胡其明

一個重要極限多種證法的教學反思

胡其明

(貴州省興義民族師范學院數(shù)學系,貴州興義 562400)

極限;海涅定理;洛必達法則;收斂級數(shù);斯篤茨定理

在數(shù)學分析教學中,經(jīng)常要進行數(shù)列極限的證明,對于不同的數(shù)列,常常有不同的證明方法.在教學中,希望能找到某一個數(shù)列的極限,能從不同的方面,用不同的方法進行證明,以便拓展證明數(shù)列極限的思路.

1 利用“海涅定理”和“洛必達法則”

2 利用“收斂級數(shù)的必要條件”

3 利用數(shù)列極限的“ε-N”語言

4 利用數(shù)列極限的“保不等式性”和“ε-N”語言

5 利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”

歸納與反思 利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”來證明一個具體的數(shù)列極限時,可以分解成證明：“單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限.其極限就是該數(shù)列的上確界”或者“單調(diào)減少且有下界的數(shù)列必有極限.其極限就是該數(shù)列的下確界”.

6 利用“迫斂性”

歸納與反思 迫斂性是證明數(shù)列極限的一種常用方法,就是將要證明數(shù)列的通項xn“適當放大”和“適當縮小”到兩個極限相等的已知數(shù)列的通項,從而達到我們證題的目的.證明中借鑒了正項級數(shù)中柯

7 利用“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”

8 利用“斯篤茨(Stolz)定理”

證i)當k=1時,令xn=n,yn=an,則

ii)當k＞1時,令xn=nk,yn=an,k次應用斯篤茨定理,

[1] 菲赫金哥爾茨.微積分教程[M].北京：人民教育出版社,1978.

[2] 吳良森,毛羽輝,韓士安,等.數(shù)學分析學習指導書[M].北京：高等教育出版社,2004.

[3] 薛宗慈,曾昭著,鄺榮雨,等.數(shù)學分析習作課講義[M].北京：北京師范大學出版社,1987.

[4] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].3版.北京：高等教育出版社,2001.

Teaching Infrospection of Many Testimonies on an Important Limitation

HU Qi-ming
(Maths Department,Xingyi Normal Universtiy for Nationalities,Xingyi,Guizhou 562400,China)

limitation;Heine theorem;L.Hospital rule;restrictive progression;Stolz theorem

O172

C

1672-1454(2011)05-0195-05

2009-01-11