌道,伴星質(zhì)量m=200kg,推力器推力T=1N,高斯偽譜法計算節(jié)點K=100,起始點的相對位置x,y,z為2m,相對速度Vx,Vy,Vz為0.01m/s。

        終端時刻的伴星在主星的軌道坐標(biāo)系下的位置即橢圓繞飛入口的坐標(biāo)為[1 000m,600m,-500m],終端時刻的vx和vy可由式(3)和式(5)的繞飛條件來確定,再設(shè)vz=vy,則終端的位置和速度完全確定。

        在Matlab環(huán)境下,高斯偽譜法建模的開源軟件包GPOPS將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題,最終轉(zhuǎn)化出的NLP再用基于SQP的SNOPT[13]求解器來完成求解。在SNOPT中迭代575次,最終求解得到伴星釋放過程持續(xù)時間tf=1 179.1s。圖1~圖3分別為釋放過程中的控制量、相對位置、相對速度隨時間的變化曲線。

        從圖1可以看出,整個變軌過程中除y方向控制量有一個較小尖峰之外,基本上是一個平滑的變化過程,這種平滑的變化易于推力器的實現(xiàn)。從圖2和圖3可以看出兩個航天器的相對距離、速度從開始釋放時基本為零,平穩(wěn)地過渡到穩(wěn)定橢圓繞飛的要求值,沒有出現(xiàn)較大的波動。

        圖4是伴星從釋放到穩(wěn)定的圍繞主星飛行20天的三維軌跡,可見衛(wèi)星經(jīng)過最優(yōu)變軌控制,順利進入預(yù)定的橢圓繞飛軌道。由于在變軌結(jié)束時刻的相對位置和相對速度與橢圓繞飛所需的值之間仍有誤差,造成x軸方向仍有常值漂移項,按照所求解出的離散控制量進行三次樣條差值,積分相對運動方程所得到tf時刻的相對位置和速度為x=1 000m,vy=0.553 41m/s,則由式(3)得到的x方向常值飄移速率為3vx+6ωy=-6.275×10-5m/s,隨著時間推進,繞飛曲線將逐步偏離預(yù)設(shè)軌道。實際上,即使變軌過程完全沒有誤差,在攝動力作用下,伴星相對運動軌道也將逐步飄移,要完成穩(wěn)定的繞飛,需要不斷地進行軌道修正。本文僅考慮釋放軌跡的最優(yōu)控制,對繞飛保持控制問題不做討論。

        圖1 控制量的時間歷程Fig.1 Result of control

        圖2 相對位置時間歷程Fig.2 Result of relative position

        圖3 相對速度的時間歷程Fig.3 Result of relative velocity

        圖4 釋放與繞飛三維軌跡Fig.4 3Dfigure of releasing and around-flight orbit

        5 結(jié)束語

        本文利用高斯偽譜法,以無控的橢圓繞飛構(gòu)型為最終目標(biāo),求解了小推力伴星的最優(yōu)釋放軌跡,仿真算例表明高斯偽譜法無需對狀態(tài)量和控制量給出較好的猜測即可收斂,根據(jù)其求解出的離散控制量進行擬合后得到的連續(xù)控制量能夠讓狀態(tài)變量控制到指定值。

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