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(嘉善高級中學(xué) 浙江嘉善 314100)

說題
——數(shù)學(xué)教學(xué)研究的新視野

●錢衛(wèi)紅

(嘉善高級中學(xué) 浙江嘉善 314100)

為了加強(qiáng)教師專業(yè)修煉、厚實數(shù)學(xué)功底、提升一線教師的教學(xué)能力，浙江省教育廳教研室于2010年11月舉辦了“新課程背景下高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力評比與觀摩活動”.比賽分綜合能力測試、說題、上課3個環(huán)節(jié).本文就圍繞“說題”談幾點個人思考.

隨著高中數(shù)學(xué)新課程實驗的深入實施，數(shù)學(xué)學(xué)科教研活動的內(nèi)容和方式在不斷發(fā)生變化.尤其在“說”的活動上，由原來的“說課”到“說教學(xué)片段”，再到當(dāng)前悄然興起的“說題”.這些變化的一個顯著特點是“說”的內(nèi)容范圍逐步變小.“說題”活動更能扼住教師有效教學(xué)的咽喉所在，牽引有效教學(xué)的方向，體現(xiàn)去虛務(wù)實的教研理念，以期更好地促進(jìn)教師的專業(yè)化發(fā)展.

1 “說題”給誰聽

有位選手是這樣開始說題的：“如果有學(xué)生來問我這樣一道題目，我怎么回答他？第一步，去絕對值……”說題是說給學(xué)生聽嗎？不是的.說題是教師以教育教學(xué)理論為指導(dǎo)，在精心備題的基礎(chǔ)上，面對同行用語言闡述對某一題目的理解和把握.“說題”是說給教師、教學(xué)研究人員或領(lǐng)導(dǎo)聽的，而不是說給學(xué)生聽的.本次比賽是把說題作為教師教學(xué)能力評比的一個項目，對教師運(yùn)用教育教學(xué)理論的能力、解題能力、演講能力和隨機(jī)應(yīng)變的能力等作出客觀、公正評判的活動方式，因此本次說題是說給評委和觀摩教師聽的(本次評委由教學(xué)專家、大學(xué)教授、教學(xué)研究人員等組成).

2 “說題”說什么

說題比賽先從現(xiàn)場抽取題目，準(zhǔn)備30分鐘后,參賽者上臺解讀該題的解法、背景、對思維培養(yǎng)方面的作用及不足等內(nèi)容.以題1為例(有4位選手抽到該題).

題1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,a∈N*,c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有2個小于1的不等正根，求a的最小值.

選手1：先說題理.本題的主要條件如題目中所說，要解決的問題是求a的最小值，它涉及到二次函數(shù)、不等式、方程、根的分布等知識.注重對數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化能力以及學(xué)生分析與解決問題能力的考查.其中,難點和關(guān)鍵點是a∈N*，2個小于1的不等正根.然后說思維.說了探索解題途徑的4種常用方法(化整為零、化歸思想、分析綜合、直覺思維).再說解法.根據(jù)題目的特征及以上分析，可采用化歸的思想對2個小于1的不等正根及不等式的條件加以合理轉(zhuǎn)化和拆分，把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問題加以解決.

解法1:因為方程有2個小于1的不等正根，所以

同時,結(jié)合題中的條件a+b+c≥1,c≥1,a∈N*,通過對這個組合的分析，可得

b2-4acgt;0,c≥1,a+b+c≥1,-2alt;blt;0,

對這個條件再進(jìn)一步分析，得

agt;c≥1，

因此

amin=2.

