劉科利，姚吉利

(山東理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，山東淄博255049)

工程坐標(biāo)與國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)選擇與轉(zhuǎn)換精度的關(guān)系研究

劉科利，姚吉利

(山東理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，山東淄博255049)

不同國家或地區(qū)在不同的歷史時(shí)期采用的是不同的坐標(biāo)系，因此存在著國家坐標(biāo)和地方坐標(biāo)之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。為了綜合利用測繪成果，工程坐標(biāo)與國家坐標(biāo)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換是必要的?；诟咚蛊矫娴墓こ套鴺?biāo)與國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，廣泛采用相似變換。通過選擇不同的相似變換參數(shù)，提出無需列誤差方程和法方程即能得到轉(zhuǎn)換參數(shù)最小二乘解的重心化模型，并推導(dǎo)出根據(jù)重心化參數(shù)計(jì)算有明確幾何意義參數(shù)的公式。通過實(shí)例計(jì)算，證明該模型是正確、可靠的。

工程坐標(biāo);國家坐標(biāo);轉(zhuǎn)換參數(shù);形式參數(shù);重心化

一、引 言

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分為二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，由于一般工程的范圍不大，經(jīng)常采用二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，也稱為平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。但有些現(xiàn)代大型工程規(guī)模有幾十千米，甚至上百千米，起點(diǎn)至終點(diǎn)高差達(dá)幾十米，甚至幾百米，須選擇具有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)，僅進(jìn)行二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是不夠的，必須進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。文獻(xiàn)［1］從極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的不同表達(dá)出發(fā)，導(dǎo)出了平面坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而建立了平移、縮放、旋轉(zhuǎn)同時(shí)作用的平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和逆變換的模型。文獻(xiàn)［2］通過兩個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的幾何關(guān)系，建立了平面坐標(biāo)變換和逆變換的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［3］將羅德里格矩陣和反對稱矩陣引入平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并將轉(zhuǎn)換參數(shù)直接計(jì)算分為3步進(jìn)行，且只用加減乘除計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣，建立了兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)下坐標(biāo)都有誤差的平差模型，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論比較完善，但存在如下問題:①以上文獻(xiàn)都是建立在相似變換基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究，部分參數(shù)的幾何意義不明確，如文獻(xiàn)［1-2］中的旋轉(zhuǎn)角不明確;② 一套轉(zhuǎn)換參數(shù)在使用上不方便，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是相互的，實(shí)用上最少應(yīng)有兩套轉(zhuǎn)換參數(shù)，如計(jì)算出國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工程坐標(biāo)的4個(gè)參數(shù)，還要計(jì)算出工程坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到國家坐標(biāo)的4個(gè)參數(shù);③ 為了消除模型病態(tài)，解算的參數(shù)失去原來的幾何意義，如文獻(xiàn)［4］。本文針對上述3個(gè)問題，闡述了不同參數(shù)的幾何意義，并推導(dǎo)出一套完整的參數(shù)關(guān)系公式，在實(shí)用上更加方便。

二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型及參數(shù)計(jì)算

1.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型和參數(shù)幾何意義

如圖1所示，設(shè)某點(diǎn)國家坐標(biāo)為(XP，YP)，工程坐標(biāo)為(xP，yP)，則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為［1-3］

圖1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中各符號的意義

此式是非線性的，轉(zhuǎn)換參數(shù)a、b稱為平移參數(shù)，其幾何意義是經(jīng)過工程坐標(biāo)系原點(diǎn)在國家坐標(biāo)系的坐標(biāo);λ稱為尺度參數(shù)，幾何意義為相似比;α幾何意義是工程坐標(biāo)的x軸在國家坐標(biāo)系的方位角。為了模型解算的方便，式(1)線性化形式可表示為

式中，a0、b0、c和d被稱作形式參數(shù)，沒有任何的幾何意義，與轉(zhuǎn)換參數(shù)的關(guān)系為

2.由兩個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)

(1)按幾何意義計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)

先計(jì)算形式參數(shù)a0、b0、c和d。所謂公共點(diǎn)，就是兩個(gè)坐標(biāo)系均知道的點(diǎn)。按式(1)一個(gè)公共點(diǎn)可列2個(gè)方程，當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系有2對公共點(diǎn)時(shí)，4個(gè)參數(shù)便可唯一解出，根據(jù)平面轉(zhuǎn)換的幾何意義直接得到

(2)由形式參數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)

