管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州 225300)

關(guān)于不定方程x3+1=py2

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等專科學(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州 225300)

設(shè)p是奇素數(shù),t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù),在p=3(8t+s)(8t+s+1)+1的情形下,運(yùn)用初等數(shù)論的方法給出了不定方程x3+1=py2無正整數(shù)解的充分條件.

不定方程; 正整數(shù)解; 奇素數(shù); 充分條件

0 引言及主要結(jié)論

關(guān)于不定方程

x3+1=Dy2

(1)

文[1-3]均指出,當(dāng)D>2且不被6k+1形的素數(shù)整除時,它沒有正整數(shù)解;當(dāng)D=2時僅有正整數(shù)解(x,y)=(1,1),(23,78).但當(dāng)D被6k+1形的素數(shù)整除時,方程的求解較為困難.

關(guān)于D=p為奇素數(shù)的情形,文[10]證明了x3+1=7y2僅有正整數(shù)解(x,y)=(3,2).文[11]證明了x3+1=13y2無正整數(shù)解. 文[12]證明了x3+1=103y2無正整數(shù)解. 文[13]證明了當(dāng)素數(shù)p=12s2+1時,其中s是奇數(shù),方程x3+1=py2無正整數(shù)解.文[14]證明了當(dāng)素數(shù)p=3(24k+19)(24k+20)+1時,方程x3+1=py2無正整數(shù)解.文[15]證明了當(dāng)素數(shù)p=3(8t+3)(8t+4)+1時,設(shè)y0=16t+7,如果y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則方程x3+1=py2無正整數(shù)解;當(dāng)素數(shù)p=3(8t+4)(8t+5)+1時,設(shè)y0=16t+9,如果y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則方程x3+1=py2無正整數(shù)解.

本文證明了如下定理：

定理設(shè)素數(shù)p=3(8t+s)(8t+s+1)+1,y0=16s+2s+1,這里t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù).若y0有素因數(shù)q≡3或5(mod8),則方程

x3+1=py2

(2)

當(dāng)s=0,7時,無2?x正整數(shù)解;當(dāng)s=1,2,5,6時,無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=3,4時,無正整數(shù)解.

1 主要引理

引理1 設(shè)(x,y)=(2u,2v2-1)是不定方程

px2-3y2=1

(3)

的一組正整數(shù)解,而方程的最小正整數(shù)解為(2,y0),則y0沒有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8).

證明見文[15].

引理2 若方程px2-3y2=1的最小正整數(shù)解為(2,y0),這里y0有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),則當(dāng)p≡1(mod8)時,(2)無2?x正整數(shù)解;當(dāng)p≡3,7(mod8)時,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡5(mod8)時,(2)無正整數(shù)解.

證明由方程(2)得

(x+1)(x2-x+1)=py2

(4)

因為(x+1,x2-x+1)=1或3,故(4)給出

x+1=pv2,x2-x+1=u2,y=uv

(5)

或

x+1=3pv2,x2-x+1=3u2,y=3uv

(6)

或

x+1=v2,x2-x+1=pu2,y=uv

(7)

或

x+1=3v2,x2-x+1=3pu2,y=3uv

(8)

這里(u,v)=1.

對于(5),由第二式知x=0或1,均不適合第一式,此時(2)無正整數(shù)解.對于(6),由文獻(xiàn)[16]的證明過程可知(2)無正整數(shù)解.對于(7),由第二式知u是奇數(shù),u2≡1(mod8).當(dāng)p≡1(mod8)時,pu2≡1(mod8);當(dāng)p≡3,7(mod8)時,pu2≡3,7(mod8);當(dāng)p≡5(mod8)時,pu2≡5(mod8).另一方面,當(dāng)2|x時,x+1=v2≡1(mod8),即x≡0(mod8),故pu2=x2-x+1≡1(mod8);當(dāng)2?x時,x+1=v2≡0,4(mod8),即x≡-1,3(mod8),故pu2=x2-x+1≡3,7(mod8).顯然,當(dāng)p≡1(mod8)時,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡3,7(mod8)時,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)p≡5(mod8)時,(2)無正整數(shù)解.

