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(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)
三角形內(nèi)切圓的幾個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用
●沈文選
(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)
本文將三角形內(nèi)切圓中的幾個(gè)有趣結(jié)論作為性質(zhì)介紹如下.
證明過程略.
性質(zhì)2設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為I,△IBC的外接圓分別和射線AB,AC交于點(diǎn)D,E,則DE與⊙I相切.
圖1 圖2
證明顯然D,B,I,E,C五點(diǎn)共圓.對(duì)于圖1,有
∠IDB=∠ICB,∠IDE=∠ICE.
而
∠ICB=∠ICE,
于是
∠IDB=∠IDE.
由于AD與⊙I相切,由對(duì)稱性知DE也與⊙I相切.對(duì)于圖2,有
∠IBC=∠IEC,∠IBD=∠IED,
而
∠IBC=∠IBD,
于是
∠IEC=∠IED.
因?yàn)镋A與⊙I相切,所以ED也和⊙I相切.
性質(zhì)3設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切邊BC于點(diǎn)D,AD交內(nèi)切圓于點(diǎn)L,過點(diǎn)L作內(nèi)切圓的切線分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,則
證明當(dāng)MN∥BC時(shí),△ABC為等腰三角形,此時(shí)結(jié)論顯然成立.
當(dāng)MN與BC不平行時(shí)(如圖3),可設(shè)直線MN與直線BC交于點(diǎn)G,設(shè)內(nèi)切圓切AC于點(diǎn)E,切AB于點(diǎn)F,則
GD=GL,BD=BF,ML=MF.
對(duì)△GMB及截線DLA應(yīng)用梅涅勞斯定理,得
從而
即
于是
同理對(duì)△GNC及截線CNA應(yīng)用梅涅勞斯定理,可得
注意到AE=AF,于是
圖3 圖4
證明如圖4,連結(jié)BH,CH.
因?yàn)?/p>
∠BFH=∠CEH,
所以
△BHF∽△CHE,
于是
∠BHF=∠CHE,
且
由角平分線性質(zhì)定理的逆定理,知DH平分∠BHC,從而
∠DHF=∠DHB+∠BHF=∠DHC+∠CHE=
∠DHE,
于是
DH⊥EF.
必要性當(dāng)DH⊥EF時(shí),若FE∥BC,則△ABC為等腰三角形,結(jié)論顯然成立.若FE與BC不平行,則可設(shè)直線FE與直線BC交于點(diǎn)G(如圖4).對(duì)△ABC及截線FEG應(yīng)用梅涅勞斯定理,得
注意到AE=AF,BF=BD,CE=DC,得
過點(diǎn)D作MN∥HG交直線BH于點(diǎn)M,交直線HC于點(diǎn)N,則
DH⊥MN,
從而
即
MD=DN.
由等腰三角形性質(zhì),知DH平分∠MHN,即
∠BHF=∠CHE.
又由
∠BFH=∠CEH,
得
△BHF~△CHE,
從而
性質(zhì)5設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙I切邊BC于點(diǎn)D,P為DI延長線上一點(diǎn),直線AP交BC于點(diǎn)Q,則BQ=DC的充要條件是點(diǎn)P在⊙I上.
證明如圖5,過點(diǎn)P作B′C′∥BC交AB于點(diǎn)B′,交AC于點(diǎn)C′.
充分性當(dāng)點(diǎn)P在⊙I上時(shí),B′C′切⊙I于點(diǎn)P,易知△AB′C′∽△ABC.由于在∠BAC內(nèi)它們的旁切圓分別為⊙I與⊙IA,因此在以A為中心的位似變換下,使⊙I變?yōu)椤袸A,此時(shí)切點(diǎn)P變?yōu)榍悬c(diǎn)Q,即Q為直線AP與BC的交點(diǎn).于是
BQ=p-c=DC,
必要性當(dāng)BQ=DC=p-c時(shí),Q為△ABC的∠BAC的旁切圓的切點(diǎn).由△AB′C′∽△ABC,可知存在以A為中心的位似變換,將BC上的點(diǎn)Q變?yōu)锽′C′上的點(diǎn)P′,且P′為△AB′C′的∠BAC的旁切圓的切點(diǎn).注意到B′C′∥BC,則點(diǎn)P′在過點(diǎn)D與BC垂直的直線上,從而點(diǎn)P′與P重合.故點(diǎn)P在⊙I上.
圖5 圖6
推論1設(shè)Q為△ABC的邊BC上一點(diǎn),則Q為∠BAC內(nèi)的旁切圓的切點(diǎn)的充要條件是AB+BQ=AC+CQ.
性質(zhì)6設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙I分別切邊BC,CA,AB于點(diǎn)D,E,F(xiàn),設(shè)K是DI延長線上一點(diǎn),AK的延長線交BC于點(diǎn)M,則M為BC的中點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)K在線段EF上.
證明如圖6,過點(diǎn)K作ST∥BC交AB于點(diǎn)S,交AC于點(diǎn)T,則IK⊥ST.連結(jié)SI,F(xiàn)I,TI,EI.
充分性當(dāng)點(diǎn)K在EF上時(shí),注意到F,S,I,K及I,E,T,K分別四點(diǎn)共圓,得
∠ISK=∠IFK=∠IEK=∠ITK,
即△SIT為等腰三角形.
注意到IK⊥ST,知K為ST的中點(diǎn).由于ST∥BC,因此M為BC的中點(diǎn).
必要性當(dāng)M為BC的中點(diǎn)時(shí),K為ST的中點(diǎn).由IK⊥ST,可得IS=IT,從而
Rt△ISF≌Rt△ITE,
即
∠SIF=∠TIE.