感悟從內(nèi)容看，本題以大家熟悉的二次函數(shù)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為知識載體，讓人產(chǎn)生“似曾相識燕歸來，小園香徑獨徘徊”的感覺.入手容易，解決卻困難.選手1先說題理，挖掘本題的難點和關(guān)鍵點，再說探索解題途徑的常用方法，最后說解法.說題思路明確、框架成熟.遺憾的是，30分鐘的準(zhǔn)備時間對選手來說是比較緊張的.選手1對解法的準(zhǔn)備不夠充裕.事實上，他的解法1只是作了一步轉(zhuǎn)化，把已知條件轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)式子.然而最關(guān)鍵的解法并未說出，給出的答案也是不正確的.而解法2更抽象，本題不但字母多，而且是非線性的，選手用疑問的語氣說“是不是可以把它轉(zhuǎn)化為二元線性規(guī)劃問題加以解決”，顯然是不合適的.到底是能還是不能，應(yīng)該給出一個明確答案.

選手2：題目考查的是二次函數(shù)，條件c≥1?f(0)≥1，a+b+c≥1?f(1)≥1，求a的最小值.這可從a的幾何意義入手.a越小，拋物線開口越大，開口最大的情況為f(0)=1，f(1)=1,且拋物線與x軸相切.此時a的值最小，當(dāng)然這個值是取不到的，這是臨界狀態(tài).所以agt;4,amin=5.

感悟真是“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”!選手2抓住圖形分析，做到處變不驚.因為拋物線必須和x軸有公共點，若f(0)gt;1,f(1)gt;1，或拋物線的頂點往下平移，則拋物線開口必然會小起來，從而從拋物線開口最大(指相同自變量范圍內(nèi))的極端位置入手，利用極限思想漂亮地解決了問題，干凈利落地出現(xiàn)了我們所期待的結(jié)果.

選手3：因為方程ax2+bx+c=0有2個小于1的不等正根，所以

減少變量，分離b.因為agt;0，所以

-2alt;blt;0.

f(1)=a+b+c≥1,

得

于是

即

agt;4,amin=5.

感悟選手3理性的思考、嚴(yán)密的推理令人佩服，可惜的是選手3只是給出了本題的一種解答.解法不是解答，解法是解答問題的方法.因此“說解法”也不是“說解答”，而是在給出簡要解答過程的同時著重說明解答的思路.解答是對解法的驗證，證明這種解法是可行的.

選手4：和前幾位選手一樣列出不等式組，消去b，得agt;4c.猜想amin=5.然后特殊值驗證：令f(0)=1,f(1)=1，得b=-5,c=1,經(jīng)檢驗符合題意.

進(jìn)一步地，設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2).由f(0)≥1,f(1)≥1得

f(0)·f(1)=ax1x2·a(1-x1)(1-x2)≥1,

從而

agt;4,amin=5.

感悟選手4能在這么短的時間里，用2種方法優(yōu)美地解決著實不易，而且處理得特別好.先利用不等式性質(zhì)得出范圍，然后驗證，避免擴(kuò)大范圍.

看問題的角度不同，思路也就會不一樣.選手3對問題的分析多了一份理性的思考；選手2利用極限思想另辟蹊徑；選手4解題策略豐富，善于轉(zhuǎn)換思維角度，用不同的方法完美解決問題.

3 “說題”還說什么

高中數(shù)學(xué)教師說題比賽在浙江省是第一次.本次比賽的說題要求是“說解法、背景、對思維培養(yǎng)方面的作用及不足等”,然而選手寶貴的30分種準(zhǔn)備時間基本都用在解法的考慮上了，說題也主要說了該題的解答.筆者認(rèn)為說題還可以從以下幾個方面去展開.

3.1 說題目

因為聽題的人事先不知道說題者所說的題目，所以首先要介紹所要說題的題目.說題目不是讀題，而是介紹一道題目，筆者認(rèn)為可以先說問題的屬性，再說已知條件、求解目標(biāo).在說法上既要講得明白，又不要羅嗦.

譬如題1可以這么說：這是一個一元二次問題，同時又是一個最值問題.條件c≥1?f(0)≥1，a+b+c≥1?f(1)≥1，方程ax2+bx+c=0有2個小于1的不等正根，問題的目標(biāo)是求正整數(shù)a的最小值，a是二次函數(shù)的二次項系數(shù)，它與拋物線開口大小有關(guān).

