張 瑜

(同濟大學數(shù)學系,上海 200092)

數(shù)理方程教學方法探討

張 瑜

(同濟大學數(shù)學系,上海 200092)

旨在通過教學實踐體會來探討數(shù)理方程課的教學方法.主要在分析課程特點、挖掘?qū)W生學習難點的基礎上,從授課內(nèi)容和思路、理論結(jié)合實際、培養(yǎng)學生學習思想、教學手段等多方面論述了提高數(shù)理方程課程教學質(zhì)量的教學方法,同時結(jié)合教學實踐列舉多個數(shù)理方程的教學實例來說明鍛煉學生能力的途徑.

數(shù)理方程;教學方法;素質(zhì)教育

數(shù)理方程是大學高年級以及研究生階段相關專業(yè)學習的一門課程,也是學生普遍反應比較難學的一門課程.數(shù)學物理方程主要是指從物理學及其他各門自然科學、技術科學中所產(chǎn)生的一些偏微分方程.數(shù)學物理方程是純粹數(shù)學的許多分支和自然科學各部門及工程技術等領域之間的一個重要橋梁[1].與高等數(shù)學中學習的(常)微分方程相比較,數(shù)理方程中未知函數(shù)是多元函數(shù),并且存在偏導數(shù),也即數(shù)理方程主要研究偏微分方程.

正如前面所提到的數(shù)理方程課是一門學生普遍反應比較難學的一門課程,它的理論性強,公式推導比較繁瑣復雜,但是該課程也是大部分理工科專業(yè)的一門必修課和基礎課,地位非常重要.因此本文將結(jié)合我們的教學實踐就如何上好這門課進行探討.首先我們將分析數(shù)理方程的課程特點和難點,在此基礎上我們將結(jié)合實踐從多個方面分析提高課程課堂教學效果的有效方法.

1 課程特點

數(shù)理方程主要培養(yǎng)學生使用數(shù)學方法來分析解決物理問題的能力.它的內(nèi)容比較繁雜,計算比較繁瑣,涉及面比較廣.其課程特點為：

1.需要的數(shù)學知識比較多.

學習數(shù)理方程需要對多元函數(shù)的微分學有比較好的了解.例如在講分離變量法時需要用Fourier級數(shù)展開;在講圓形或球形區(qū)域混合問題的求解時要用到直角坐標和極坐標或球坐標之間的轉(zhuǎn)換;在講位勢方程Dirichlet問題求解時要用到由高斯公式推出來的 Green公式.

2.需要了解物理背景.

在模型的建立時需要根據(jù)實際現(xiàn)象滿足的物理定律推出滿足的數(shù)學模型;定解問題的提出要滿足物理規(guī)律,不同的定解條件的提出都是有一定的物理意義的.

根據(jù)課程特點,學生覺得數(shù)理方程難學的原因主要有：

(1)對在高等數(shù)學中學習的在數(shù)理方程中需要用到的知識掌握的不牢固.

(2)對物理知識的了解不是很清楚.

2 授課體會

1.授課內(nèi)容、思路.

數(shù)學物理方程主要包括波動方程、熱傳導方程和位勢方程.在數(shù)學物理方程的授課過程中,我們一般是先推導出三大類經(jīng)典的方程,然后針對這三大類方程所提出的定解問題,依次講述求解方法,即行波法、分離變量法、積分變換法和Green函數(shù)法.在授課的過程中貫穿由物理規(guī)律推出偏微分方程,然后對方程進行求解,最后用解來闡述實際問題的規(guī)律,解釋物理現(xiàn)象.

2.授課過程緊密結(jié)合實際背景.

數(shù)理方程是一門和實際物理現(xiàn)象緊密結(jié)合的課程,在講課的過程要時刻結(jié)合問題的實際背景來講解.如(i)在講解經(jīng)典方程的導出時,要清楚地闡述所討論的物理現(xiàn)象,指出該物理現(xiàn)象所滿足的物理定律,然后進行適當?shù)臄?shù)學處理并推導出相應的方程.不同的方程分別對應不同的物理背景,推導出方程的同時要結(jié)合實際給學生講清楚三類方程中的系數(shù)和非齊次項的物理含義.(ii)在定解條件的講解中指出在一維波動方程的邊界條件u(0,x)=φ(x)表示初始的位移,ut(0,x)=ψ(x)表示初始的速度;而在一維熱傳導方程中u(0,x)=φ(x)表示初始的溫度分布.(iii)在定解問題適定性內(nèi)容的講解中,不應簡單的讓學生知道定解問題的適定性的概念,而應該緊密的聯(lián)系實際工程背景來講解,可舉人造衛(wèi)星的運行軌道的例子使枯燥的內(nèi)容生動起來.(iv)在講解完分離變量法之后可以舉下面波動方程混合問題的例子

來鍛煉學生對分離變量法求解步驟的理解,并用該方程的級數(shù)解來闡述說明波的共振的物理現(xiàn)象. (v)為了使學生很好地掌握解的物理意義,可以在講完行波法和對稱延拓法之后,舉下面的例子：

例1求解半無界問題

根據(jù)行波法是左行波和右行波的疊加的物理意義,可以很快的把該定解問題的解求出來為

通過演示這樣的例子的求解,加深學生對行波法物理意義的理解.

