燕列雅 王 艷

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710055)

反冪等陣線性組合的反冪等性

燕列雅 王 艷

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710055)

討論了反冪等陣線性組合的冪等性,指出可對(duì)角化矩陣可表示為反冪等陣的線性組合,并由此得到了由非奇異矩陣構(gòu)造兩兩正交且可交換的反冪等陣的一種方法.

反冪等陣;線性組合;對(duì)角化;相似變換

關(guān)于兩個(gè)或三個(gè)冪等矩陣線性組合的冪等性,文獻(xiàn)[1-3]作了較為詳細(xì)的討論,本文討論反冪等矩陣線性組合的反冪等性問題,并得出了矩陣可以表示為反冪等陣的線性組合的結(jié)論,且由此結(jié)論的證明過程得到了由n階非奇異矩陣構(gòu)造可交換且兩兩正交的反冪等陣的一種方法,這些反冪等陣的線性組合即為一n階可對(duì)角化矩陣.

定義1 對(duì)于A,B∈Mn,若AB=BA,稱A,B可交換.

引理1[4]對(duì)于A,B∈Mn,若A,B均可對(duì)角化,且AB=BA,則A,B可同時(shí)對(duì)角化.

引理2 設(shè)A∈A IMn,R(A)=r,則存在可逆矩陣P,使A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

證設(shè)λ是A的特征值,x是對(duì)應(yīng)于λ的特征向量,由Ax=λx及A2=-A知λ只能取-1和0,且-1和0分別為A的r重和n-r重特征值.

由A2=-A可得(A+I)A=O或A(A+I)=O,從而A的r個(gè)線性無關(guān)的列向量(記為P1)為對(duì)應(yīng)于-1的r個(gè)線性無關(guān)的特征向量;A+I的n-r個(gè)線性無關(guān)的列向量(記為P2)為對(duì)應(yīng)于0的n-r個(gè)線性無關(guān)的特征向量.于是令P=(P1,P2),則A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

注 引理2的證明給我們提供了構(gòu)造反冪等陣相似于對(duì)角陣的相似變換矩陣的方法.

證 (A1+A2)2=++A1A2+A2A1=-(A1+A2)+A1A2+A2A1.

(i)?(ii).若(A1+A2)2=-(A1+A2),則A1A2+A2A1=O,在A1A2+A2A1=O兩邊分別左乘和右乘以A1,并結(jié)合A1的反冪等性,得-A1A2+A1A2A1=O,A1A2A1-A2A1=O,于是A1A2=A1A2A1 =A2A1.再由A1A2+A2A1=O得A1A2=A2A1=O.

(ii)?(i)顯然.

(ii)?(iii).由引理2,存在可逆陣P1,使A1=P1diag(-Ir,O)P.

又由引理2,存在可逆陣P2,使

取P=P1diag(Ir1,P2),就有A1=Pdiag(-Ir1,O)P-1,A2=Pdiag(O,-Ir2,O)P-1,于是

容易得到A1A2=A2A1=O.

證由定理1和歸納法易證.

定理2 設(shè)Ai∈A IMn,R(Ai)=ri＞0,i=1,2,則下列各款等價(jià)：

(i)A1-A2∈A IMn;

(ii)A1A2=A2A1=-A2;

(iii)存在可逆陣P,A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

證(A1-A2)2=A+A-A1A2-A2A1=-A1-A2-A1A2-A2A1

(i)?(ii).若(A1-A2)2=-(A1-A2),則A1A2+A2A1=-2A2,在A1A2+A2A1=-2A2兩邊分別左乘和右乘以A1,并結(jié)合A1的反冪等性,得A1A2A1=-A1A2,A1A2A1=-A2A1.再由A1A2+A2A1=-2A2,則有A1A2=A2A1=-A2.

(ii)?(i).顯然.

(ii)?(iii).由A1A2=-A2知R(A2)≤R(A1),即r2≤r1.由引理2,存在可逆陣P1,使

又由引理2,存在可逆陣P2,使A11=P2diag(-Ir2,O)P.取P=P1diag(P2,In-r2),則有

由于r1≥r2,所以A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

(iii)?(ii).由A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1,可取

則顯然有A1A2=A2A1=-A2.

證必要性.設(shè)A可對(duì)角化,則存在可逆陣P,使A=Pdiag(λ′1Ir1,λ′2Ir2,…,λ′sIrs)P-1,其中r1+r2+…+rs=n,λ′1,λ′2,…,λ′s是A的互不相同的特征值.令λi=-λ′i,則

[1] Oskar Mariabaksalary,Julio Benitez.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are commuting[J].Linear Algebra Appl.,2007,424：320-337.

[2] Baksalary J K,Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of two idempotent matrices[J].Linear Algebra Appl.,2000,321：3-7.

[3] Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices two of which are disjont[J], Linear Algebra Appl.,2004,388：67-78.

[4] Horn R A,Johnson R.Matrix Analysis[M].Cambridge.U K：Cambridge University Press.1985.

Anti-idempotency of Linear Combinations of Anti-idempotent Matrices

YA N L ie-ya, WA N G Yan
(School of Science,Xi’an University of Arch.&Tech.,Xi’an 710055,China)

Anti-idempotency of linear combinations of anti-idempotent matrices are investigated.A result that diagonalization matrices are expressed to linear combinations of anti-idempotent matrices is given.Also,we obtain a pathway of constructive anti-idempotent matrices of pairwise commutaive and orthogonal.

anti-idempotent matrices;linear combinations;similarity transformation;diagonalization

O151.21

A

1672-1454(2011)05-0108-04

2008-11-17;[修改日期]2009-02-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971160);陜西省教育廳專項(xiàng)基金