趙艷輝, 張學(xué)軍

(1.湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南永州 425006; 2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,湖南長沙 410006)

Dirichlet型空間到μ-Bloch空間的加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子

趙艷輝1, 張學(xué)軍2

(1.湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南永州 425006; 2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,湖南長沙 410006)

主要討論了Cn中單位球上Dirichlet型空間Dp到μ-Bloch空間βμ的加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子Tg的有界性和緊性問題,給出了Tg為Dp到βμ有界算子或緊算子的充要條件.

Dirichlet型空間,μ-Bloch空間;加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子;有界性;緊性

1 問題的引進(jìn)和定義

用dv表示Cn中單位球B上的正規(guī)Lebesgue測度,dσ為單位球面δB上的正規(guī)面測度.設(shè)B表示Cn上的單位球,H(B)代表B上的全純數(shù)類.對[0,1)上的連續(xù)函數(shù)μ(r)=0,如果存在常數(shù)a,b (0＜a＜b),使得

則稱μ是[0,1)上的一個正規(guī)函數(shù).作為一個加權(quán),正規(guī)函數(shù)μ通常被用來定義混合?？臻g[1].設(shè)μ是一個正規(guī)函數(shù),B上的全純函數(shù)f如果滿足

則稱f屬于μ-Bloch空間βμ;如果f滿足

[2]可知,存在常數(shù)c＞0,使得

我們知道,D0為Hardy空間H2,D-1為Bergman空間L.

在單復(fù)變中定義了如下Ces‘a(chǎn)ro算子:

對多復(fù)變的情形,給定g∈H(B),定義加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子為

文獻(xiàn)[1],[10]在單位球中討論了混合?？臻g和Bloch型空間上加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子的有界性和緊性問題.文獻(xiàn)[11]討論了單位球中Bloch型空間βp之間及Dirichlet型空間Dq之間的加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子的有界性和緊性問題.本文的主要工作就是在Cn中的單位球上來給出Tg為Dirichlet型空間Dq到βμ空間的有界算子和緊算子的充要條件.

2 有關(guān)引理及其證明

引理2.1[14]若f∈Dp,則

引理2.2 設(shè)μ為[0,1)上的正規(guī)函數(shù),g∈H(B),則Tg為Dp到βμ的緊算子的充要條件是:對Dp上任一有界序列{fj},如果它在B的任一緊子集上一致收斂于0,就有‖Tg(fj)‖βμ→0(j→∞).

證由引理2.1和Montel定理按定義可證.

3 關(guān)于加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子的有界性

定理3.1 設(shè)-∞＜p＜+∞,μ為[0,1)上的正規(guī)函數(shù),g∈H(B),則Tg為Dp到βμ之有界算子的充要條件是:

證(i)充分性.任取f∈Dp,由于Tg(f)(0)=0,且R[Tg(f)](z)=f(z)Rg(z),由引理2.1可得

這表明Tg是Dp到βμ的有界算子.

必要性.設(shè)Tg為Dp到βμ的有界算子,當(dāng)p＞n時,取f(z)=1,因為

所以‖fω‖Dp≤c.由Tg是Dp到βμ的有界算子知

由ω的任意性知當(dāng)p=n時,(3.2)式成立.

證此時由定理3.1知

再由極大模原理有Rg(z)=0,這意味著g為常值函數(shù).

4 關(guān)于加權(quán)Ces‘a(chǎn)ro算子的緊性

定理4.1 設(shè)-∞＜p＜+∞,μ為[0,1)上的正規(guī)函數(shù),g∈H(B),則Tg為Dp到βμ之緊算子的充要條件為

證(i)充分性.若(i),(ii),(iii)成立,則g∈βμ.任取點列{fj},滿足‖fj‖Dp≤1且在B上內(nèi)閉一致收斂于0.

當(dāng)p＜n時,若(4.1)式成立,則對?ε＞0,存在0＜δ＜1,當(dāng)δ＜|z|＜1時,有

由于{fj}在E={z∶|z|≤δ}上一致收斂于0,故存在自然數(shù)N,當(dāng)j＞N時,有|fj(z)|＜ε對一切z∈E成立.從而當(dāng)j＞N時,由引理2.1及g∈βμ知

由ε的任意性和引理2.2知Tg為Dp到βμ的緊算子.類似可證:當(dāng)p=n時,若(4.2)式成立時Tg為Dp到βμ的緊算子,當(dāng)p＞n時,由g∈βμ,0類似可得結(jié)論.反之,設(shè)Tg為Dp到βμ的緊算子,取f(z)=1∈Dp可得g∈βμ.

下面證明(4.1)式成立.現(xiàn)假設(shè)(4.1)式不成立,則存在點列{zj}?B及常數(shù)ε0＞0,滿足|zj|→1 (j→∞)以及

類似定理3.1中(i)的必要性的證明可得‖fj‖Dp≤c.且顯然{fj}內(nèi)閉一致收斂于0,根據(jù)引理2.2知

當(dāng)p=n時,若(4.2)式不成立,則存在點列{zj}?B及常數(shù)ε0＞0,滿足|zj|→1 (j→∞)以及

此處pk為至多k次的多項式,故由文獻(xiàn)[12]中命題1.4.10可得

再由文獻(xiàn)[13]中引理2.1知,‖fj‖Dn≤c.但由(4.4)式知

這與引理2.2矛盾!因此必有(4.2)式成立.

當(dāng)p＞n時,下面證明g∈βμ,0.

即{fj}在Dp上有界,且顯然{fj}內(nèi)閉一致收斂于0.根據(jù)引理2.2知

矛盾!因此必有g(shù)∈βμ,0成立.

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Extended Ces‘a(chǎn)ro Operator from Dirichlet Type Spaces toμ-Bloch Spaces on the Unit Ball

Z HAO Yan-hui1Z HA N G Xue-j un2
(1.Department of Mathematics and Computational Scienc,Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou,Hunan 425006,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Hunan Normal University,Changsha 410006,China)

The necessary and sufficient conditions are given for the Extended Ces‘a(chǎn)ro operatorTgto be bounded or compact from Dirichlet type spacesDptoμ-Bloch spacesβμon the unit ball ofCn.

Dirichlet type spaces;μ-Bloch spaces;extended Ces‘a(chǎn)ro operator;boundedness;compactness

O174.56

A

1672-1454(2011)05-0056-06

2008-11-24;[修改日期]2009-05-31