3.注意培養(yǎng)學生學習數(shù)學思想.

數(shù)理方程的教學不僅在于教授學生知識,更在于數(shù)學思想的培養(yǎng).在教學過程中要注意介紹將復雜問題簡單化的數(shù)學思想.例如線性偏微分方程的疊加原理以及齊次化原理都是將不會解決的問題化為已經(jīng)會解決的問題;積分變換法是將偏微分方程變換為常微分方程來求解.

4.注意培養(yǎng)學生思考、聯(lián)想和知識應用的能力.

知識的應用是很重要的,學以致用是學習的最終目的.在數(shù)理方程的授課過程中要注意培養(yǎng)學生思考和知識應用的能力.可以對同一個問題采取不同的分析求解方法,如一維波動方程Cauchy問題的D’A lembert(達朗貝爾)公式可以先用行波法(求通解的方法)推導出該公式,在講Fourier積分變換時還可以用Fourier積分變換將D’A lembert(達朗貝爾)公式推導出來.

同樣同一方法也可以用來求解不同問題,如在講了非齊次波動方程Cauchy問題的Duhamel齊次化原理之后可以舉下面的例子鍛煉學生對Duhamel齊次化原理的應用.

例2求解波動方程Cauchy問題

在課堂上我們可以用D’A lembert(達朗貝爾)公式結(jié)合齊次化原理得到該定解問題的解為

在講解完這個例子可以給學生提一個問題：既然偏微分方程可以用齊次化原理來求解,那么是否還有別的方程也可以用齊次化原理來求解呢?

在同學們思考之后,可以給出下面的例子：

例3求常微分方程的y″(x)-5y′(x)+6y(x)=ex的通解.

然后讓學生思考這兩個問題可以用什么方法來求解,齊次化原理是否可以用來求解這兩個問題,如果可以的話求解的過程又是如何的.可以在課堂上先提出這樣的問題,然后再來演示求解的具體過程,用齊次化原理將例3和例4的解求出來,并和用其它方法求出來的解進行對照.最后讓學生們思考有哪些問題可以用齊次化原理來求解,求解的具體步驟有哪些.

通過這樣的教學方式,可以使學生將正在學習的數(shù)學物理方程和以前學習的常微分方程聯(lián)系起來,觸類旁通,可以更好的掌握課程的核心內(nèi)容,從而達到良好的教學效果.

5.對不同的內(nèi)容采用不同的教學手段.

數(shù)理方程的課程教學既可以采取傳統(tǒng)的粉筆結(jié)合黑板的教學手段：板書,也可以采用現(xiàn)代的多媒體教學手段：PowerPoint幻燈片.采用板書的優(yōu)點是學生易于跟上老師的上課速度;缺點是比較繁瑣的公式推導如Bessel方程的求解寫在黑板上需要的時間較長.采用幻燈片的優(yōu)點是可以節(jié)省下寫較長的定理以及繁雜冗長的公式推導的時間,顯示圖片圖形比較直觀準確,一節(jié)課的授課內(nèi)容可以較多一點;缺點是要在授課時注意放映的速度,否則學生會很容易跟不上老師的上課速度.

筆者認為數(shù)理方程的課堂教學可以將兩種方式結(jié)合起來,也就是幻燈片結(jié)合板書,對不同的教學內(nèi)容采用不同的教學手段.可以在幻燈片上投影比較長的定理和比較繁瑣的公式推導,證明可以只投影關鍵點.比較簡單的例子等可以用板書,這樣在課堂上可以節(jié)省時間,能夠多介紹數(shù)學思想,從而提高課堂教學效率.

最后,在數(shù)理方程的教學過程中要注意素質(zhì)教育內(nèi)容的融入,注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力,培養(yǎng)學生抽象思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力.數(shù)理方程的教學不僅在于教授學生知識,更在于培養(yǎng)學生的數(shù)學思想,提高學生的綜合素質(zhì),促進學生的全面發(fā)展.

[1] 谷超豪,李大潛,陳恕行,鄭宋穆,譚永基.數(shù)學物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.

[2] 車向凱,謝彥紅,繆淑賢.數(shù)理方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3] 劉慶華,韓云端.提高數(shù)學教學課堂效果的幾點思考[J].大學數(shù)學,2005,21(5)：12-14.

Discussion on the Teaching Methods for Equations of Mathematical Physics

ZHANG Yu
(Department of Mathematics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Basing on the teaching experiences of the author,the teaching methods fo r Equations of Mathematical Physics is discussed in this paper.First the characteristic of this course are analyzed,the learning difficulties of this course are excavated.Then ways of how to imp rove the teaching quality are p rovided from some aspects such as teaching thought,integrate theo ry w ith p ractice,train the students learn the ideas,teaching app roach and so on.A number of teaching examp les are also p resented in this paper to illustrate the way of how to imp rove the ability of the students.

equationsof mathematical physics;teaching method;quality education

O175.2;G424.1

C

1672-1454(2011)05-0172-03

2011-01-29