張立萍

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程系，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

R L S自適應(yīng)濾波器的 M a t l a b設(shè)計與仿真

張立萍

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程系，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

自適應(yīng)濾波技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信、雷達(dá)、生物醫(yī)學(xué)和工業(yè)控制等領(lǐng)域.本文介紹了 RLS 算法，并以隨機(jī)干擾噪聲信號為研究對象，在 Matlab 上設(shè)計了 RLS 自適應(yīng)濾波器的 M 文件，進(jìn)行了仿真，為硬件實現(xiàn)提供了有力的參考.

自適應(yīng)濾波器；RLS 算法；Matlab；M 文件

1 引言

目前，自適應(yīng)濾波器技術(shù)在通信和雷達(dá)技術(shù)的信道均衡、回波抵消、噪聲消除或抑制、語音編碼、自適應(yīng)跳頻、天線旁瓣抑制、譜線增強(qiáng)、雷達(dá)雜波處理、雷達(dá)運(yùn)動目標(biāo)顯示、窄帶干擾抑制以及生物醫(yī)學(xué)中的微弱電信號的處理等方面均獲得了廣泛的應(yīng)用.自適應(yīng)濾波器是這樣的處理器，它在輸入信號特性未知或者輸入信號特性變化時，能夠調(diào)整自己的參數(shù)，以滿足某種最佳濾波準(zhǔn)則的要求.

在設(shè)計濾波器時應(yīng)該根據(jù)輸入信號的特性，設(shè)計出最佳的濾波器.那么，什么樣的濾波效果才算是最佳呢？必須有一個判斷的標(biāo)準(zhǔn).至今已研究出很多最佳濾波準(zhǔn)則.常見的有最小均方誤差準(zhǔn)則、最小二乘準(zhǔn)則等.最佳濾波準(zhǔn)則和自適應(yīng)濾波器關(guān)系密切，最佳濾波準(zhǔn)則規(guī)定了與某種特性的信號對應(yīng)的最佳參數(shù)，而這個最佳參數(shù)指出了自適應(yīng)濾波器調(diào)整參數(shù)的方向.以下主要介紹這兩個準(zhǔn)則.

(1)最小均方誤差準(zhǔn)則 L M S(L e a s tM e a nS q u a r e)就是要使輸出信號和理想信號的誤差的平方的均值最小.設(shè) d(n)為濾波器輸出要逼近的信號，y(n)為濾波器輸出信號，則誤差為 e(n)=d(n)-y(n)，最小均方誤差準(zhǔn)則就是要使 E{e2(n)}達(dá)到最小.

(2)最小二乘準(zhǔn)則 L S(L e a s t S q u a r e)就是要使一定范圍內(nèi)(從 k到 k+m-)誤差的平方和達(dá)到最小，也就是要使達(dá)到最小.

2 最小二乘法(RLS)

最 小 二 乘 算 法(L S,L e a s t-s q u a r e s)是 一 種 批 處 理 方 法 ，通過一個數(shù)據(jù)塊接一個數(shù)據(jù)塊的重復(fù)計算來適應(yīng)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，因此它的計算量大.推廣最小二乘法將得到一種應(yīng)用更廣泛的算法，即遞推最小二乘法(R L S).一般說來，R L S算法具有較好的收斂性能和跟蹤能力，但是要求較多的計算量，目前最快的 R L S算法要比 L M S算法多 2-3倍的計算量，因此，R L S自適應(yīng)濾波一般用于要求較高的場合.

2.1 R L S算法原理

由于 L M S算法的收斂速度很慢，為了得到較快的收斂速度，有必要設(shè)計包含附加參數(shù)的更復(fù)雜的算法.在快速收斂算法的推導(dǎo)中，我們將采用最小二乘法.因此，將直接處理接收數(shù)據(jù)，使二次性能指數(shù)最小，而 L M S是使平方誤差的期望值最小.這就意味著用時間平均而不是統(tǒng)計平均來表示性能指數(shù).

基于時間平均的最小平方誤差被定義如下：

式中，λ 是接近 1，但是小于 1的加權(quán)因子，且誤差 e(i)為：

式中，X(i)是 i時刻的輸入數(shù)據(jù)向量，W(n)是 n時刻的新的抽頭增益向量.因而 e(i)是用 n時刻的抽頭增益向量測試時刻的舊數(shù)據(jù)所得的誤差，J(n)是在所有舊數(shù)據(jù)上用新抽頭增益所得的累計平方誤差.

