李珍珠 唐耀平

(1. 湖南科技學(xué)院 人事處，湖南 永州 425100；2. 湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100)

線性流形上左右逆特征值問(wèn)題的最小二乘解

李珍珠1唐耀平2

(1. 湖南科技學(xué)院 人事處，湖南 永州 425100；2. 湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100)

利用矩陣的奇異值分解，研究了線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣的左右逆特征值的最小二乘解，得到了最小二乘解的一般表達(dá)式.對(duì)于給定的矩陣，得到了它的最佳逼近解。

左右逆特征值；線性流形；最小二乘解

1. 引言

令 Rn×m表示所有 n × m 階實(shí)矩陣的集合,S Rn×n表示所有n階實(shí)對(duì)稱矩陣的集合, O Rn×n表示所有n階正交矩陣集合,是矩陣的 Frobenius范數(shù), r ank(A) 表示 A 的秩, 對(duì)表示A與B的Hadamard 乘積,其定義為

文[1] 研究了實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問(wèn)題,文[2-3] 分別研究了線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣的逆特征值問(wèn)題。

由文[3] 易知 S 為非空的線性流形。

本文研究如下問(wèn)題:

問(wèn)題 I. 給定 X ,B∈Rn×m,Y,W∈Rn×l,求A S 使得

其中 SE為問(wèn)題 I 的解集合，令 ∧ =diag (1,2,...,m), =diag (1,2,...,n)。在問(wèn)題 I 中若取B=XΛ,C=μY,f(A)=0, 則問(wèn)題I稱為線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣的左右逆特征值問(wèn)題; 若取Y = 0 ,C= 0 ,則問(wèn)題 I, II 即為文[1] 討論的線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣最佳逼近問(wèn)題。

本文給出問(wèn)題I 的解集合表達(dá)式,并給出問(wèn)題II 的逼近解。

2. 問(wèn)題 I 的解

從而問(wèn)題II 的唯一解由(3.3)和(3.4) 式給出.

[1]戴華.線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣最佳逼近[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1993,15(4):478-488.

[2]謝冬秀.線性流形上的逆特征值問(wèn)題[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1993, (4):374-380.

[3]孫繼廣.實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問(wèn)題[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1988,10(3):282-290.

Least-squares Solution for Left and Right Inverse Eigenvalues Problems on the Linear Manifold

LI Zhen-zhu1, TANG Yao-ping2
(1. Pesonnel Department, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425100 China;2. Department of Mathematics and computational science, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou, 425100 China)

By applying the singular-value decomposition (SVD)of matrix, the general forms of least-squares solution for the left and right eigenvalues problems of real symmetric matrices on a linear manifold are given. The expression of the optimal approximate is provided for the matrices.

Left and right Inverse eigenvalues; Linear manifold; Least-squares solution.

O241.6

A

1673-2219（2011）08-0001-05

2011－03－10

湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(編號(hào)：09JJ6014); 湖南省教育廳重點(diǎn)資助科研項(xiàng)目（編號(hào)：09A033）。

李珍珠（1966－），湖南科技學(xué)院人事處處長(zhǎng)、教授，研究方向：數(shù)值代數(shù)。

（責(zé)任編校：劉志壯）