袁國平 史小平 李隆

（哈爾濱工業(yè)大學控制與仿真中心，哈爾濱150001）

1 引言

目前，許多空間任務(wù)（例如對地觀測）要求航天器具有良好的姿態(tài)機動性能。航天器迅速、精確地完成機動任務(wù)可以增加其使用范圍，獲得更多的有用信息。但航天器在姿態(tài)機動中滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航三軸運動相互耦合影響，是一個典型的非線性問題，控制器綜合難度大。另外，航天器在運行期間，不可避免地會受到各種環(huán)境力矩的干擾。同時，航天器執(zhí)行部件安裝誤差等因素造成輸出力矩的偏差也會影響姿態(tài)控制精度。因此，尋求一種控制律使航天器能夠在各種不確定性下快速完成姿態(tài)機動任務(wù)成為研究熱點之一。

自抗擾控制器（ADRC）是一種幾乎不依賴于受控對象模型的非線性控制算法，具有良好的魯棒性和處理非線性問題的能力。它包含跟蹤微分器，擴張狀態(tài)觀測器（ESO）和非線性反饋等技術(shù)［1-3］。作為核心技術(shù)的擴張狀態(tài)觀測器，除能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)進行觀測外，還能精確地估計出系統(tǒng)的非線性及外界干擾信息，在航天器控制研究中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻［4］將ADRC應(yīng)用于帶撓性太陽翼的航天器偏航軸的姿態(tài)穩(wěn)定控制。文獻［5］提出了一種雙閉環(huán)的ADRC，利用該算法實現(xiàn)撓性航天器的高精度姿態(tài)穩(wěn)定控制。文獻［6］利用ADRC研究了三通道的姿態(tài)機動控制問題，并對控制器參數(shù)進行了整定。文獻［7］針對柔性多體航天器，利用自抗擾算法，實現(xiàn)了姿態(tài)穩(wěn)定控制。文獻［8］將ESO和模糊自適應(yīng)控制相結(jié)合，設(shè)計了帶轉(zhuǎn)動部件的撓性衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定控制算法。

針對航天器的姿態(tài)機動問題，本文利用ESO能夠準確地獲取航天器三軸間非線性耦合及其他未知外界干擾信息的能力，設(shè)計了一種僅需要姿態(tài)角測量值的自適應(yīng)輸出反饋控制律；在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov方法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析；最后，將提出的方法應(yīng)用于航天器多軸同時機動的姿態(tài)控制問題。

2 模型的建立

本文考慮的航天器近似為剛體，由動量矩定理，可將其動力學方程寫成

式中J＝diag（JxJyJz）為沿航天器本體主慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；ω＝［ωxωyωz］T是航天器相對慣性坐標系的瞬時轉(zhuǎn)速在本體坐標系中的矢量；u（t）＝［uxuyuz］T為控制力矩矢量；d（t）＝［dxdydz］T為作用在星體上的外干擾力矩矢量。定義斜對稱矩陣S（ω）為

采用3-1-2轉(zhuǎn)序的歐拉角描述航天器的姿態(tài)，其運動學方程為

式中φ，θ，ψ分別為航天器的滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角。

由式（1）和式（3）可知，當航天器進行大角度機動時，其動力學方程是耦合非常強的非線性系統(tǒng)，直接利用非線性理論進行控制器綜合的難度很大。這時，可以把復雜的動力學模型分成3個子通道，即滾轉(zhuǎn)通道、俯仰通道和偏航通道［8-9］。

2.1 滾轉(zhuǎn)通道模型

2.2 俯仰通道模型

2.3 偏航通道模型

通過公式（4）～（6）可以看出，航天器的3個通道之間通過非線性項fx2、fy2、fz2耦合在一起，特別當航天器進行大角度機動時，耦合非常強烈。因此，在設(shè)計3個通道控制器時，應(yīng)充分考慮各個子系統(tǒng)之間的耦合。ESO不僅可以對系統(tǒng)中的非線性項進行精確的估計，并且還可以通過擴張狀態(tài)觀測估計不可測的狀態(tài)，降低任務(wù)成本。因此，本文設(shè)計的航天器姿態(tài)機動控制器，3個通道均采用基于ESO的自適應(yīng)控制算法，從而能夠有效地克服各通道的相互耦合。

航天器的姿態(tài)機動問題可以轉(zhuǎn)換為姿態(tài)跟蹤控制，首先根據(jù)任務(wù)設(shè)計系統(tǒng)姿態(tài)機動的指令，然后通過控制系統(tǒng)使航天器的狀態(tài)向量x（t）去跟蹤一個目標狀態(tài)向量xd（t），其中xd（t）＝［xd（t），跟蹤誤差可以寫成如下的形式

