張 瑜

(同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200092)

數(shù)理方程教學(xué)方法探討

張 瑜

(同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200092)

旨在通過(guò)教學(xué)實(shí)踐體會(huì)來(lái)探討數(shù)理方程課的教學(xué)方法.主要在分析課程特點(diǎn)、挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上,從授課內(nèi)容和思路、理論結(jié)合實(shí)際、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)思想、教學(xué)手段等多方面論述了提高數(shù)理方程課程教學(xué)質(zhì)量的教學(xué)方法,同時(shí)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐列舉多個(gè)數(shù)理方程的教學(xué)實(shí)例來(lái)說(shuō)明鍛煉學(xué)生能力的途徑.

數(shù)理方程;教學(xué)方法;素質(zhì)教育

數(shù)理方程是大學(xué)高年級(jí)以及研究生階段相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的一門(mén)課程,也是學(xué)生普遍反應(yīng)比較難學(xué)的一門(mén)課程.數(shù)學(xué)物理方程主要是指從物理學(xué)及其他各門(mén)自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的一些偏微分方程.數(shù)學(xué)物理方程是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)各部門(mén)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一個(gè)重要橋梁[1].與高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的(常)微分方程相比較,數(shù)理方程中未知函數(shù)是多元函數(shù),并且存在偏導(dǎo)數(shù),也即數(shù)理方程主要研究偏微分方程.

正如前面所提到的數(shù)理方程課是一門(mén)學(xué)生普遍反應(yīng)比較難學(xué)的一門(mén)課程,它的理論性強(qiáng),公式推導(dǎo)比較繁瑣復(fù)雜,但是該課程也是大部分理工科專(zhuān)業(yè)的一門(mén)必修課和基礎(chǔ)課,地位非常重要.因此本文將結(jié)合我們的教學(xué)實(shí)踐就如何上好這門(mén)課進(jìn)行探討.首先我們將分析數(shù)理方程的課程特點(diǎn)和難點(diǎn),在此基礎(chǔ)上我們將結(jié)合實(shí)踐從多個(gè)方面分析提高課程課堂教學(xué)效果的有效方法.

1 課程特點(diǎn)

數(shù)理方程主要培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)方法來(lái)分析解決物理問(wèn)題的能力.它的內(nèi)容比較繁雜,計(jì)算比較繁瑣,涉及面比較廣.其課程特點(diǎn)為：

1.需要的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多.

學(xué)習(xí)數(shù)理方程需要對(duì)多元函數(shù)的微分學(xué)有比較好的了解.例如在講分離變量法時(shí)需要用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi);在講圓形或球形區(qū)域混合問(wèn)題的求解時(shí)要用到直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)或球坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換;在講位勢(shì)方程Dirichlet問(wèn)題求解時(shí)要用到由高斯公式推出來(lái)的 Green公式.

2.需要了解物理背景.

在模型的建立時(shí)需要根據(jù)實(shí)際現(xiàn)象滿(mǎn)足的物理定律推出滿(mǎn)足的數(shù)學(xué)模型;定解問(wèn)題的提出要滿(mǎn)足物理規(guī)律,不同的定解條件的提出都是有一定的物理意義的.

根據(jù)課程特點(diǎn),學(xué)生覺(jué)得數(shù)理方程難學(xué)的原因主要有：

(1)對(duì)在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的在數(shù)理方程中需要用到的知識(shí)掌握的不牢固.

(2)對(duì)物理知識(shí)的了解不是很清楚.

2 授課體會(huì)

1.授課內(nèi)容、思路.

數(shù)學(xué)物理方程主要包括波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程.在數(shù)學(xué)物理方程的授課過(guò)程中,我們一般是先推導(dǎo)出三大類(lèi)經(jīng)典的方程,然后針對(duì)這三大類(lèi)方程所提出的定解問(wèn)題,依次講述求解方法,即行波法、分離變量法、積分變換法和Green函數(shù)法.在授課的過(guò)程中貫穿由物理規(guī)律推出偏微分方程,然后對(duì)方程進(jìn)行求解,最后用解來(lái)闡述實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律,解釋物理現(xiàn)象.

