孫 坤, 崔恩華

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 徐州 221008)

具有部分缺失數(shù)據(jù)時兩個帕斯卡分布的估計(jì)和檢驗(yàn)

孫 坤, 崔恩華

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 徐州 221008)

討論了具有部分缺失數(shù)據(jù)下兩個帕斯卡分布總體的參數(shù)估計(jì)和關(guān)于總體相同的似然比檢驗(yàn), 證明了總體參數(shù)估計(jì)量的強(qiáng)相合性與漸近正態(tài)性, 同時給出了似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布.

缺失數(shù)據(jù); Bayes估計(jì); 極大似然估計(jì); 強(qiáng)相合性; 漸近正態(tài)性

0 引言

帕斯卡分布又稱負(fù)二項(xiàng)分布,可以看作是幾何分布的推廣,缺失數(shù)據(jù)是抽樣中比較重要的形式,即觀測時,觀測值以一定的概率被觀測到.在兩樣本問題的研究中,如果一個總體的觀測處于觀測者的控制下,而另一個總體不全處于觀測者的控制下,并且兩個總體為同一類型的總體,相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)討論了此種情況下兩個泊松,兩個指數(shù)等總體的估計(jì)與檢驗(yàn),但對于帕斯卡總體的這種情況還沒有研究結(jié)果,那么對具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩帕斯卡總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)是本文需要具體討論的主要問題.

設(shè)兩個帕斯卡分布總體,其概率密度為:

1 對概率p的Bayes估計(jì)

則N1與p的聯(lián)合概率密度:

二項(xiàng)分布關(guān)于成功概率p的共軛先驗(yàn)分布為beta分布[2],且核為pn1(1-p)n-n1,故p的后驗(yàn)分布為π(pn1)∝pn1+a-1(1-p)n-n1+b-1,故后驗(yàn)分布為參數(shù)n1+a和n-n1+b的beta分布.

2 對總體參數(shù)的極大似然估計(jì)及漸近性質(zhì)

2.1 參數(shù)的極大似然估計(jì)

1)θ1的估計(jì):

若只考慮對θ1的估計(jì),則觀測的似然函數(shù)為:

2)θ2的估計(jì):

3)θ的估計(jì):

在兩個總體相同的檢驗(yàn)中,要考慮原假設(shè):H0:θ1=θ2=θ(θ未知)[3],此時關(guān)于θ的似然函數(shù)為:

2.2 漸近性質(zhì)

由強(qiáng)大數(shù)定律[4]有:

由中心極限定理[4]有:

由slutsky定理[2]有:

證與定理1證明類似,下面只給出漸近正態(tài)性的證明:

由中心極限定理有:

由slutsky定理[2]有:

定理1和定理2分別給出了θ1和θ的強(qiáng)相合性與漸進(jìn)正態(tài)性,結(jié)果說明θ1和θ的漸進(jìn)性質(zhì), 此結(jié)果對推導(dǎo)似然比檢驗(yàn)的極限分布有很大作用.

3 主要結(jié)果

3.1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

定義似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如下,

3.2 極限分布

根據(jù)定理一和定理二的結(jié)論,類似wilks定理[4]的證明,可得:

4 結(jié)語

當(dāng)n1=0時,估計(jì)是失效的,由于此時只有第二總體的樣本,無法對第一總體或兩總體同時推斷.本文還可在文中的假設(shè)情況下進(jìn)一步推廣到兩總體樣本數(shù)不等,或兩總體樣本都有缺失的情況.

[1] 劉銀萍. 具有部分缺失數(shù)據(jù)時兩個指數(shù)總體的估計(jì)和檢驗(yàn)?[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào), 2002(3):255-257.

[2] 茆詩松, 王靜龍, 濮曉龍. 高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)?[M]. 北京:高等教育出版社, 2004.

[3] 武大勇, 萬建平. 具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個泊松總體的估計(jì)和檢驗(yàn)?[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2005(18):102-106.

[4] 陳希孺. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論?[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1981.

[責(zé)任編輯：李春紅]

EstimationandTestforTwoPascalDistributionswithPartiallyMissingData

SUN Kun, CUI En-hua

(Department of science, China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221008, China)

The present paper deals with the asymptotic properties of parameter estimation and likelihood ratio test for two Pascal populations with partially missing data. The limit distributions of estimators and likelihood ratio test are given,the strong consistency and asymptotic normality of estimators are also proved.

missing data; bayes estimation; maximum likelihood estimation; strong consistency; asymptotic normality

O212

A

1671-6876(2011)04-0287-04

2011-03-28

孫坤(1986-), 女, 山東滕州人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì).