李勇

（重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067）

隨機(jī)信息中正態(tài)方差的灰色估計(jì)

李勇

（重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067）

利用隨機(jī)信息進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容。但經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和方法，都是建立在參數(shù)是明確數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上。而現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中的參數(shù)，具有大量不確定性或認(rèn)識(shí)的模糊灰色性。文章在Neyman的置信區(qū)間理論基礎(chǔ)上，借助灰色系統(tǒng)的方法，在隨機(jī)樣本的信息下，對(duì)正態(tài)方差的灰色估計(jì)進(jìn)行了研究，求出了正態(tài)方差的灰數(shù)估計(jì)及其白化權(quán)函數(shù)；并列舉實(shí)例以示其應(yīng)用。

隨機(jī)信息；正態(tài)方差；灰色估計(jì)

1 灰數(shù)的定義

灰色系統(tǒng)理論是1982年鄧聚龍?zhí)岢龅模翘幚砩贁?shù)據(jù)不確定性問(wèn)題的理論。少數(shù)據(jù)不確定性即稱灰性。而灰統(tǒng)計(jì)是指將統(tǒng)計(jì)對(duì)象的實(shí)際樣本通過(guò)白化權(quán)函數(shù)抽象為數(shù)字量（即灰統(tǒng)計(jì)量），按此灰統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)出對(duì)象所屬灰類(lèi)的權(quán)。

灰數(shù)指只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)，常指某個(gè)區(qū)間或某個(gè)一般數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)。本文的灰數(shù)主要指三角形（態(tài)）的區(qū)間灰數(shù)?∈[a，b]，灰數(shù)的白化值記為=ax+(1-x)b，x∈[0，1]，灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)主要指三角形（態(tài)）（適中測(cè)度）白化權(quán)函數(shù)，其一般形式為：

2 灰色估計(jì)

灰色估計(jì)是指使用灰數(shù)作為概率密度函數(shù)或離散的概率質(zhì)量函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值。首先，利用Neyman的置信區(qū)間理論，來(lái)獲得作為參數(shù)估計(jì)值的灰數(shù)。令X為隨機(jī)變量且f(x,θ)（θ為參數(shù)）為其概率密度函數(shù)或概率質(zhì)量函數(shù)。設(shè)隨機(jī)樣本x1，…xn，令Y＝μ(x1,…xn)是用以估計(jì)參數(shù)θ的統(tǒng)計(jì)量，在給定隨機(jī)變量值為Xi=xi，1≤i≤n的情形下，能得到θ的點(diǎn)θ*=y=u(X1，…，Xn)。從而得參數(shù)θ的（1-β）100%的置信區(qū)間，其中β值取為0.01。

其區(qū)間表示為：

在(2)中，0.01≤β≤1，當(dāng)β=1時(shí)，即為0%置信區(qū)間，此時(shí)以點(diǎn)估計(jì)值θ*的[θ*，θ*]表示置信區(qū)間。

3 正態(tài)方差的灰色估計(jì)

設(shè)X是一個(gè)服從正常分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量，μ和σ2都是未知參數(shù)?，F(xiàn)隨機(jī)抽取一組來(lái)自N(μ，σ2)的隨機(jī)樣本X1，……，Xn，估計(jì)其參數(shù)σ2。設(shè)這組隨機(jī)樣本值為x1，…，xn，則未知參數(shù)σ2的點(diǎn)估計(jì)值可表示如下：

又由于(n-1)s2/σ2服從自由度為n-1的卡方分布，因此：

根據(jù)上述討論，利用正態(tài)方差σ2的(1-β)的置信區(qū)間對(duì)正態(tài)方差σ2進(jìn)行灰色估計(jì)。設(shè)正態(tài)方差σ2的灰色估計(jì)數(shù)為是三角形（態(tài)）區(qū)間灰數(shù)。在當(dāng)0.01≤β≤1時(shí)，正態(tài)方差σ2的灰色估計(jì)數(shù)為的白化權(quán)函數(shù)(x)為：

且α1=θ1(0.01)，α2=θ2(0.01)。

4 應(yīng)用實(shí)例

例：為了比較不同國(guó)家或地區(qū)之間的真正實(shí)際生活水平，不能簡(jiǎn)單地利用貨幣來(lái)計(jì)算，需要利用“購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)”（簡(jiǎn)稱PPP）方法來(lái)測(cè)度。假定根據(jù)“PPP”方法測(cè)算的重慶市一地區(qū)人均月收入（元）X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其總體均值μ和σ2未知?，F(xiàn)根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得一組來(lái)自該總體的有效隨機(jī)樣本X1…，X121，樣本均值為2658元，樣本方差為1000。在置信水平99%下，求該正態(tài)總體方差σ2的灰色估計(jì)。

解：由（8）得，σ2的99%置信區(qū)間為：

則可求得該總體方差σ2的灰色估計(jì)數(shù)，灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)為：

5 結(jié)論

利用隨機(jī)信息進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容。但經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，都是建立在參數(shù)是明確數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的參數(shù)估計(jì)理論和方法。而現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中的大多數(shù)參數(shù)，具有不確定性或認(rèn)識(shí)的模糊灰色性。本文在Neyman的置信區(qū)間理論基礎(chǔ)上，借助于灰色系統(tǒng)的方法，研究了在隨機(jī)樣本的信息下，對(duì)正態(tài)方差的灰色估計(jì)研究，這比點(diǎn)估計(jì)或Neyman的置信區(qū)間能夠提供相對(duì)多的有效信息。

[1]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論[M].北京:科學(xué)出版社,1981.

[2]李勇，張維，陳正偉.隨機(jī)樣本中正態(tài)均值的灰色區(qū)間估計(jì)研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010，（13）.

[3]劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用（第5版）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[4]James J.Buckley.Fuzzy Statistics[M].Berlin：Springer-Verlag，2004.

C32

A

1002－6487（2011）07－0024-02

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目（09XTJ002）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871217）

李勇（1970－），男，重慶人，博士，研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)理論及應(yīng)用。

（責(zé)任編輯/浩天)