由式(2)得到2個(gè)公共點(diǎn)的方程

用式(5)中第3式減去第1式，第4式減去第2式，得

解出c、d

從而確定a0、b0

按式(3)解算出轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3.由國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工程坐標(biāo)的4個(gè)參數(shù)的計(jì)算

由式(1)可得

展開后

設(shè)由國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工程坐標(biāo)的4個(gè)參數(shù)為u、v、m和β，標(biāo)準(zhǔn)形式為

對照式(8)和式(9)，國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工程坐標(biāo)的4個(gè)參數(shù)u、v、m、β和a、b、λ、α的關(guān)系為

4.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平差模型中參數(shù)的計(jì)算

為了提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度和防止錯(cuò)誤的發(fā)生，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)多于2個(gè)，此時(shí)要進(jìn)行最小二乘平差計(jì)算。因?yàn)槭?1)不利于平差計(jì)算，所以選擇線性化的式(2)進(jìn)行平差計(jì)算，文獻(xiàn)［4］給出了一種簡便算法，可計(jì)算參數(shù)和對其精度進(jìn)行評定，但按式(2)用原坐標(biāo)建立的法方程是病態(tài)的，通常用重心化坐標(biāo)計(jì)算［5］，其步驟如下:

1)不列誤差方程和法方程，只計(jì)算重心坐標(biāo)之間的總和，即可直接計(jì)算形式參數(shù)。

2)計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3)精度檢驗(yàn)。

所謂坐標(biāo)重心化，就是把兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)平移到平差所用公共點(diǎn)平均坐標(biāo)上的過程，重心化后形式參數(shù)的前兩個(gè)為0，設(shè)重心化坐標(biāo)為 ()和，重心坐標(biāo)為(Xg，Yg)和(xg，yg)，則

式中，n為參與平差公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，i=1，2，…，n;

由式(2)得到的法方程為

解得

進(jìn)而由式(3)算得λ、α。重心化下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式(11)代入，得

平移參數(shù)為

三、算例分析

筆者將本文所提出的簡便算法應(yīng)用于淄博市的工程坐標(biāo)系與1980西安坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，并進(jìn)行了驗(yàn)證，取得了非常好的效果。該相互轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)系有6個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)如表1所示，其中前4個(gè)點(diǎn)用于轉(zhuǎn)換參數(shù)的計(jì)算，后兩個(gè)點(diǎn)用于精度檢驗(yàn)。

表1 1980西安坐標(biāo)和工程坐標(biāo) m

按本文模型解算參數(shù):a=－49.428 6，b=－4.164 9，λ=0.999 999 528 894 81，α=－2.570 7″用這4個(gè)參數(shù)計(jì)算得到的5點(diǎn)和6點(diǎn)的國家坐標(biāo)見表2，差值見表2的6、7列，可見參數(shù)計(jì)算是正確的。

表2 計(jì)算坐標(biāo)和原坐標(biāo)比較m

四、結(jié)束語

本文系統(tǒng)闡述了工程坐標(biāo)與國家坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)、形式參數(shù)及重心化參數(shù)之關(guān)系，并對轉(zhuǎn)換參數(shù)的幾何意義進(jìn)行了圖文解釋。首次提出了不用列誤差方程和法方程，就能得到轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解的重心化模型，并推導(dǎo)出根據(jù)重心化參數(shù)計(jì)算有明確幾何意義的參數(shù)的公式。通過實(shí)例計(jì)算，說明本文模型是正確的，并且該模型簡單明了，程序編寫非常簡單，計(jì)算量小，能在Excel表中實(shí)現(xiàn)所有計(jì)算。

［1］ MOFFITT F H，MIKHAIL E M.Photogrammetry［M］.New York:Happer＆Row Publishers，1980:589-593.

［2］ WOLF P R，GHILANI C D.Adjustment Computations［M］.［S.l.］:John＆Sons INC，1997:335-342.

［3］ 姚吉利，王艷.基于羅德里格矩陣的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的建立［J］.金屬礦山，2005(11):40-42.

［4］ 姚宜斌.平面坐標(biāo)系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)換的一種簡便算法［J］.測繪信息與工程，2001(1):1-3.

［5］ 李德仁.基礎(chǔ)攝影測量學(xué)［M］.北京:測繪出版社，1995.

On Relationship between Convertion Accuracy and Selection of Transformation Parameters of Engineering Coordinate and State Coordinate

LIU Keli，YAO Jili

0494-0911(2011)11-0050-03

P282.2

B

2010-11-15

劉科利(1966—)，男，山東濰坊人，實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向?yàn)闇y量數(shù)據(jù)處理。