祝金川李成仁齊笳羽任旭東岳喜爽

CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統(tǒng)控制和同步的研究*

祝金川 李成仁齊笳羽 任旭東 岳喜爽

(遼寧師范大學(xué)物理與電子技術(shù)學(xué)院，大連116029)
(2010年11月14日收到;2010年12月5日收到修改稿)

以一維耦合映象格子為對象，研究了相位共軛波時空混沌系統(tǒng)特性．基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，通過選取耦合參數(shù)，實現(xiàn)了CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統(tǒng)的控制，以及驅(qū)動多個相位共軛波時空系統(tǒng)達到并行同步．數(shù)值模擬結(jié)果顯示，耦合參數(shù)對相位共軛波時空混沌系統(tǒng)的控制和同步速度有影響，即耦合參數(shù)越大同步時間越短．

CO2激光器，相位共軛波，時空混沌，控制和同步

PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

1.引言

混沌含有豐富的信息，受到廣泛的關(guān)注［1—4］．研究時空系統(tǒng)能夠解決大量的實際混沌應(yīng)用問題，特別是時空混沌系統(tǒng)的控制和同步是該領(lǐng)域的一個重要研究方向．在非線性動力學(xué)系統(tǒng)的研究中，激光器是很好的實驗?zāi)Ｐ?，是非線性科學(xué)理論理想的應(yīng)用領(lǐng)域．近年來，Arecchi等通過調(diào)制激光器光學(xué)諧振腔內(nèi)耗損，實驗上觀測到CO2激光器混沌［5］;Pecora和Caroll提出了混沌同步的思想和方案［6］;Yorke等人提出了混沌控制的原理，并很快被實驗室證實［7］;Roy等利用偶然反饋方法，實現(xiàn)了腔內(nèi)倍頻Nd:YAG激光器的混沌控制和兩臺Nd:YAG激光器的混沌同步［8，9］．

本文利用一維耦合映像格子模型對相位共軛波時空混沌進行討論，和通過激光器附加自由度技術(shù)使CO2激光器達到混沌狀態(tài)［10］．以CO2激光器作為驅(qū)動系統(tǒng)，從中提取出光強的混沌信號，并與相位共軛波時空混沌產(chǎn)生的光強信號進行非線性耦合，并用耦合信號做為控制器對相位共軛波時空模型進行反饋控制．通過計算Lyapunov指數(shù)［11］與耦合系數(shù)的關(guān)系，確定耦合系數(shù)的取值范圍，實現(xiàn)了CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統(tǒng)的控制;同時，構(gòu)造多個相同的并行相位共軛波時空系統(tǒng)，用同一個CO2激光器的光強信號進行驅(qū)動，使多個相位共軛波時空系統(tǒng)同步．

2.混沌動力學(xué)模型

CO2激光器的動力學(xué)方程為［12］

式中I是與光強成正比的量，D表示反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度，γc(t)為激光器腔內(nèi)光場的衰減速率，γ0為穩(wěn)態(tài)時光場的衰減速率，γ//表示原子能級上粒子數(shù)衰減速率，ζ是增益參數(shù)，me為調(diào)制深度，ω表示激光器的弛豫振蕩頻率．當激光器的參數(shù)取為:γ//= 103s－1，γ0=7×107s－1，ζ=2，f=ω/2π=78.8 k Hz，me=0.03時，CO2激光器呈現(xiàn)混沌行為，如圖1所示．圖1(a)是光強隨時間的演化圖，圖1(b)為光強的導(dǎo)數(shù)與光強的相圖．

圖1 (a)光強隨時間的演化;(b)光強的導(dǎo)數(shù)與光強的相圖

相位共軛波動力學(xué)行為［13］

式中xn為光強的映像，A為抽運參數(shù)，J0，J1分別是零階和一階Bessel函數(shù)，相應(yīng)的xn表示光強的第零級反射和第一級反射．本文以光強xn的第一級散射為例來研究．光強xn的第一級散射隨參數(shù)A的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖2所示．

圖2 (a)一級散射隨參數(shù)A的分岔圖;(b)最大Lyapunov指數(shù)與參數(shù)A的關(guān)系

相位共軛波的時空混沌系統(tǒng)采用一維耦合映像格子模型［14］

式中n表示時間步數(shù)，i=1，2，3，…，L為空間格點坐標，ε為格點間的耦合強度，xn(i)為狀態(tài)變量，周期性邊界條件取為xn(0)=xn(L)=0．其中，局域非線性動力學(xué)系統(tǒng)f(xn(i))是相位共軛波系統(tǒng)

圖3 (a)耦合映像格子相位共軛波Lyapunov指數(shù);(b)相位共軛波時空演化圖

式中的參數(shù)取為ε=0.03，A=36，L=100，初始條件x0(i)=2時，Lyapunov指數(shù)均為正，表明狀態(tài)處于混沌態(tài)，如圖3(a)所示;相應(yīng)的時空演化圖如圖3(b)所示．

3.控制和同步的實現(xiàn)

3.1.CO2激光器對相位共軛波時空混沌系統(tǒng)的控制

CO2激光器輸出光強每一秒取一個脈沖I(t)，用這個光強脈沖驅(qū)動相位共軛波振蕩器．設(shè)計一個非線性控制器，取(1)式光強的平方與(3)式狀態(tài)變量之和作為控制器，如圖4所示．