2.授課過(guò)程緊密結(jié)合實(shí)際背景.

數(shù)理方程是一門(mén)和實(shí)際物理現(xiàn)象緊密結(jié)合的課程,在講課的過(guò)程要時(shí)刻結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際背景來(lái)講解.如(i)在講解經(jīng)典方程的導(dǎo)出時(shí),要清楚地闡述所討論的物理現(xiàn)象,指出該物理現(xiàn)象所滿(mǎn)足的物理定律,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理并推導(dǎo)出相應(yīng)的方程.不同的方程分別對(duì)應(yīng)不同的物理背景,推導(dǎo)出方程的同時(shí)要結(jié)合實(shí)際給學(xué)生講清楚三類(lèi)方程中的系數(shù)和非齊次項(xiàng)的物理含義.(ii)在定解條件的講解中指出在一維波動(dòng)方程的邊界條件u(0,x)=φ(x)表示初始的位移,ut(0,x)=ψ(x)表示初始的速度;而在一維熱傳導(dǎo)方程中u(0,x)=φ(x)表示初始的溫度分布.(iii)在定解問(wèn)題適定性?xún)?nèi)容的講解中,不應(yīng)簡(jiǎn)單的讓學(xué)生知道定解問(wèn)題的適定性的概念,而應(yīng)該緊密的聯(lián)系實(shí)際工程背景來(lái)講解,可舉人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道的例子使枯燥的內(nèi)容生動(dòng)起來(lái).(iv)在講解完分離變量法之后可以舉下面波動(dòng)方程混合問(wèn)題的例子

來(lái)鍛煉學(xué)生對(duì)分離變量法求解步驟的理解,并用該方程的級(jí)數(shù)解來(lái)闡述說(shuō)明波的共振的物理現(xiàn)象. (v)為了使學(xué)生很好地掌握解的物理意義,可以在講完行波法和對(duì)稱(chēng)延拓法之后,舉下面的例子：

例1求解半無(wú)界問(wèn)題

根據(jù)行波法是左行波和右行波的疊加的物理意義,可以很快的把該定解問(wèn)題的解求出來(lái)為

通過(guò)演示這樣的例子的求解,加深學(xué)生對(duì)行波法物理意義的理解.

3.注意培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想.

數(shù)理方程的教學(xué)不僅在于教授學(xué)生知識(shí),更在于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).在教學(xué)過(guò)程中要注意介紹將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)思想.例如線性偏微分方程的疊加原理以及齊次化原理都是將不會(huì)解決的問(wèn)題化為已經(jīng)會(huì)解決的問(wèn)題;積分變換法是將偏微分方程變換為常微分方程來(lái)求解.

4.注意培養(yǎng)學(xué)生思考、聯(lián)想和知識(shí)應(yīng)用的能力.

知識(shí)的應(yīng)用是很重要的,學(xué)以致用是學(xué)習(xí)的最終目的.在數(shù)理方程的授課過(guò)程中要注意培養(yǎng)學(xué)生思考和知識(shí)應(yīng)用的能力.可以對(duì)同一個(gè)問(wèn)題采取不同的分析求解方法,如一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的D’A lembert(達(dá)朗貝爾)公式可以先用行波法(求通解的方法)推導(dǎo)出該公式,在講Fourier積分變換時(shí)還可以用Fourier積分變換將D’A lembert(達(dá)朗貝爾)公式推導(dǎo)出來(lái).

同樣同一方法也可以用來(lái)求解不同問(wèn)題,如在講了非齊次波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的Duhamel齊次化原理之后可以舉下面的例子鍛煉學(xué)生對(duì)Duhamel齊次化原理的應(yīng)用.

例2求解波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題

在課堂上我們可以用D’A lembert(達(dá)朗貝爾)公式結(jié)合齊次化原理得到該定解問(wèn)題的解為

在講解完這個(gè)例子可以給學(xué)生提一個(gè)問(wèn)題：既然偏微分方程可以用齊次化原理來(lái)求解,那么是否還有別的方程也可以用齊次化原理來(lái)求解呢?

