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(楊賢江中學(xué) 浙江慈溪 315300)

六類類比在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

●胡徐波張示達(dá)

(楊賢江中學(xué) 浙江慈溪 315300)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾指出：“類比是某種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似”.類比是從已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉，是一種較高層次的信息遷移，它是由特殊到特殊的推理．

類比推理的前提是2類對(duì)象之間具有某些可以清楚定義的類似特征、明確的類比關(guān)系，因此運(yùn)用類比的關(guān)鍵是確定類比對(duì)象.而確定類比對(duì)象的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象．不能讓類比僅僅停留在敘述方法或結(jié)構(gòu)形式等外層表象上，還需要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算變形、思想方法、思維策略、推理過程等尋求內(nèi)在關(guān)聯(lián)，開展多角度、全方位的類比探析活動(dòng)．由于類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測(cè)性，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，因此還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證，才能確認(rèn)其猜測(cè)結(jié)論的正確性．本文由問題出發(fā)，從定義生成類比、屬性關(guān)系類比、降維減元類比、結(jié)構(gòu)形式類比、思想方法類比、無限有限類比等6個(gè)不同角度，針對(duì)如何進(jìn)行類比推理，作些分類探究解析的有益嘗試，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比進(jìn)行合情推理的能力．

1定義生成類比

問題1若定義集合A與B的運(yùn)算：A?B={x|x∈A或x∈B,且x?A∩B},試寫出(A?B)?A成立的等式．

圖1

探究這是一道抽象的集合問題，利用已有的集合知識(shí)，借助韋恩圖，通過類比問題進(jìn)行探索，可發(fā)現(xiàn)一些含有新定義集合運(yùn)算關(guān)系的等式．若記A?B=C，如圖1中陰影部分所示，則類比得

C?A={x|x∈C或x∈A,且x?C∩A}=B,

因此

(A?B)?A=B．

問題2試指出三角形在空間的類比.

探究(1)由數(shù)目最少的簡單分界元素所圍成的幾何圖形來說:在平面上，2條直線不能圍成一個(gè)有限的封閉圖形，然而3條直線可以圍成一個(gè)三角形；在空間里,3個(gè)平面不能圍成一個(gè)有限的封閉幾何體，然而4個(gè)平面可以圍成一個(gè)四面體．因此，四面體可以看成三角形在空間中的類比．例如,由三角形的3條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心，即生成內(nèi)心.可類比猜測(cè)：四面體的6個(gè)內(nèi)二面角的平分面也相交于一點(diǎn)，而且這就是四面體內(nèi)切球的球心，不妨也稱之為生成內(nèi)心(如圖2).

圖2

(2)從直接生成的角度考慮:棱錐可以看成三角形在空間的類比，如果三角形可以看成將線段(所在直線)外的一點(diǎn)與線段上的各點(diǎn)用線段相連所生成的平面圖形，那么棱錐就可以看成將多邊形(所在平面)外的一點(diǎn)與多邊形上各點(diǎn)用線段相連所生成的空間圖形(如圖3)．

圖3

2屬性關(guān)系類比

其中c2-a2=b2,于是

圖4 圖5

由于橢圓與雙曲線有很多類似的屬性關(guān)系，因此可類比雙曲線的這一結(jié)論以及獲得的這個(gè)定值的特殊方法，尋找其中變與不變的規(guī)律．同理，對(duì)于橢圓也可得

設(shè)此直線方程為y=k(x-c)(斜率k存在)，則點(diǎn)P(0,-kc)．設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，得

解得

同理可得

于是

(1)

(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

當(dāng)Δgt;0時(shí)，由韋達(dá)定理得

代入式(1)得

結(jié)論得證．

3降維減元類比

問題4如圖6,在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O，使得AO，BO，CO，DO與四面體的4個(gè)面BCD，CDA，DAB，ABC分別交于點(diǎn)A1,B1,C1,D1，且滿足

試求k的可能取值．

圖6 圖7

于是 3S△ABC=(k+1)(S△OBC+S△OCA+S△OAB),

解得

3=k+1，

故

k=2．

根據(jù)上述利用面積關(guān)系求解思路推理的啟發(fā)，在空間四面體中，可轉(zhuǎn)化為利用體積關(guān)系進(jìn)行類比推理．在四面體中，因?yàn)橥姿拿骟w的體積比為對(duì)應(yīng)的高之比，等于相似比，所以

于是

4VABCD=(k+1)(VOBCD+VOCDA+VCDAB+VOABC)，

得

4=k+1，

故

k=3．

4結(jié)構(gòu)形式類比

問題5任給7個(gè)實(shí)數(shù)xk(k=1,2,3,…,7),能否求證其中有2個(gè)實(shí)數(shù)xi，xj,滿足不等式

5思想方法類比

證明構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2．因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f(x)≥0，即

對(duì)一切x∈R恒成立,所以

從而

現(xiàn)若a1,a2,…,an∈R，a1+a2+…+an=1，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣，并加以證明．

探究由于函數(shù)與不等式有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，因此研究不等式通常需用函數(shù)的性質(zhì)作為工具．已知這個(gè)不等式的證法是構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合判別式，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化思想.現(xiàn)在只是從二元(a1,a2)推廣到n元(a1,a2,…,an)的情形，因此結(jié)論的推廣和證明完全可以類比上述構(gòu)造二次函數(shù)，與不等式轉(zhuǎn)化的思想方法獲得解決．

證明構(gòu)造函數(shù)

f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=

因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以

從而

6無限有限類比

探究在不能運(yùn)用極限方法求無限和時(shí)，可以通過無限和與有限和進(jìn)行類比，尋找求解思路.設(shè)2n次代數(shù)方程

a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=0

(2)

有2n個(gè)不同的根c1,-c1,c2,-c2,…,cn,-cn，則

(3)

已知函數(shù)sinx的展開式

且方程sinx=0有無窮多個(gè)根為0,±π,±2π,±3π，…，它們也是無窮次方程

的根，則方程

(4)

所以

由于這一結(jié)論建立在無限與有限類比之上，因此它只是一個(gè)大膽的猜想，為了驗(yàn)證這一猜想的可靠性，可以運(yùn)用復(fù)數(shù)的棣莫佛定理給予嚴(yán)格證明(限于篇幅，證明從略)．

總之，形神兼?zhèn)涞念惐?，其基本模式是：若?duì)象A具有屬性a，b，c，d，且對(duì)象B具有屬性a，b，c，猜想：對(duì)象B具有屬性d.類比推理的過程是從特殊到特殊、由此及彼的,具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造結(jié)論、探究和提供思路、指引方向的巨大作用.教師引導(dǎo)學(xué)生自主類比，防止以表掩質(zhì)的“亂比”，應(yīng)突顯學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在直覺感知的基礎(chǔ)上，自覺地形成探究問題的意識(shí)，充分鍛煉發(fā)散性思維和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維的能力，開拓新領(lǐng)域，逐步完善和構(gòu)建合理有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真切地感悟形同神似的神奇類比．

[1] 波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京:科學(xué)出版社，1984．

[2] 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧:廣西教育出版社，1996．