范夢(mèng)慧

（貴州民族學(xué)院 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

接地導(dǎo)體薄圓筒與不共軸平行導(dǎo)體圓筒的電勢(shì)和電場

范夢(mèng)慧

（貴州民族學(xué)院 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

利用復(fù)數(shù)坐標(biāo)系上的保角變換，分兩種情況討論接地導(dǎo)體薄圓筒與不共軸平行導(dǎo)體圓筒之間的電勢(shì)和電場的分布函數(shù)，所得兩種函數(shù)表達(dá)形式相似.

保角變換；接地導(dǎo)體薄圓筒；平行導(dǎo)體圓筒；電勢(shì)分布；電場分布

在 教 材 中[1,2,3]，通 常 以 兩 無 限 長 共 軸 圓 筒 為 例 利 用 高 斯定理和電勢(shì)定義式計(jì)算其電場和電勢(shì)的分布，然而對(duì)于兩不共軸無限長圓筒直接用教材中的方法很難得到其電場分布.本文分接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒與筒外無限長平行導(dǎo)體圓筒及接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒與筒內(nèi)不共軸的無限長平行導(dǎo)體圓筒兩種情況，運(yùn)用保角變換法[4]把不共軸的兩圓筒變換為共軸兩圓筒直接由無限長圓筒外的電勢(shì)直接算出其電勢(shì)和電場分布函數(shù).

1 接地導(dǎo)體薄圓筒與筒外平行導(dǎo)體圓筒的電勢(shì)與電場分布

半徑為 a，單位長度上電荷為 q的無限長圓筒 C 1與筒外半徑為 b接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒 C 2平行，兩軸相距為 d（d>a+b）.因在垂直于兩圓筒軸線的所有平面上電場的分布均相同，所求的電場為平行平面場，可取任一截面為復(fù)平面z，以導(dǎo)體薄圓筒 C 1的圓心為原點(diǎn)，以兩軸的連線為 y軸建立坐標(biāo)系如圖1所示，討論其電勢(shì)和電場在該復(fù)平面上的分布.為了簡便地求出電勢(shì)的分布，利用保角變換可將 C 1和 C 2變 為 同 心 圓 ，在 z平 面 上 選 點(diǎn) A（0，i y1）和 點(diǎn) B(0,i y2)，兩點(diǎn)關(guān)于圓 C 1和圓 C 2均對(duì)稱，y1和 y2所要滿足的方程組如下

解方程組（1）得

設(shè)所求的變換為分式線性變換

圖 1 z平面上兩圓筒的截面（d>a+b）

通過變換把 z平面的 A點(diǎn)變?yōu)?ζ平面的原點(diǎn) ζ=0，把點(diǎn)B變?yōu)?ζ平面的無限遠(yuǎn)點(diǎn) ζ=∞.圓 C1變?yōu)?ζ平面上以原點(diǎn)ζ=0為圓心的圓 C1，圓 C2變?yōu)?ζ平面上也是以原點(diǎn) ζ=為圓心的圓 C2（如圖 2所示），這樣圓 C1和 C2是同心圓.

為了計(jì)算同心圓 C1和 C2的半徑 a和 b.在 z平面上的圓 C 1上取一點(diǎn) z1=-a i，在圓 C 2上取一點(diǎn) z2=(d+b)i，代入式（3）得

由于在保角變換后相應(yīng)區(qū)域的總電荷量保持不變，則在ζ平面上，單位長度電荷為q的無限長圓筒外的電勢(shì)直

圖 2 ζ平面上的兩圓筒的位置（d>a+b）

接寫為

其中 k為實(shí)常數(shù)，其值可由圓 C2'為零點(diǎn)電勢(shì)確定

把 k值代入式（5）得

將 u(ζ)變回到 z平面 ，可得接 地?zé)o限長導(dǎo) 體薄圓筒與筒外無限長平行導(dǎo)體圓筒之間的電勢(shì)分布函數(shù)為

z平面上接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒與筒外無限長平行導(dǎo)體圓筒之間各點(diǎn)的電場由E→=-▽u得：

再將（2）式中 y1，y2值代入上式即可.

導(dǎo)體圓筒 C 1和 C 2內(nèi)各點(diǎn)的電場由導(dǎo)體靜電平衡條件得

圓筒 C 1是一等勢(shì)體，其電勢(shì)由式（4）和式（5）算出

2 接地導(dǎo)體薄圓筒與筒內(nèi)不共軸的平行導(dǎo)體圓筒的電勢(shì)與電場分布

半徑為 R1的接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒 G 1與筒內(nèi)半徑為R2單位長度上的電荷為 q的無限長導(dǎo)體圓筒 G 2,兩軸平行，相 距為 D（D

圖 3 z'平面上兩圓筒的截面（D

為把 G 1和 G 2變?yōu)橥膱A，在 z'平面上取與圓 G 1和圓G 2均對(duì)稱的兩點(diǎn)（0，i y1）和(0，i y2)，則有方程組

解方程組（1 0）

同理,算出經(jīng)保角變換后的同心圓 G 1'和 G2'的半徑 R1'和R2'（R1'>R2'，圓 G1'接地），圖略.

在經(jīng)保角變換后的ζ平面上接地兩導(dǎo)體圓筒之間的電勢(shì)寫為

其中 k'為實(shí)常數(shù)，其值可由圓 G1'為零點(diǎn)電勢(shì)確定

得

代入（1 3）式

將 u(ζ)變回到 z'平面，可得其電勢(shì)分布函數(shù)為

z'平面上接地?zé)o限長導(dǎo)體薄圓筒與筒內(nèi)不共軸的無限長平行導(dǎo)體圓筒之間各點(diǎn)的電場由E→=-▽u得：

再將（1 1）式中 y1，y2值代入上式即可.

圓筒 G2是一等勢(shì)體，其電勢(shì)由式（1 2）和式（1 4）算出

3 結(jié)束語

利用保角變換法把不共軸的兩無限長圓筒變?yōu)楣草S的兩無限長圓筒，從而簡便算出其電場與電勢(shì)的分布函數(shù).對(duì)于所討論的上述兩種情況，接地導(dǎo)體薄圓筒與不共軸的平行導(dǎo)體圓筒之間的電勢(shì)與電場分布函數(shù)表達(dá)形式相似，只是參數(shù)不同.不共軸兩平行導(dǎo)體圓筒之間的電場也可由鏡像法求出，由于篇幅原因，本文不再進(jìn)行闡述.

〔1〕趙 近 芳.大 學(xué) 物 理 學(xué) （下）[M].北 京 ：北京 郵 電 大 學(xué) 出 版社，2008：45-46.

〔2〕馬文蔚.物理學(xué)（中）[M].北京：高等教育出版社，1999：54.

〔3〕張 三 慧.大 學(xué) 基 礎(chǔ) 物 理 學(xué) （下 ）[M].北 京 ：清 華 大 學(xué) 出 版社，2003：375.

〔4〕梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，1998：433-434.

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A

1673-260X（2011）04-0022-03