在同學(xué)們思考之后,可以給出下面的例子：

例3求常微分方程的y″(x)-5y′(x)+6y(x)=ex的通解.

然后讓學(xué)生思考這兩個(gè)問(wèn)題可以用什么方法來(lái)求解,齊次化原理是否可以用來(lái)求解這兩個(gè)問(wèn)題,如果可以的話求解的過(guò)程又是如何的.可以在課堂上先提出這樣的問(wèn)題,然后再來(lái)演示求解的具體過(guò)程,用齊次化原理將例3和例4的解求出來(lái),并和用其它方法求出來(lái)的解進(jìn)行對(duì)照.最后讓學(xué)生們思考有哪些問(wèn)題可以用齊次化原理來(lái)求解,求解的具體步驟有哪些.

通過(guò)這樣的教學(xué)方式,可以使學(xué)生將正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)物理方程和以前學(xué)習(xí)的常微分方程聯(lián)系起來(lái),觸類(lèi)旁通,可以更好的掌握課程的核心內(nèi)容,從而達(dá)到良好的教學(xué)效果.

5.對(duì)不同的內(nèi)容采用不同的教學(xué)手段.

數(shù)理方程的課程教學(xué)既可以采取傳統(tǒng)的粉筆結(jié)合黑板的教學(xué)手段：板書(shū),也可以采用現(xiàn)代的多媒體教學(xué)手段：PowerPoint幻燈片.采用板書(shū)的優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生易于跟上老師的上課速度;缺點(diǎn)是比較繁瑣的公式推導(dǎo)如Bessel方程的求解寫(xiě)在黑板上需要的時(shí)間較長(zhǎng).采用幻燈片的優(yōu)點(diǎn)是可以節(jié)省下寫(xiě)較長(zhǎng)的定理以及繁雜冗長(zhǎng)的公式推導(dǎo)的時(shí)間,顯示圖片圖形比較直觀準(zhǔn)確,一節(jié)課的授課內(nèi)容可以較多一點(diǎn);缺點(diǎn)是要在授課時(shí)注意放映的速度,否則學(xué)生會(huì)很容易跟不上老師的上課速度.

筆者認(rèn)為數(shù)理方程的課堂教學(xué)可以將兩種方式結(jié)合起來(lái),也就是幻燈片結(jié)合板書(shū),對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容采用不同的教學(xué)手段.可以在幻燈片上投影比較長(zhǎng)的定理和比較繁瑣的公式推導(dǎo),證明可以只投影關(guān)鍵點(diǎn).比較簡(jiǎn)單的例子等可以用板書(shū),這樣在課堂上可以節(jié)省時(shí)間,能夠多介紹數(shù)學(xué)思想,從而提高課堂教學(xué)效率.

最后,在數(shù)理方程的教學(xué)過(guò)程中要注意素質(zhì)教育內(nèi)容的融入,注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力和分析解決問(wèn)題的能力.數(shù)理方程的教學(xué)不僅在于教授學(xué)生知識(shí),更在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

[1] 谷超豪,李大潛,陳恕行,鄭宋穆,譚永基.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.

[2] 車(chē)向凱,謝彥紅,繆淑賢.數(shù)理方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3] 劉慶華,韓云端.提高數(shù)學(xué)教學(xué)課堂效果的幾點(diǎn)思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(5)：12-14.

Discussion on the Teaching Methods for Equations of Mathematical Physics

ZHANG Yu
(Department of Mathematics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Basing on the teaching experiences of the author,the teaching methods fo r Equations of Mathematical Physics is discussed in this paper.First the characteristic of this course are analyzed,the learning difficulties of this course are excavated.Then ways of how to imp rove the teaching quality are p rovided from some aspects such as teaching thought,integrate theo ry w ith p ractice,train the students learn the ideas,teaching app roach and so on.A number of teaching examp les are also p resented in this paper to illustrate the way of how to imp rove the ability of the students.

equationsof mathematical physics;teaching method;quality education

O175.2;G424.1

C

1672-1454(2011)05-0172-03

2011-01-29