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        一道數(shù)學競賽題的一般形式

        2011-11-22 01:39:04杰,
        大學數(shù)學 2011年4期
        關鍵詞:等位合肥工業(yè)大學競賽題

        潘 杰, 周 玲

        (合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,合肥 230009)

        一道數(shù)學競賽題的一般形式

        潘 杰, 周 玲

        (合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,合肥 230009)

        介紹浙江省2008年高等數(shù)學競賽一道二重積分的一般形式,分別利用化累次積分法、變數(shù)替換法、等值線法給出不同的證明.

        數(shù)學競賽;二重積分;累次積分;變量替換;等位線法

        2008年浙江省高等數(shù)學競賽(理工類)試題的第三大題為

        本文介紹這道試題的一般形式及其多種證法.

        設f(t)為連續(xù)函數(shù),則有

        證法1 先將二重積分化為累次積分,利用變量替換并交換積分順序進行證明.

        證法2 利用二重積分的變量替換.

        證法3 利用等位線方法(可參閱[1]).

        令x-y=t,則在D上,-A≤t≤A.

        以|A0B0|為長為寬的矩形面積作為面積元素d S(t),即

        由(1)不難知道,若f(x)為連續(xù)的偶函數(shù),則有

        其中a>0為常數(shù),D0={(x,y)|x|≤a,|y|≤a}.(第8屆(1996年)北京市大學生數(shù)學競賽題)

        利用(1)或(2),不難求解本文開頭的數(shù)學競賽題.

        在(1)中取f(x-y)=sin(x-y)2,A=2,則有

        [1] 黃元兵.等位線(面)的多重積分[J].高等數(shù)學研究,2004,7(2):28-29.

        O172.2

        C

        1672-1454(2011)04-0156-03

        2008-10-20

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