夏必臘, 王金山

(解放軍炮兵學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,合肥 230031)

自共軛常微分方程邊值問(wèn)題與變分問(wèn)題的等價(jià)性

夏必臘, 王金山

(解放軍炮兵學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,合肥 230031)

首先給出了自共軛常微分方程及其邊值問(wèn)題,進(jìn)而證明了自共軛常微分方程邊值問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)泛函變分的極值問(wèn)題,最后指出了將自共軛常微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為等價(jià)的泛函變分極值問(wèn)題的好處.

共軛;常微分方程;邊值問(wèn)題;變分;極值;等價(jià)

1 自共軛常微分方程及其邊值問(wèn)題

形如

的微分方程稱為自共軛常微分方程,其中pk(x)∈Ck[x0,x1]且pk(x)至多只有有限個(gè)零點(diǎn).方程(1)是一個(gè)2n階微分方程,是函數(shù)論中一個(gè)很重要的方程,許多著名方程都可由它派生出來(lái).特別,當(dāng)n=1時(shí),方程(1)變?yōu)?/p>

是一2階微分方程,其中p(x)≥0和q(x)≥0且均為連續(xù)函數(shù),p(x)至多只有有限個(gè)零點(diǎn).方程(2)的邊界條件為

其中α,β,γ和σ為常數(shù)且非負(fù),A,B為常數(shù),α2+β2≠0,γ2+σ2≠0.當(dāng)α≠0,γ≠0時(shí),β2+σ2≠0.

2 微分算子及性質(zhì)

下面討論算子T的性質(zhì).據(jù)式(3),設(shè)α≠0,γ≠0,利用分部積分法,有

根據(jù)假定p(x)≥0,q(x)≥0,α,β,γ和σ非負(fù),因此(Ty,y)≥0,即T是正定算子.

式(7)和式(8)是在α≠0,γ≠0的條件下得到的.若α=γ=0,則這兩式中含有α和γ的項(xiàng)不出現(xiàn),此時(shí)無(wú)論A和B是否為零,T都是對(duì)稱正定算子.

綜上所述,當(dāng)A=B=0或α=γ=0時(shí),問(wèn)題給定的自共軛微分算子T是對(duì)稱正定算子.

3 與自共軛常微分方程邊值問(wèn)題等價(jià)的變分問(wèn)題

由此可見(jiàn),在α≠0和γ≠0的邊界條件下,式(12)的一階變分為零,二階變分不小于零,即式(12)取得絕對(duì)極小值的充分條件為y=y(x)是方程(2)的解,故式(12)就是所求的泛函.

當(dāng)α=γ=0時(shí),邊界條件可簡(jiǎn)化為

此時(shí)y(x0)和y(x1)都是常數(shù),即邊界條件都固定,有δy(x0)=δy(x1)=0.對(duì)泛函(12)取一階和二階變分,仍是(10)和(11),但由于δy(x0)=δy(x1)=0,一階變分中的2py′δy=0.由此可見(jiàn),在上述邊界條件下,泛函(9)的一階變分為零,二階變分不小于零,即泛函式(9)取得絕對(duì)極小值時(shí)的充分條件為y=y(x)是方程(2)的解,故式(9)就是所求的泛函.然而,比較式(9)和式(12)可以看出,將(12)中有關(guān)α和γ的項(xiàng)去掉,則式(12)就可退化為式(9).類似地,如果在邊界條件(3)中有某常數(shù)為零,則在式(12)中去掉與該常數(shù)有關(guān)的項(xiàng)后所得到的泛函就是與方程(2)的解對(duì)應(yīng)的泛函.于是,可得到下面的定理：

定理設(shè)y∈C2[x0,x1],y=y(x)是微分方程(2)在邊界條件(3)下的解的充要條件為它對(duì)應(yīng)的泛函(12)在y=y(x)處取得絕對(duì)極小值,且邊界條件(3)中的與常數(shù)α,β,γ,σ,A和B相關(guān)的項(xiàng)和泛函(12)中的同名常數(shù)相關(guān)的項(xiàng)相一致.

4 推 廣

有時(shí)還會(huì)遇到非自共軛微分方程,在某些情況下,用一個(gè)待定因子μ(x)乘以該方程,可使它化為自共軛微分方程.例如：二階線性微分方程

5 實(shí) 例

[1] 艾利斯哥爾茲.變分法[M].北京：高等教育出版社,1983.

[2] 錢偉長(zhǎng).變分法及有限元講義[M].北京：高等教育出版社,1987.

[3] 老大中.變分法基礎(chǔ)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2003.

[4] 柯朗·希爾伯特.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社,1988.

Variation Problemof Equivalence with Boundary Value Problem of Self Conjugate Ordinary Differential Equation

X Iabi-la, WA N G J in-shan
(Teaching and Research Section of Math.,PLA Artillery Academy,Hefei 230031,China)

This paper presents with boundary value problem of self conjugate ordinary differential Equation first,then proves that the Equation with boundary value problem and variation problem are equivalent,and finally gives the advantages of this kind of transformation.

conjugate;ordinary differentialEquation;boundary value problem;variation;extreme value; equivalence

O175.8

A

1672-1454(2011)03-0120-04

2008-03-27