2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(二)

第一試

一、填空題

3.若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，能使函數(shù)f(x)=sin6x+cos6x+2asinxcosx的取值恒非負(fù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

4．已知M={(m,n)|n2-6n+8-m3=0,n∈Z,m為質(zhì)數(shù)}，則集合M的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.

6.將一個(gè)4×4棋盤(pán)中的8個(gè)小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有2個(gè)黑色方格，則有________不同的染法(用數(shù)字作答).

7．正三棱錐底面一個(gè)頂點(diǎn)與它所對(duì)側(cè)面重心的距離為8，則這個(gè)正三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_______.

8.不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax對(duì)xgt;0恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是________.

二、解答題

(1)求橢圓C的方程；

(1)判斷點(diǎn)Pn與直線(xiàn)l的位置關(guān)系；

第二試

三、某種彩票的對(duì)獎(jiǎng)號(hào)是{1,2,…,50}的排列，購(gòu)買(mǎi)彩票時(shí)號(hào)碼可自選，開(kāi)出的中獎(jiǎng)號(hào)也是{1,2,…,50}的排列，如果對(duì)獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)有數(shù)在同一位置上即為中獎(jiǎng).為確保中獎(jiǎng)，最少得買(mǎi)多少?gòu)埐势保?/p>

四、設(shè)S={1,2,...,50},求最小正整數(shù)k，使S的任一k元子集中都存在2個(gè)不同的數(shù)a和b，滿(mǎn)足(a+b)整除ab.

參考答案

第一試

4．4 5．1lt;a≤2 6．90 7．144 8.10

9.解原不等式等價(jià)于

當(dāng)xgt;a或xlt;b時(shí)，原不等式等價(jià)于

x2-(a+b+2)x+(a+b)+ab≤0.

設(shè)f(x)=x2-(a+b+2)x+(a+b)+ab，則

f(a)=b-alt;0,f(b)=a-bgt;0.

設(shè)f(x)=0的2個(gè)根分別為x1,x2(x1lt;x2)，則滿(mǎn)足f(x)≤0的x構(gòu)成的區(qū)間為(a,x2]，區(qū)間的長(zhǎng)度為x2-a.

當(dāng)blt;xlt;a時(shí)，同理可得滿(mǎn)足f(x)≥0的x構(gòu)成的區(qū)間為(b,x1]，區(qū)間的長(zhǎng)度為x1-b.由韋達(dá)定理得

x1+x2=a+b+2，

故滿(mǎn)足條件的x構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為

x2-a+x1-b=(a+b+2)-a-b=2.

10.(1)解由題意可得

a2=4,b2=2，

因此所求橢圓方程為

(2)證法1設(shè)點(diǎn)Q，A，B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2)．由題設(shè)得

于是

(1)

(2)

又點(diǎn)A,B在橢圓C上，得

式(1)+式(2)×2并結(jié)合式(3)，式(4)得

4x+2y=4,

所以點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)2x+y-2=0上．

解法2設(shè)點(diǎn)Q(x,y),A(x1,y1)，B(x2,y2).由題設(shè)得

又由P,A,Q,B四點(diǎn)共線(xiàn)，可得

因此

(5)

(6)

因?yàn)锳(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上，將式(5)，式(6)分別代入C的方程x2+2y2=4,整理得

式(7)-式(8)得

8(2x+y-2)λ=0.

又λ≠0,所以

2x+y-2=0，

故點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)2x+y-2=0上．

11.解(1)對(duì)任意的n，點(diǎn)Pn都在直線(xiàn)l上.

因?yàn)閍1=1,b1=-1，所以

于是直線(xiàn)l的方程為2x+y=1.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則

當(dāng)n=k+1時(shí)，

因此命題成立.

由①，②可知，對(duì)任意的整數(shù)n，都有

又2an+bn=1，所以對(duì)任意的n，點(diǎn)Pn都在直線(xiàn)l上.