對于(8),由第二式得

(9)

再將第一式x+1=3v2代入(9)得

p(2u)2-3(2v2-1)2=1.

(10)

由(10)知,(x,y)=(2u,2v2-1)是方程px2-3y2=1的一組正整數(shù)解.由引理1知,y0沒有素因數(shù)q適合q≡3或5(mod8),這與引理2條件矛盾,故(2)無正整數(shù)解.引理2得證.

2 定理證明

當(dāng)p=3(8t+s)(8t+s+1)+1(t是非負(fù)整數(shù),s是不超過7的非負(fù)整數(shù))時,有p≡3s(s+1)+1(mod8).

將p的值代入(3),易知(2,16t+2s+1)是(3)的最小正整數(shù)解,此時y0=16s+2s+1.否則,若(1,y0)是(3)的最小正整數(shù)解,則

但等式右邊是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積,顯然不成立.

當(dāng)s=0,7時,p≡1(mod8),根據(jù)引理2,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=1,2,5,6時,p≡3,7(mod8),根據(jù)引理2,(2)無2|x正整數(shù)解;當(dāng)s=3,4時,p≡5(mod8),(2)無正整數(shù)解.定理得證.

[1] 柯召,孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2?[J].中國科學(xué),1981,24(12):1453-1457.

[2] 柯召,孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2?[J].四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 1981, 18(2):1-6.

[3] 曹珍富. 丟番圖方程引論?[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

[4] 潘家宇. 關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2?[J].河南科學(xué),1997,15(4):379-382.

[5] 羅明. 關(guān)于不定方程x3±1=14y2?[J].重慶交通學(xué)院學(xué)報,1995, 14(3):112-116.

[6] 段輝明. 關(guān)于不定方程x3+1=38y2?[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2006, 1:35-39.

[7] 段輝明. 關(guān)于不定方程x3+1=86y2?[J].高師理科學(xué)刊, 2007, 27(2):3-5.

[8] 倪谷炎. 關(guān)于不定方程x3+1=Dy2?[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 1999, 15(3):13-15.

[9] 瞿云云、包小敏. 關(guān)于不定方程x3+1=119y2?[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2009, 34(1):9-11.

[10] 羅明. 關(guān)于不定方程x3+1=7y2?[J]. 重慶師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2003, 20(1):5-7.

[11] 王鎮(zhèn)江,佟瑞洲. 關(guān)于丟番圖方程x3+1=13y2,xy≠0?[J]. 黑龍江大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 1991, 8(4):48-50.

[12] 瞿云云,包小敏. 關(guān)于不定方程x3+1=103y2?[J]. 西安文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2008, 11(4):36-38.

[13] 樂茂華. 關(guān)于Diophantine方程x3+1=py2?[J]. 廣西師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2005, 22:22-23.

[14] 楊雅琳. 關(guān)于Diophantine方程x3+1=py2?[J]. 高師理科學(xué)刊, 2008, 28(1):41-42.

[15] 高潔,袁進(jìn). 關(guān)于Diophantine方程x3+1=py2?[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2010, 26(4):687-690.

[16] 牟善志,戴習(xí)民.關(guān)于丟番圖方程x3±1=py2?[J].安徽大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2008, 32(1):18-20.

[責(zé)任編輯：李春紅]

OntheIndefiniteEquationx3+1=py2

GUAN Xun-gui

(Mathematics & Physics of Taizhou Normal College, Taizhou Jiangsu 225300, China)

Letpbe an odd prime. Using elementary theory of numbers methods, a sufficient condition is obtained that the indefiniteequationx3+1=py2has no positive integer solution, wherep=3(8t+s)(8t+s+1)+1with s,t are nonnegative integers ands≤7.

indefinite equation; positive integer solution; odd prime; sufficient condition

O156

A

1671-6876(2011)04-0304-03

2011-02-25

管訓(xùn)貴(1963-), 男, 江蘇興化市人, 副教授, 研究方向為基礎(chǔ)數(shù)論.