3.2 說背景

背景，從字面意義上來理解，與前景相對應(yīng)，就是背后的襯托物之意(百度百科).說題目的背景就是說這道題目背后的東西，它可以是之前的題目、一般的問題、相關(guān)的知識、普適的方法,因此可以從題目與問題的背景、知識與方法的背景這2個方面來說.

(1)說題目與問題的背景.

例如題1的不等式問題背景比較明顯，已知關(guān)于3個參變量a，b，c的3個約束條件，一般來說可以求任何一個變量的取值范圍.題1實際上還具有高等數(shù)學(xué)知識的命題背景，如果刪除條件a∈N*，那么a具有下確界4.所謂a具有下確界4，是指a大于4，且無限逼近于4.

(2)說知識與方法的背景.

題1的幾何背景非常明顯，f(x)的圖像是一條與x軸有2個不同交點的拋物線，2個交點的橫坐標(biāo)是小于1的正數(shù)，拋物線與y軸及直線x=1的交點均在直線y=1的上方(包括直線上).求正整數(shù)a的范圍,其實是求拋物線開口的大小.

另外，本題是求正整數(shù)a的最小值，我們說a的最小值為m，是指a≥m且a能取到m.求最值可以利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮，防止擴(kuò)大范圍，放縮后要驗證這個值是可以取到的.這一點選手4做得特別好，在得出agt;4后，利用特例進(jìn)行了驗證.

3.3 說功能

對培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用可以從題目的功能來說，可以說一說作為例題的教學(xué)功能、作為習(xí)題的訓(xùn)練功能、作為試題的檢測功能.

還是以題1為例，題1語言平實、樸素、簡潔，真可謂是“平凡中見真諦，樸素中顯能力”.如果這道題作為教學(xué)例題，可以培養(yǎng)學(xué)生從多角度考慮問題，抓住問題的基本特征與特殊因素，在教學(xué)中可以設(shè)置以下問題：“你是怎樣想的？為什么要這樣做？你的理由是什么？”——了解知識發(fā)生的過程;“你還有別的方法嗎？”——求異思維;“你有別的看法嗎？有更快捷的辦法嗎？”——聯(lián)想、發(fā)散、創(chuàng)造;“你能總結(jié)這類題的解法嗎？”——抽象概括;“如果要這樣的話，必須要……？”——假設(shè)、想象.如此放開思路探索問題解法的多樣性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

“教的最終目的是為了不教”，教師工作的真正意義，不是單純的傳授知識，而是啟迪思維，使學(xué)生學(xué)到解決問題的辦法和獲得知識的方法.

若題1作為訓(xùn)練題，則利用一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維需要通過解題訓(xùn)練來達(dá)成.認(rèn)真審題，全面、深刻理解問題的條件和結(jié)論以及它們之間的關(guān)聯(lián)，是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的一個重要途徑.若將題1作為試題，則可以說是用數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的內(nèi)容考查學(xué)生最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將很好地考查數(shù)學(xué)中一些基本的數(shù)學(xué)思想和方法.譬如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等，能有效檢測學(xué)生的推理論證、合情猜想，以及靈活運(yùn)用知識分析、解決問題的能力.

總而言之，說題要注意說的藝術(shù)性，表達(dá)清楚、內(nèi)容科學(xué)、見解深刻、語言優(yōu)美.說題目,語言的概括性是關(guān)鍵；說解法是在給出簡要解答過程的同時,著重說明解答的思路；說背景可以從題目與問題的背景、知識與方法的背景這2個方面入手；說功能要實事求是，要善于挖掘但不要牽強(qiáng)附會.

[1] 甘志國.湖北卷理15的“名題”背景[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2009(7):41.

[2] 鄢雪清.淺析學(xué)生難以提出“問題”的原因及對策[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2009(3):3-5.