則控制的目標轉(zhuǎn)化為設(shè)計一個自適應(yīng)控制器使跟蹤誤差漸近趨近于0。

3 ESO的設(shè)計

在實際的航天任務(wù)中，使用高精度的角速率陀螺會提高系統(tǒng)的設(shè)計成本，在研制經(jīng)費有限的情況下，可以考慮不安裝；另一方面，若速率陀螺失效，就將無法獲得角速度信息。故無論是從降低航天器研制成本，還是從作為角速率陀螺失效備份的角度來看，通過觀測器獲得速率信息不失為一個很好的選擇。另外，系統(tǒng)中fx2、fy2、fz2這樣的非線性耦合特性往往很難精確獲得。為此，本節(jié)中在只有姿態(tài)角可測的情況下，利用ESO估計出系統(tǒng)的其他狀態(tài)和未知的非線性耦合項。

下面以航天器的滾轉(zhuǎn)通道為例，介紹擴張狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。

可將xx3＝fx2看成總的干擾項，其中包含了其他兩通道到滾轉(zhuǎn)通道的耦合，外界的干擾力矩和其他未建模動態(tài)等。

取ex3＝xx3，由式（7）和式（8）可得系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程為

根據(jù)式（9）的形式，構(gòu)造三階的ESO［1］

式中 fal（e0，α，δ）為在原點附近有線性段的非線性函數(shù)

在ESO中，只要合理適當?shù)倪x擇參數(shù)βx1，βx2，βx3，并保證觀測器中的系數(shù)α＞0，0＜δ＜1，則觀測器公式（10）就能很好地估計系統(tǒng)公式（9）的所有狀態(tài)變量，且滿足穩(wěn)定性條件，最終達到如下的穩(wěn)態(tài)

即ESO可以實時地估計出總的干擾項fx2。

由公式（5）、（6）可以看出，變換后的俯仰和偏航通道的狀態(tài)方程與滾轉(zhuǎn)通道有相似的形式，利用與上面相同的方法，可建立這兩個通道的ESO，具體過程不再詳述。

4 自適應(yīng)控制器設(shè)計

由前面的敘述可知，航天器大角度機動問題可轉(zhuǎn)化為：給定航天器的初始姿態(tài)和期望姿態(tài)，設(shè)計兩姿態(tài)之間的運動軌跡，通過控制器使航天器跟蹤期望軌跡機動到期望姿態(tài)，并最終使系統(tǒng)穩(wěn)定在期望的平衡狀態(tài)附近。

另外，考慮到控制力矩輸出可能存在偏差，設(shè)計自適應(yīng)律對這一偏差進行在線估計。同時為了保證估計值有界，本文采用了基于投影算子的自適應(yīng)律，整體的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

同樣考慮到三通道控制器的相似性，在這里也以滾轉(zhuǎn)通道為例來介紹控制器的設(shè)計過程。

定理 給定常數(shù)ν＞0，λ＞0，采用如下的自適應(yīng)控制器

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Control system structure

和參數(shù)更新律

保證滾轉(zhuǎn)通道公式（4）的姿態(tài)跟蹤誤差漸近趨于0，即xx→xxd。其中P為滿足如下矩陣不等式的對稱正定陣

為控制力矩偏差Δ的估計值，為估計誤差，即投影算子的具體定義［10］：

取Lyapunov函數(shù)

對公式（13）求導可得

將控制率公式（11）代入，整理后得到

由自適應(yīng)律公式（12）可得

對于任取的自適應(yīng)律η，投影算子可以保證如下的性質(zhì)［10］

把公式（15）代入公式（14），再由投影算子性質(zhì)公式（17），可得

因為矩陣P正定，顯然由穩(wěn)定性理論可知系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近趨于零，即xx→xxd。

偏航和俯仰通道可利用類似的方法得到控制器，最終得到三通道控制器：

5 仿真分析

針對本文提出的基于ESO的控制方法，本節(jié)通過數(shù)字仿真來研究其在航天器大角度機動中的效果。航天器轉(zhuǎn)動慣量

本文設(shè)計的控制器中需要姿態(tài)機動目標跟蹤指令及其前兩階導數(shù)，為了保證系統(tǒng)的統(tǒng)一和可實現(xiàn)性，航天器三個姿態(tài)角的機動指令均有圖2所示的系統(tǒng)產(chǎn)生。其中為姿態(tài)機動的目標值，分別為姿態(tài)機動指令、指令的一階導數(shù)和二階導數(shù)。

為了比較，文中設(shè)計了三組仿真試驗對控制器的性能進行檢驗：1）滾轉(zhuǎn)軸單獨機動，其他兩通道保持在穩(wěn)定狀態(tài)；2）滾轉(zhuǎn)軸和偏航軸同時機動；3）三軸同時機動并且存在控制轉(zhuǎn)矩輸出誤差。

