陳溟
(內(nèi)蒙古科技大學數(shù)理與生物工程學院,內(nèi)蒙古包頭014010)
Black-Scholes期權(quán)定價的修正模型及其應(yīng)用性研究
陳溟
(內(nèi)蒙古科技大學數(shù)理與生物工程學院,內(nèi)蒙古包頭014010)
文章在經(jīng)典B-S模型的基礎(chǔ)上引入了交易費用和連續(xù)支付的紅利,對期權(quán)定價公式進行了進一步研究,并且給出了存在交易費用和連續(xù)紅利時的期權(quán)定價公式。通過馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的實例分析,進一步說明有交易費用和連續(xù)紅利存在對期權(quán)價格的影響,并對結(jié)果進行簡要的分析。
B-S定價模型;交易費用;連續(xù)紅利
1973年,美國芝加哥大學教授Black.F和斯坦福大學教授Scholes.M發(fā)表了一篇名為《The pricing of options and Corporate Liabilities》的著名論文,文章給出了Black-Scholes期權(quán)定價模型,推導(dǎo)出基于股票的任何一種衍生證券的價格應(yīng)滿足的微分方程,并成功地求解該方程,因此獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。該理論及其以后的多種變形,對金融衍生工具市場的發(fā)展起了很大的推動作用。
經(jīng)典的Black-Scholes模型在研究過程中沒有考慮交易費用和連續(xù)紅利,這使得該模型在現(xiàn)實金融市場中的實用性降低。為了提高該模型的實際應(yīng)用性,使其更加符合現(xiàn)實的金融市場,本文在Black-Scholes模型假設(shè)的基礎(chǔ)上,引入了交易費用和連續(xù)紅利,并且給出了存在交易費用和連續(xù)紅利情況下的期權(quán)定價公式,然后又引進兩個具有代表性的權(quán)證,進一步研究分析,從而說明交易費用和連續(xù)紅利的存在對期權(quán)價格的影響。
期權(quán)定價的Black-Scholes偏微分方程為:
對應(yīng)于可用標的變量S定義的所有衍生證券,此方程有許多解。解方程時得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。對于歐式看漲期權(quán),關(guān)鍵的邊界條件為:
f=max(S-X,0)當t=T時
對于歐式看跌期權(quán),關(guān)鍵的邊界條件為:
f=max(X-S,0)當t=T時
求解該偏微分方程,可得歐式看漲期權(quán)定價公式為:
C(S,t)=SN(d1)-Xe-rf(T-t)N(d2)
看跌期權(quán)定價公式為:
其中:
N(x)為均值為0標準差為1的標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù),f為期權(quán)價格,f=f(S,t),S為股票價格,X為執(zhí)行價格,T為到期日,σ為股票回報的波動率,rf為瞬時無風險利率。
實際金融市場中,股票投資者經(jīng)常會得到一定數(shù)量的紅利,紅利的支付有兩種情形,每年在規(guī)定時間內(nèi)支付或者按照一定比例連續(xù)支付,這里為方便只討論連續(xù)支付的情形,在規(guī)定時間內(nèi)支付可將除權(quán)除息日所支付的紅利均攤到每一天,這樣便可認為紅利是連續(xù)支付的?,F(xiàn)實交易中由于對投資組合的權(quán)重進行連續(xù)調(diào)整可引起交易成本不斷增加,所以在修改模型時將交易成本考慮在內(nèi)成為必然。Black-Scholes期權(quán)定價模型是在連續(xù)條件下,先在dt時間內(nèi)對期權(quán)進行套期保值,再令dt→0而得到的,當考慮交易費用時,就不能無限次地對其進行套期保值,否則交易費用也會達到無窮,這是不可能的。因此,我們可適當修改該模型基本假設(shè)里的部分條件,對Black-Scholes方程基本假設(shè)做如下推廣:
(1)股票價格過程遵循幾何布朗運動,其離散形式為:
其中,準~N(0,1)其概率密度函數(shù)為:
這里△t不再是無窮小量,不再求趨于0的極限。
(2)期權(quán)在時刻t的價值遵循伊藤引理,其離散形式為:
(3)股票連續(xù)支付紅利,利率為q(t),無風險利率為r=r(t)。
(4)交易費用是投資者因買賣股票而產(chǎn)生的直接費用,一般由股票多頭支付,并以交易額的固定比例M來表示。
構(gòu)造投資組合π,買入一份期權(quán)合約f,賣出δ份股票S:
π=f-δS
(3)式因套期保值策略而產(chǎn)生的交易份額ω為:
利用泰勒中值定理,將(4)式的第一項展開得:
從而可得△π的數(shù)學期望為:
兩邊同時消去△t并移項,即可得到有交易成本和連續(xù)支付紅利情況下歐式期權(quán)多頭的定價方程為:
