孫江潔, 杜雪樵

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,合肥 230009)

雙障礙冪型期權(quán)定價公式

孫江潔, 杜雪樵

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,合肥 230009)

為了進一步完善障礙期權(quán)理論,更好地適應(yīng)金融市場的需求,本文在完全市場條件下,利用連續(xù)時間的雙障礙冪型期權(quán)買權(quán)過程的鞅性和等價鞅測度變換的方法,得到了雙障礙冪型期權(quán)定價模型的顯式解.

雙障礙期權(quán);冪型期權(quán);鞅;停時;買權(quán)

1 引 言

近年來,國際金融市場上除了歐式和美式期權(quán)外,還涌現(xiàn)出大量由標準期權(quán)變化、組合和派生的新品種,即新型期權(quán)[1].它是通過改變股票結(jié)構(gòu),使股票價格變化依賴于股票價格路徑一種奇異期權(quán).我們都知道,標準的歐式看漲(看跌)期權(quán)的支付函數(shù)均為股價的線性函數(shù).但在金融工程事務(wù)及理論領(lǐng)域存在如下形式的支付函數(shù):max{SαT-K,0},在這里,α＞0,為常數(shù),K為執(zhí)行價格,T為到期日,記冪函數(shù)SαT=(ST)α,設(shè)此冪函數(shù)為非負單增函數(shù),它改變了股票價格的變化路徑,它是新型期權(quán)的一種.因為它是依賴股票價格的冪型函數(shù)變化路徑,所以它對股票價格變化的敏感性明顯增強,為了滿足部分投資者的喜好,為了盡可能避免少數(shù)投機者操縱投資市場,我們有必要對障礙期權(quán)和障礙冪型期權(quán)進行研究.如Merton(1973)[2]和Goldman et al(1979)[3]對單障礙期權(quán)進行了探索,2004年,李霞、金治明討論了障礙期權(quán)的定價問題[4].然而,對單障礙期權(quán)的自然推廣則是雙障礙期權(quán)的定價問題.于是,在2004年,張斌、韓萍利用鞅的方法討論了雙障礙期權(quán)定價問題[5];在2005年,李小愛對障礙平方期權(quán)進行了研究[6].同年,肖艷清、鄒捷中等得到了下降敲出的指數(shù)屏障期權(quán)定價公式[7].本文在這里主要研究了完全市場條件下,雙障礙冪型期權(quán)的定價公式.

2 金融市場的描述

假定市場是完全、無套利的,只有風險資產(chǎn)St和無風險資產(chǎn)p(t),其價值過程{St∶t≥0}和{p(t)∶t≥0}滿足如下微分方程:

這里{Bt}t≥0是帶σ-代數(shù)流的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標準布朗運動.μ,σ,r分別是股票瞬時期望受益率和波動率及無風險利率,且均為固定常數(shù).令

由測度變換的Girsanov定理容易得到P＊為風險中性測度,且B＊t為P＊下的布朗運動.

引進記號:下障礙水平為L,(L＞0且L＜Sα0);上障礙水平為H,(H＞Sα0),假定H＞K,令

下面我們討論雙障礙冪型買權(quán)在到期日T的價值:

3 雙障礙冪型期權(quán)定價公式

定理在上述的條件下,雙障礙冪型看漲期權(quán)在到期日的價值為

在證明定理之前,先給出兩個引理:

引理1[5]各種假設(shè)和定義同上,如果風險資產(chǎn)St滿足(1)式,且支付函數(shù)為冪型函數(shù)時,雙障礙冪型期權(quán)買權(quán)貼現(xiàn)到0時刻的價值過程:{Cα(St∧τL∧τH,,t∧τL∧τH),0≤t≤T}是一個鞅.這里t∧τL∧τH?min{t∧τL∧τH}.

引理2[8]J是[a,b]的一個Borel子集,對于a＜0＜b,取c=b-a,有

定理的證明 由引理1可知,雙障礙冪型看漲期權(quán)在到期日的價值為

4 結(jié)束語

本文主要探討了雙障礙冪型期權(quán)的定價問題,并得到了在完全市場條件下,雙障礙冪型期權(quán)的定價公式.它進一步推廣了文獻[2-7]的結(jié)論.在一般市場上,情況比較復(fù)雜,有待進一步研究.

[1] 吳素琴,杜雪樵.上升敲出障礙期權(quán)二項式定價模型[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2006,29(5)：500-502.

[2] Merton R.Theory of Rational option Pricing[J].Econ.Manag.Sci(Spring),1973,4(1)：141-183.

[3] G oldman M,Sosin H,Gatto M.Path dependent options：buy at the low,sell at the high[J].Finance,1979,34(12)：111-127.

[4] 李霞,金治明.障礙期權(quán)的定價問題[J].經(jīng)濟數(shù)學,2004,21(3)：200-208.

[5] 張斌,韓萍.雙障礙期權(quán)的數(shù)學模型及其定價[J].新疆師范大學學報,2004,23(4)：36-40.

[6] 李小愛.障礙平方期權(quán)的定價[J].數(shù)學理論與應(yīng)用,2005,25(2)：61-64.

[7] 肖艷清,鄒捷中.指數(shù)屏障期權(quán)定價模型[J].經(jīng)濟數(shù)學,2005,22(4)：368-372.

[8] David A.Freedman.Brownian motion and diffusion[M].London：Cambridge university press,1970：31-37.

[9] Musiela M,Rutkowski M.Martingale methods in finanmcial modelling[M].New York：Springer-Verlag,2003：110-116.

The Pricing of Double-barrier Power

SUN J iang-jie, DU X ue-qiao
(School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

It is proved the pricing formulas of double-barrier power options.By double-barrier buy power options is a martingale and means of martingale method in the complete market.It is further to improve the theory of barrier options to adapt the need of financial market.

double-barrier options;power option;martingale;stopping-time;Buy-option

O211.62

A

1672-1454(2011)03-0115-05

2008-02-25