2011年希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初三競(jìng)賽二試模擬卷(一)

一、選擇題(共8小題，每小題5分，滿分40分)

1．下列命題中,假命題是

( )

A.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2．已知一次函數(shù)y=kx-k,若y隨x的減小而減小,則該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)

( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

( )

A.x為任意實(shí)數(shù) B.1≤x≤4 C.xgt;1 D.xlt;4

( )

A.a≥-1 B.agt;-1 C.a≤-1 D.alt;-1

圖1

5．如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)O在矩形ABCD內(nèi)．若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，且四邊形OGDH的面積為5，則四邊形OEBF的面積為

( )

A.5 B.6 C.7 D.8

6．在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的立方體中放入直徑為1的相同的球,可以放入最多的個(gè)數(shù)是

( )

A.66 B.64 C.75 D.73

7.如果關(guān)于x的方程ax2+(2a-1)x+a-5=0的2個(gè)根一個(gè)大于2、一個(gè)小于2,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

8．甲、乙、丙、丁4個(gè)人做相互傳球游戲,第1次甲傳給其他3個(gè)人中的一人,第2次由拿到球的人再傳給其他3個(gè)人中的一人(下同),這樣的傳球共進(jìn)行了4次，則第4次仍傳回到甲手中的概率為

( )

二、填空題(共8小題，每小題5分，滿分40分)

9.已知AB為⊙O的直徑,PA,PC是⊙O的切線,A,C為切點(diǎn)，∠BAC=30°,則∠P=________;若AB=2,則PA=________.

10．邊長(zhǎng)為3,4,5的2個(gè)直角三角形ABC，分別繞直角邊AB和斜邊AC旋轉(zhuǎn)一周,得到2個(gè)不同的幾何體P,Q，則這2個(gè)幾何體的表面積分別是________和________.

11.二次函數(shù)y=x2+ax+a-2(a≠0)的頂點(diǎn)可能在第________象限.

13．一個(gè)半徑為1的圓O在一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)部隨意滾動(dòng),設(shè)∠OAD=α,且tanα=k,則k的取值范圍為_(kāi)_______;又正方形的邊長(zhǎng)若為n(n是大于2的自然數(shù)),則k的取值范圍為_(kāi)_______.

14.東東準(zhǔn)備給南南打電話,由于保管不善,電話本上南南的手機(jī)號(hào)碼中有2個(gè)數(shù)字已模糊不清.如果用x,y表示這2個(gè)看不清的數(shù)字,那么南南的手機(jī)號(hào)碼為139x370y580,東東記得這11個(gè)數(shù)字之和是20的整數(shù)倍，則x+y=________;東東一次撥對(duì)南南手機(jī)號(hào)碼的最大概率是________.

圖2

16.如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AB=8 cm，AD=16 cm，BC=22 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).那么經(jīng)過(guò)______s，四邊形ABQP成為矩形;經(jīng)過(guò)_____s，四邊形PQCD成為等腰梯形;經(jīng)過(guò)_____s，四邊形PBQD成為菱形.

三、解答題(共2小題，每小題20分，滿分40分)

17．有一個(gè)邊長(zhǎng)為6,8,10的直角三角形,現(xiàn)要求拼上一個(gè)一條直角邊為8的直角三角形,使拼成的三角形成為一個(gè)等腰三角形,試畫(huà)出各種不同拼法的草圖,并求所拼出的等腰三角形的周長(zhǎng).

(1)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A,O在一條直線上時(shí)，CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出OD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值和最小值．

參考答案

1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7.C 8．D

17．解拼接草圖如圖3所示,共4種.

圖3

18．解(1)CD與⊙O相切.因?yàn)辄c(diǎn)A，D，O在一直線上，∠ADC=90°，因此∠CDO=90°，所以CD是⊙O的切線.當(dāng)CD與⊙O相切時(shí)，有以下2種情況：

①切點(diǎn)在第二象限時(shí)(如圖4所示),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則

a2+(a+1)2=13，

解得

a=2或a=-3(舍去).

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OB于點(diǎn)E，則

Rt△ODE∽R(shí)t△OBA，

因此

于是

圖4 圖5

圖6

(2)如圖6,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)G,連結(jié)BD,OD,則

BD2=BG2+DG2=

(BO-OG)2+OD2-OG2=

(供稿人：施 儲(chǔ))