郭瑞

（石河子大學(xué)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 石河子 832003）

K D V方程定解問(wèn)題的一種新數(shù)值解法

郭瑞

（石河子大學(xué)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，新疆 石河子 832003）

本文用修正局部 Crank-nicolson 差分法求解了 KDV 方程的定解問(wèn)題，新的差分格式避免了傳統(tǒng)的顯格式和隱格式的一些不足，是計(jì)算量少，精度高的顯格式.最后進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn),驗(yàn)證了它的正確性.

KDV 方程；修正局部 Crank-Nicolson 差分格式

1 引言

在眾多的非線性發(fā)展方程中，K D V方程是最典型的非線性色散波動(dòng)方程的代表，因其具有無(wú)窮多守恒律及在固體、液體、氣體以及等離子體等不同科學(xué)領(lǐng)域中的豐富應(yīng)用而得到了極其廣泛的研究.所以，對(duì) K D V方程的數(shù)值計(jì)算方法的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

有學(xué)者用有限差分法解 K D V方程.經(jīng)典解法有L e a p f r o g差分 格 式 、G o d a差 分 格 式 、H o p s c o t c h差 分 格 式 等[1]，它 們 雖 很好的模擬了孤立子特性，但各有不足.由于 K d V方程具有無(wú)窮多個(gè)守恒律，孤立子碰撞以后形狀與波速保持不變，所以人們經(jīng)常從物理定律出發(fā)構(gòu)造合理的差分格式，使其盡可能地保持原問(wèn)題的物理性質(zhì).賀國(guó)強(qiáng)[2]構(gòu)造了兩種二階精度隱式差分格式，雖然有很好的理論結(jié)果，但沒(méi)有數(shù)值試驗(yàn)，不能很好地說(shuō)明方法的可行性.毛德康、崔艷芬[3]構(gòu)造了滿足動(dòng)量和能量守恒的二階精度守恒格式，有很好的穩(wěn)定性，特別適合長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值積分對(duì)流占優(yōu)的 K D V方程，但該格式由于長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值積分，導(dǎo)致相位差.又如朱少紅、彭點(diǎn)云、王文洽等[4-7]對(duì) K D V方程用有限差分法也進(jìn)行初步研 究.近年來(lái),阿布都熱西提·阿布都外力提出了熱方程的局部C r a n k-N i c o l s o n方 法[8]和 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n方 法[9].此后，蔡光程，羅紅，開(kāi)依沙爾·熱合曼，程曉亮，黃鵬展等人都對(duì) 修正 局部 C r a n k-N i c o l s o n方法 進(jìn)行了 研 究 .經(jīng) 過(guò) 近 十 年 來(lái)的發(fā)展，修正局部 C r a n k-N i c o l s o n方法已經(jīng)相對(duì) 比較 完善 ，但對(duì)非線性偏微分方程還未得到很好的研究，本文將對(duì)具有三階項(xiàng)的非線性偏微分方程做一些工作.

2 KDV 方程的修正局部 Crank-Nicolson 差分格式的構(gòu)造

對(duì) K D V方程的標(biāo)準(zhǔn)形式簡(jiǎn)化，有如下形式

其中常數(shù) ε可正可負(fù)，其正負(fù)號(hào)決定波的方向和形狀（凸波或凹波）.

我們考慮如下形式 K D V方程的具有周期邊界的初邊值問(wèn)題

其中 u是波速，ε 是色散系數(shù)，φ(x)是以 1周期的函數(shù).下面我們定義一些差分算子

對(duì) 問(wèn) 題(2)中 的 第 一 個(gè) 式 子 的 空 間 一 階 微 分 項(xiàng) 用,三階微分項(xiàng)用

常微分方程（3）對(duì)于初值向量

的解可以表為

圖 1 T=0

圖 2 T=0.5

圖 3 T=1

圖 4 T=1.5

圖 5 T=2

圖 6 T=3

其中

矩陣 Ai與文獻(xiàn)[9]采用相同的分裂，如下：

格式（8）為顯格式，且這種把大矩陣分裂為一些簡(jiǎn)單小矩陣，就可以直接的求出它的表達(dá)式，沒(méi)有誤差，這樣就避免了以大型矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組，所以此格式計(jì)算量小，精度高.

3 數(shù)值試驗(yàn)

數(shù)值例子:雙峰孤立波情形：

其 中 取 τ=0.0 0 0 5,h=0.0 2 5,ε=4.8 4×1 0-4,圖 1—圖 6描述了雙峰孤波在對(duì)應(yīng)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)圖像，波 I在點(diǎn)達(dá)到振幅 3 C1，波I I在點(diǎn)達(dá)到振幅 3 C2，因 C1>C2，故波 I的速度比波 I I的速度快，t=0時(shí)表示孤波 I(高波)和孤波 I I(低波)的初始狀態(tài)，孤波 I的速度比孤波 I I的速度快，t=0.5時(shí)刻，波 I追上波 I I，t=1時(shí)刻，波 I覆蓋了波 I I，t=1.5波 I超過(guò)波 I I，直至t=2以 后波 I和波 I I分 離.可 見(jiàn) 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n差分格式可以模擬孤立波這一物理現(xiàn)象，與文獻(xiàn)[1 0]模擬出的一致.

4 結(jié)論

本文用修正局部 C r a n k-N i c o l s o n差 分法 求解 了 K D V方程的定解問(wèn)題，該差分格式是一種計(jì)算量少精度高的顯式差分格式.通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了該法能模擬出孤立波這一物理現(xiàn)象，說(shuō)明該差分格式是有效的.

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