要完 成 R L S算法 就 要 找到均 衡 器 的 抽 頭 增 益 向 量 W (n)，使得累計平方誤差 J(n)最小.為了測試新的抽頭增益向量，會用到那些先前的數(shù)據(jù).而因子 λ 會在計算時更依賴于新近的數(shù)據(jù)，也就是說，J(n)會丟掉非穩(wěn)定環(huán)境中的較舊的數(shù)據(jù).如果信道是穩(wěn)定的，那么 λ 可以設(shè)為 1.

為了獲得 J(n)的最小值，可使 J(n)的梯度為 0，即(n)=0通過運(yùn)算可知：

要用式(4)均衡器的抽頭增益向量W^(n)，就需要計算 R-1(n).從式(5)中 R(n)的定義式，我們可以得到關(guān)于 R(n-1)的遞歸公式：

同理得到 P(n)的遞推表示式為：

根據(jù)矩陣求逆定理，若 A,B是 M×M的正定矩陣，C是一個 M×N矩陣，D是一個 N×N矩陣，當(dāng) A=B-1+C D-1CT時，有 A-=B-B C(D+CTB C)-1CTB.現(xiàn) 令 A=R(n)，B-1=λR(n-1)，C=X(n)，D=J，可以得到 R-1(n)遞歸公式：

則(9)變?yōu)椋?/p>

將式(1 0)中 K(n)的表示式重新安排：

由式(4)、(8)、(1 1)和式(1 2)可得W^(n)的遞推公式：

2.2 R L S算法實現(xiàn)

②對于每一個時刻 n=1,2,…，進(jìn)行如下計算：

這樣，就用 R-1(n)的遞歸運(yùn)算來取代了矩陣反演運(yùn)算[XT(n)X(n)]-1.其中，δ 是正則化參數(shù)，δ 的設(shè)定與信噪比有關(guān)，正 則化 參數(shù) δ 與 信噪比 的關(guān) 系己 由 M o u s t a-k i d e s(1 9 9 7)給出詳細(xì)說明.

3 RLS 自適應(yīng)濾波器 M 文件的設(shè)計與仿真

根據(jù)前面介紹的 R L S算法，用 M A T L A B設(shè)計 R L S自適應(yīng)濾波器.下面將在 M A T L A B環(huán)境中編寫 M文件對 R L S算法進(jìn)行設(shè)計和仿真，驗證算法的可行性.

在 M A T L A B中編寫 M 文件 R L S.m，其中，各參數(shù)的意義如下：

s：標(biāo)準(zhǔn)正弦信號，最大峰值為 m a x V p=1.0 0. s

n：標(biāo)準(zhǔn)信號疊加標(biāo)準(zhǔn)白噪聲(最大峰值為 m a x V p=3.9 4). s

t e p：濾波器指數(shù)加權(quán)因子 λ，取值為 0.9 9.

W(n)：濾波器的權(quán)向量序列. e

n：s(i)信號減去濾波器輸出信號后得到的誤差信號.

N：時域抽頭 R L S算法濾波器階數(shù)，取值為 1 2 8.

d l e n：輸入信號抽樣點數(shù)，取值為 1 0 2 4.

d e l t a：正則化參數(shù) δ，取值為 0.0 0 1.

R L S算法中各向量的更新表達(dá)式在 M文件中的實現(xiàn)代碼為：

仿 真 時 ，原始信號選為 s i n((0.0 5*p i*t)，其 中 t=1:d l e n，噪聲信號采用標(biāo)準(zhǔn)白噪聲，在 M A T L A B環(huán)境中運(yùn)行 R L S.m文件，調(diào)用繪圖函數(shù)，得到 R L S算法的仿真結(jié)果如圖 1.R L S算法的均方誤差曲線如圖2所示.

圖 1 R L S算法的輸入和輸出曲線

圖 2 R L S算法的均方誤差曲線

4 結(jié)束語

R L S算法具有良好的收斂速度，除收斂速度快于 L M S算法以及穩(wěn)定性強(qiáng)外，而且具有更高的起始收斂速度、更小的權(quán)噪聲和更大的抑噪能力.

〔1〕么 暉．基于 FPGA 的 自 適應(yīng) 濾 波 器 設(shè)計[D]．碩 士 學(xué)位 論文．北京：航天科工集團(tuán)第三研究院，2005．

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〔3〕龔耀寰．自適應(yīng)濾波器[M]．北京：電子工業(yè)出版社，1989．

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〔6〕Simon Haykin．Adaptive Filter Thearo[M]．北 京 ：電 子工 業(yè)出版社，2006．

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