注意到F,S,I,K及I,E,T,K分別四點(diǎn)共圓,從而
∠SKF=∠SIF=∠TIE=∠TKE,
于是E,K,F(xiàn)三點(diǎn)共線,即點(diǎn)K在線段EF上.
推論2設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙I切邊BC于點(diǎn)D,M為邊BC的中點(diǎn),Q為邊BC上一點(diǎn),則Q為∠BAC內(nèi)的旁切圓的切點(diǎn)的充要條件是IM∥AQ.
事實(shí)上,參見圖6,在證明充分性時(shí),過點(diǎn)A作AQ∥IM交DI于點(diǎn)P,只要證得點(diǎn)P在⊙I上即可.在證明必要性時(shí),延長DI交⊙I于點(diǎn)P,作直線AP交BC于點(diǎn)Q,證得IM∥AQ.
下面介紹幾個(gè)應(yīng)用的例子.
例1如圖7,△ABC的內(nèi)切圓分別切邊BC,CA,AB于點(diǎn)D,E,F(xiàn),M是EF上的一點(diǎn),且DM⊥EF.求證:DM平分∠BMC.
(2005年江西省南昌市數(shù)學(xué)競賽試題)
證明由性質(zhì)4,得
因?yàn)椤螧FM=∠CEM,所以
△BFM∽△CEM,
即
∠BMF=∠CME,
由此可得DM平分∠BMC.
圖7 圖8
類似于例1,可推證《數(shù)學(xué)教學(xué)》1999年第3期數(shù)學(xué)問題481:已知△ABC的內(nèi)切圓在邊BC,CA,AB上的切點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),且DG⊥EF,G為垂足,求證:GD平分∠BGC.
例2△ABC的內(nèi)切圓W分別與邊BC,CA,AB切于點(diǎn)A′,B′,C′,圓周上的點(diǎn)K,L滿足
∠AKB′+∠BKA′=∠ALB′+∠BLA′=180°,
求證:點(diǎn)A′,B′,C′到直線KL的距離彼此相等.
(2008年第34屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)
∠APB′+∠BPA′lt;∠A′PB′lt;180°,
∠AKB=180°-∠A′KB′=180°-∠A′LB′=
∠ALB,
從而A,B,L,K四點(diǎn)共圓.
連結(jié)B′C′,A′C′,由性質(zhì)1(2),得
∠AKB=180°-∠A′KB′=180°-∠A′C′B′=
從而A,B,L,I,K五點(diǎn)共圓.設(shè)AI與B′C′交于點(diǎn)X,則X為B′C′的中點(diǎn).注意到B′C′,KL,AI分別為圓W,⊙AB′IC′,⊙AKILB兩兩的根軸,因而它們共點(diǎn)于X.因此,點(diǎn)B′,C′到KL的距離相等.
同理可得,點(diǎn)A′,C′到KL的距離相等.
例3設(shè)D為△ABC邊BC上一點(diǎn),且滿足AB+BD=AC+CD,線段AD與△ABC的內(nèi)切圓交于點(diǎn)X,Y,且X距點(diǎn)A更近一些,△ABC的內(nèi)切圓與邊BC切于點(diǎn)E.證明:
(1)EY⊥AD;
(2)XD=2IA′,其中I為△ABC的內(nèi)心,A′為邊BC的中點(diǎn).
(2008年第10屆香港特區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)
圖9
證明(1)如圖9,由推論1,知點(diǎn)D為∠BAC內(nèi)的旁切圓與邊BC的切點(diǎn),再由性質(zhì)5知XE為⊙I的直徑,則∠XYE=90°,故EY⊥AD.
(2)由推論2,知IA′∥XD,而I為XE的中點(diǎn),因此XD=2IA′.
(2004年第18屆韓國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)
解由性質(zhì)6,知Q為AC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí),如圖10,在BQ的延長線上取點(diǎn)R,使QR=QP;取點(diǎn)S,使RS=AP.連結(jié)CR,AS,CS,則
CR=AP,PS=2PQ+AP=BP.
從而△ABS,△ACS,△RCS均為等腰三角形,則
∠QAP=∠QCR=∠RSA=∠ABQ,
從而
∠BAC=(90°-∠ABQ)+∠QAP=90°,
此時(shí)
當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí),如圖11,作CR⊥BP于點(diǎn)R,則由Q為AC的中點(diǎn)知
CR=AP,RQ=PQ,
于是
BR=BP-2PQ=AP,
即△BCR為等腰直角三角形.此時(shí),∠RCQ=∠PBA,從而
Rt△RCQ∽R(shí)t△PBA.
由AB=AC=2QC,知AP=2QR=2PQ,于是RC=2PQ,從而
故
例5在銳角△ABC中,已知ABgt;AC,設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,邊AC,AB的中點(diǎn)分別為M,N,點(diǎn)D,E分別在線段AC,AB上,且滿足BD∥IM,CE∥IN,過內(nèi)心I作DE的平行線與直線BC交于點(diǎn)P,點(diǎn)P在直線AI上的投影為Q.證明:點(diǎn)Q在△ABC的外接圓上.
(2010年中國國家集訓(xùn)隊(duì)測試試題)
圖12
從而
設(shè)P1I與AC,AB分別交于點(diǎn)S,T,對(duì)△ABK及截線P1TI應(yīng)用梅涅勞斯定理,得
因?yàn)?/p>
同理可得
又因?yàn)?/p>
所以
P1I∥DE.
注意到過點(diǎn)I只能引一條平行于DE的直線,因此點(diǎn)P1與點(diǎn)P重合.又點(diǎn)P在AI上的投影是唯一的,所以點(diǎn)Q1與點(diǎn)Q重合,即點(diǎn)Q在△ABC的外接圓上.