歐式期權(quán)空頭的定價方程為:
用偏微分的知識來求解該方程比較繁瑣,我們可以根據(jù)Black-Scholes模型的公式來推廣有交易費用和連續(xù)支付紅利的情況。將此股票與一只不支付紅利的相似股票進行比較,紅利的支付使得股票價格降低,所以支付連續(xù)紅利率q使得股票價格的增長率比不支付時減少了q。
帶入(6)式中,整理后,可得:
與B-S基本模型相比,我們可以看出有交易費用和紅利的定價模型只差在無風險利率r上,只需r-q用代替r,便可得到有交易費用和紅利的期權(quán)定價公式。
于是,有交易費用和紅利的歐式看漲期權(quán)定價公式為:
其中
我們選取兩個具有代表性的權(quán)證—馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證。馬鋼權(quán)證選擇2006-11-29至2008-11-28時間段,云化權(quán)證選擇2007-3-8至2009-3-7時間段(見表1),通過比較二者的B-S理論價格與修正價格的差異,進而說明交易費用和連續(xù)紅利對期權(quán)價格的影響。
3.1.1 馬鋼權(quán)證的理論價格
表1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的有關(guān)數(shù)據(jù)
由表1可得,S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,c=1.679,通過Matlab軟件編程,可得馬鋼權(quán)證的隱含波動率σ為0.5136,d1=1.7096,d2=0.9832
表2 B-S理論價格與有交易費和連續(xù)紅利的權(quán)證價格
查表有:N(d1)=0.956,N(d2)=0.836
則馬鋼權(quán)證的B-S理論價格為1.6437。
3.1.2 云化權(quán)證的理論價格
由表1可得,S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,c=9.34通過Matlab軟件編程,可得云化權(quán)證的隱含波動率σ為0.6543,d1=1.5486,d2=0.6232
查表有:N(d1)=0.9384,N(d2)=0.7295
則云化權(quán)證的B-S理論價格為8.8589.
3.2.1 馬鋼權(quán)證的修正價格
有交易費用和支付紅利時的期權(quán)定價公式為:
馬鋼權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù):S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,q=0.046,M=0.003
又由上可得馬鋼權(quán)證的隱含波動率為0.5136,則可計算σL=0.517
那么可求得有交易費用和紅利的馬鋼權(quán)證的修正價格為1.3836。
3.2.2 云化權(quán)證的修正價格有交易費用和紅利時的期權(quán)定價公式為:
云化權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,q=0.018,M=0.003,σ=0.6543,σL=0.6577
則可得有交易費用和紅利時的云化權(quán)證的修正價格為8.3104.
馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的B-S理論價格與修正價格見表2與圖1、圖2。
根據(jù)以上實證分析,我們將有交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格與經(jīng)典的B-S定價模型的結(jié)果進行比較分析,結(jié)果如下:
(1)從散點圖中我們可以看出,有交易費用和連續(xù)支付的紅利存在時的權(quán)證價格比B-S理論價格偏低。
(2)對于馬鋼權(quán)證來說,考慮交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格比經(jīng)典的B-S定價模型的權(quán)證價格降低了15.82%.
(3)對于云化權(quán)證來說,考慮交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格比經(jīng)典的B-S定價模型的權(quán)證價格降低了6.19%。
目前,我國權(quán)證市場中,交易費用一般為千分之三,如果大客戶和券商協(xié)議降傭,那么交易費用將更低,特別是在目前我國股市還沒有做空機制的情況下,不能無限次地進行套期保值,所以就一次單邊交易而言,交易費用通常可以忽略不計。
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F201
A
1002-6487(2011)07-0135-03
陳溟(1972-),男,內(nèi)蒙古包頭人,碩士,副教授,研究方向:金融數(shù)學。
(責任編輯/亦民)