第1組仿真試驗的結(jié)果如圖3和圖4所示。試驗中采用本文提出的方法實現(xiàn)了航天器滾轉(zhuǎn)軸30°的姿態(tài)機動，從姿態(tài)角、角速度、控制力矩的仿真曲線中（見圖3）可以看到，滾轉(zhuǎn)軸機動到位的時間約為25s，偏航和俯仰軸的姿態(tài)角都趨于0°，控制力矩變化也很平穩(wěn)。另外，由圖4可以看出，ESO對航天器姿態(tài)角及角速率與控制指令之間的偏差都可以進行很好的估計，此跟蹤誤差在25s時漸近趨于零，這也反映了在控制器的作用下，姿態(tài)角精確地跟蹤了參考指令。當只有單軸機動時，由動力學模型可知，航天器的三個姿態(tài)角之間的耦合并不是很嚴重，因此為了驗證方法的有效性，還需要進行多軸同時機動的試驗。

圖2 指令生成系統(tǒng)Fig.2 Command generator

圖3 三軸姿態(tài)角、角速率及控制力矩響應(yīng)曲線（滾轉(zhuǎn)軸機動）Fig.3 Responses of attitude angles，rates and control torques（roll axis maneuver）

圖4 三軸姿態(tài)角、角速率跟蹤誤差估計（滾轉(zhuǎn)軸機動）Fig.4 Estimates of attitude angle，rate tracking errors（roll axis maneuver）

第2組試驗的結(jié)果如圖5和圖6所示。在控制器作用下，航天器的滾轉(zhuǎn)和偏航軸在同一時間段內(nèi)分別進行了20°和60°的大角度機動。從圖中可以看到，偏航軸在50s左右機動到位，姿態(tài)角速率和控制力矩變化很平緩。圖6給出的估計誤差最終收斂于0，表明觀測器在兩軸同時機動時仍然能夠保持優(yōu)良的性能。另外，這也說明在基于ESO的控制律的作用下，航天器很好地完成了多軸機動的任務(wù)。由于執(zhí)行器安裝誤差等原因，其輸出力矩可能與期望值存在偏差，從而影響航天器的控制精度。在前兩個試驗中并沒有考慮這一因素，為了驗證采用自適應(yīng)律的控制方案抑制這類誤差的有效性，本文設(shè)計了第3組仿真試驗。

圖5 三軸姿態(tài)角、角速率及控制力矩響應(yīng)曲線（雙軸機動）Fig.5 Responses of attitude angles，rates and control torques（two-axis maneuver）

圖6 三軸姿態(tài)角、角速率跟蹤誤差估計（雙軸機動）Fig.6 Estimates of attitude angle，rate tracking errors（two-axis maneuver）

圖7 ～圖9給出了第3種情況的結(jié)果。在整個仿真過程中，航天器三軸的執(zhí)行部件上作用有［Δx，Δy，Δz］T＝［0.05，0.02，-0.03］TN·m的常值偏差力矩，航天器的滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航三軸在同一時間段內(nèi)分別進行了60°、20°和40°的機動，在約50s時三軸均機動到指定角度。圖9給出了基于投影算子的自適應(yīng)律對力矩偏差的估計結(jié)果，從圖中可知，算法較好地完成了任務(wù)，估計值均在設(shè)定的范圍之內(nèi)，最后趨近于設(shè)定的誤差。由于本文提出的控制律主動考慮了執(zhí)行機構(gòu)的輸出力矩偏差，并且自適應(yīng)控制算法具有良好的辨識性能，再加上ESO處理非線性的優(yōu)勢，使三軸耦合和力矩偏差對航天器機動性能的影響減少，提高了航天器的控制精度。

圖7 三軸姿態(tài)角、角速率及控制力矩響應(yīng)曲線（三軸機動）Fig.7 Responses of attitude angles，rates and control torques（three-axis maneuver）

圖8 三軸姿態(tài)角、角速率跟蹤誤差估計（三軸機動）Fig.8 Estimates of attitude angle，rate tracking errors（three-axis maneuver）

圖9 控制力矩偏差估計Fig.9 Estimates of control torque errors

6 結(jié)束語

本文利用擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計了一種僅需要姿態(tài)角測量值的自適應(yīng)輸出反饋控制律。研究表明，基于擴張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)控制器在解決存在非線性耦合和干擾的控制問題時能夠取得很好的效果。系統(tǒng)抗干擾能力增強，響應(yīng)速度加快，同時算法具有較強的魯棒性。

仿真試驗表明，利用本文設(shè)計的控制器能夠保證航天器完成多軸同時姿態(tài)機動的任務(wù)。但是，擴張狀態(tài)觀測器涉及的參數(shù)較多，需要進一步研究參數(shù)的整定和優(yōu)化方法。同時，若能將本文的方法與其他諸如容錯控制等方法相結(jié)合，必將會有很好的研究前景和價值。

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