圖4 CO2激光器驅(qū)動相位共軛波振蕩器

式中k為耦合參數(shù)，(5)式加在響應(yīng)系統(tǒng)后，響應(yīng)系統(tǒng)方程(3)式變?yōu)?/p>

通過計算(6)式最大Lyapunov指數(shù)與耦合參數(shù)k之間的關(guān)系，以確定k的取值范圍．選取的k使Lyapunov指數(shù)為負值時，就能夠?qū)崿F(xiàn)對相位共軛波時空混沌的控制．

數(shù)值模擬時，保持CO2激光器和相位共軛波振蕩器的參數(shù)與(1)和(4)式等相同，響應(yīng)系統(tǒng)(6)式的Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)k在空間i=1，2，3，…，L格上的三維立體圖如圖5(a)所示．可以看到，在系統(tǒng)(1)的驅(qū)動作用下，響應(yīng)系統(tǒng)(6)的Lyapunov指數(shù)面存在小于零的深谷部分．當k的取值在此部分內(nèi)，則系統(tǒng)(6)可以穩(wěn)定輸出．圖5(a)在空間格點k軸的投影為圖5(b)，能清楚的看出耦合參數(shù)k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)等范圍內(nèi)取值時Lyapunov指數(shù)為負，即實現(xiàn)了對相位共軛波時空混沌的控制．當k=0.1時控制結(jié)果如圖6所示，顯示了xn(i)隨時空的演化趨于穩(wěn)定．

圖5 (a)Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)的變化;(b)Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)變化的投影

圖6 施加控制的相位共軛波時空混沌

3.2.多個相位共軛波時空系統(tǒng)并行同步

如圖7所示，驅(qū)動系統(tǒng)仍為CO2激光器，響應(yīng)系統(tǒng)為多個并行的相位共軛波系統(tǒng)，這些并行的系統(tǒng)與(6)式相同．當這些并行的相位共軛波系統(tǒng)初始條件不同時，混沌行為不一樣．當CO2激光器進行耦合控制使它們之間的輸出光強之差為零，即實現(xiàn)了多個并行系統(tǒng)的同步．本文僅以任意兩個系統(tǒng)為例，如相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2．

圖7 CO2激光器驅(qū)動多個并行的相位共軛波振蕩器

圖8 (a)k=0．22時誤差變量en(i)時空演化圖;(b)k=0．23時誤差變量en(i)時空演化圖

CO2激光器對它的控制器為(8)式，(5)和(8)兩式中I(t)相同．若k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)區(qū)間內(nèi)取值，相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2在不同的初始值條件下，它們能夠?qū)崿F(xiàn)同步．當耦合系數(shù)k=0.05和0.10，其他參數(shù)不變，在第300步開始對相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2加入耦合誤差en(i)=xn(i)－yn(i)，en(i)的時空演化如圖8(a)(b)所示．

相位共軛波振蕩器1形式為(6)式，CO2激光器對它的控制器為(5)式．

相位共軛波振蕩器2輸出光強信號設(shè)為yn(i)，形式為

可以看到，誤差最后趨近于en(i)=0的平面，實現(xiàn)了相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2之間的同步．k取值不同時，達到同步的時間也不同．k=0.05，在300步施加控制后380步達到同步，如圖8(a)所示;k=0.10，在300步施加控制后320步就能達到同步，如圖8(b)所示，要比圖8(a)更快同步，耦合參數(shù)取的越大達到同步的時間越短．

4.結(jié)論

本文分析了CO2激光器和相位共軛波的混沌特性．基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，研究了CO2激光器和相位共軛波反饋信號共同對相位共軛波的控制，使之達到穩(wěn)定態(tài);同時討論了一臺CO2激光器驅(qū)動多個相位共軛波時空混沌的并行系統(tǒng)，實現(xiàn)了在不同的初始條件下，多個相位共軛波時空混沌系統(tǒng)的同步．誤差函數(shù)的時空演化圖表明，誤差最后趨近于等于零的平面．從圖中可以得到耦合參數(shù)k取值不同時，響應(yīng)系統(tǒng)達到同步的快慢也不同．k= 0.05時，系統(tǒng)經(jīng)80步的時間達到同步;k=0.10時，系統(tǒng)經(jīng)20步達到同步，數(shù)值模擬得出結(jié)論，耦合參數(shù)取值越大達到同步所需的時間越短．

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［13］Zhang X，Shen K 2002 Acta Phys．Sin．51 37(in Chinese)［馮玉玲、張喜和、沈柯2002物理學(xué)報51 37］

［14］LüL，L G，Cai Y 2008 Acta Phys．Sin．57 7517(in Chinese)［呂翎、李剛、柴元2008物理學(xué)報57 7517］

PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No．10804015)and the Scientific Research Fund of Education Department of Liaoning Province，China(Grant No．20062137)．

Corresponding author．E-mail:lshdy@sina．com

Control and synchronization of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system driven by CO2laser*

Zhu Jin-Chuan Li Chen-RenQi Jia-Yu Ren Xu-Dong Yue Xi-Shuang
(College of Physics and Electronic Technology，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China)
(Received 14 November 2010;revised manuscript received 5 December 2010)

Taking an one-dimensional coupled map lattice as an object，the characteristics of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system are investigated．Based on the Lyapunov stable theorem，the control of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is achieved，and the multiple phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is driven into the parallel synchronization by the CO2laser through choosing the coupling parameter．Numerical simulation results show that the coupling parameter has influence on the control and the synchronization speed of the phase-conjugation wave spatiotemporal chaos system．The greater the coupling parameter，the shorter the synchronization timeis．

CO2laser，phase-conjugation wave，spatiotemporal chaos，control and synchronization

*國家自然科學(xué)基金(批準號:10804015)和遼寧省科技廳項目(批準號:20062137)資助的課題．

E-mail:lshdg@sina．com