第二試

一、解(1)若FE∥AC，則

代入已知條件，可得

因此HG∥AC，從而E1F1∥AC∥H1G1，故

圖1

(2)若EF與AC不平行，設(shè)FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)T，則由梅涅勞斯定理得

結(jié)合題設(shè)得

由梅涅勞斯定理的逆定理知：T,H,G三點(diǎn)共線(xiàn).設(shè)TF,TG與E1H1分別交于點(diǎn)M,N.由E1B∥EF得

同理可得

(9)

(10)

由式(9)，式(10)得

同理可得

所以

二、證明由x2+y2-2xy=(x-y)2，可得

于是

即

同理可得

3個(gè)等式疊加得

(11)

應(yīng)用不等式

得

注意到等式(11)，顯然可知所證的不等式成立．

三、解最少得買(mǎi)26張彩票，此26張中的每張前26個(gè)數(shù)字為1，2，…，26，排列如下：

1，2，…，26；2，…26，1；3，…，26，1，2；…;26，1，…，25.

而后面只有24個(gè)位置，不可能滿(mǎn)足1，2，…，26都在這些位置上，因此必有1張中獎(jiǎng).

下證對(duì)任何25張彩票，存在不中獎(jiǎng)的可能.

設(shè)每張彩票對(duì)應(yīng)數(shù)組Ai={ai1,ai2,…,ai50}(i=1,2,…,25).設(shè)中獎(jiǎng)彩票為{b1,b2,…,b50}，滿(mǎn)足bi≠aj，顯然每個(gè)數(shù)至少可填在25個(gè)不同的位置上,1，2，…，25填入，不會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題.

現(xiàn)設(shè)填入k成立，證明也可填入k+1(k≥25).若不能，則剩下(50-k)個(gè)位置上，存在Ai中的某個(gè)數(shù)，任選一個(gè)位置填入k+1已填的k位置上,含k+1的至多(k-25)個(gè)，不含k+1的至少25個(gè).

考慮這25個(gè)位置上的數(shù)，因?yàn)閷?duì)于(50-k)個(gè)位置上的每個(gè)位置除了k+1至多還有24個(gè)不同數(shù)，則可從25個(gè)位置上的某位置的數(shù)與k+1所在位置上的數(shù)調(diào)換，滿(mǎn)足到k+1成立，因此可構(gòu)造一個(gè)中獎(jiǎng)彩票使任何25張彩票都不中獎(jiǎng).

四、解設(shè)a,b的最大公因數(shù)為d,a=a1d,b=b1d,則(a1,b1)=1.代入(a+b)|(ab)得

(a1+b1)|(a1b1d).

由

(a1+b1,a1)=(a1+b1,b1)=(a1,b1)=1,

得(a+b)|(ab)的充要條件是(a1+b1)|d.令d=k(a1+b1)，得到滿(mǎn)足條件的所有數(shù)組

a=ka1(a1+b1),b=kb1(a1+b1).

可設(shè)a1lt;b1≤6,列出S中所有23個(gè)(a,b)對(duì),如表1所示.

表1 S中所有23個(gè)(a,b)對(duì)表

現(xiàn)在以S為頂點(diǎn)集作關(guān)聯(lián)圖,圖中有26個(gè)孤立點(diǎn)：

圖2

1,2,11,13,17,19,22,23,25,26,27,29,31,32,33,34,37,38,39,41,43,44,46,47,49,50,其余24個(gè)點(diǎn)(23條棱)分為3個(gè)連通支(如圖2).從圖中可以看出,可以選取38個(gè)點(diǎn)互不相鄰:26個(gè)孤立點(diǎn)以及12個(gè)點(diǎn){14,7,21,5,4,9,8,16,3,40,15,45}.因此k≥39.

另一方面,任一39元子集中至少有13個(gè)點(diǎn)不是孤立點(diǎn)，它們分布在12個(gè)相鄰對(duì)中:

(14,35),(7,42),(21,28),(5,20),(9,18),(4,12),(8,24),(16,48),(3,6),(40,10),(15,30),(45,36),

必有一對(duì)的2個(gè)數(shù)同屬于子集,它們滿(mǎn)足整除條件.故k的最小值是39.

(供稿人:虞金龍)