陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學數(shù)理與生物工程學院，內(nèi)蒙古包頭014010）

Black-Scholes期權(quán)定價的修正模型及其應(yīng)用性研究

陳溟

（內(nèi)蒙古科技大學數(shù)理與生物工程學院，內(nèi)蒙古包頭014010）

文章在經(jīng)典B-S模型的基礎(chǔ)上引入了交易費用和連續(xù)支付的紅利，對期權(quán)定價公式進行了進一步研究，并且給出了存在交易費用和連續(xù)紅利時的期權(quán)定價公式。通過馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的實例分析，進一步說明有交易費用和連續(xù)紅利存在對期權(quán)價格的影響，并對結(jié)果進行簡要的分析。

B-S定價模型；交易費用；連續(xù)紅利

1973年，美國芝加哥大學教授Black.F和斯坦福大學教授Scholes.M發(fā)表了一篇名為《The pricing of options and Corporate Liabilities》的著名論文，文章給出了Black-Scholes期權(quán)定價模型，推導(dǎo)出基于股票的任何一種衍生證券的價格應(yīng)滿足的微分方程，并成功地求解該方程，因此獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。該理論及其以后的多種變形，對金融衍生工具市場的發(fā)展起了很大的推動作用。

經(jīng)典的Black-Scholes模型在研究過程中沒有考慮交易費用和連續(xù)紅利，這使得該模型在現(xiàn)實金融市場中的實用性降低。為了提高該模型的實際應(yīng)用性，使其更加符合現(xiàn)實的金融市場，本文在Black-Scholes模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，引入了交易費用和連續(xù)紅利，并且給出了存在交易費用和連續(xù)紅利情況下的期權(quán)定價公式，然后又引進兩個具有代表性的權(quán)證，進一步研究分析，從而說明交易費用和連續(xù)紅利的存在對期權(quán)價格的影響。

1 Black-Scholes期權(quán)定價模型及其修正模型

期權(quán)定價的Black-Scholes偏微分方程為：

對應(yīng)于可用標的變量S定義的所有衍生證券，此方程有許多解。解方程時得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。對于歐式看漲期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為：

f=max(S-X,0)當t=T時

對于歐式看跌期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為：

f=max(X-S,0)當t=T時

求解該偏微分方程，可得歐式看漲期權(quán)定價公式為：

C（S，t）=SN(d1)-Xe-rf(T-t)N(d2)

看跌期權(quán)定價公式為：

其中：

N(x)為均值為0標準差為1的標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)，f為期權(quán)價格，f=f(S,t)，S為股票價格，X為執(zhí)行價格，T為到期日，σ為股票回報的波動率，rf為瞬時無風險利率。

實際金融市場中，股票投資者經(jīng)常會得到一定數(shù)量的紅利，紅利的支付有兩種情形，每年在規(guī)定時間內(nèi)支付或者按照一定比例連續(xù)支付，這里為方便只討論連續(xù)支付的情形，在規(guī)定時間內(nèi)支付可將除權(quán)除息日所支付的紅利均攤到每一天，這樣便可認為紅利是連續(xù)支付的?，F(xiàn)實交易中由于對投資組合的權(quán)重進行連續(xù)調(diào)整可引起交易成本不斷增加，所以在修改模型時將交易成本考慮在內(nèi)成為必然。Black-Scholes期權(quán)定價模型是在連續(xù)條件下，先在dt時間內(nèi)對期權(quán)進行套期保值，再令dt→0而得到的，當考慮交易費用時，就不能無限次地對其進行套期保值，否則交易費用也會達到無窮，這是不可能的。因此，我們可適當修改該模型基本假設(shè)里的部分條件，對Black-Scholes方程基本假設(shè)做如下推廣：

(1)股票價格過程遵循幾何布朗運動，其離散形式為：

其中，準～N(0,1)其概率密度函數(shù)為：

這里△t不再是無窮小量，不再求趨于0的極限。

(2)期權(quán)在時刻t的價值遵循伊藤引理，其離散形式為：

(3)股票連續(xù)支付紅利，利率為q(t)，無風險利率為r=r(t)。

(4)交易費用是投資者因買賣股票而產(chǎn)生的直接費用，一般由股票多頭支付,并以交易額的固定比例M來表示。

構(gòu)造投資組合π，買入一份期權(quán)合約f，賣出δ份股票S：

π=f-δS

（3）式因套期保值策略而產(chǎn)生的交易份額ω為：

利用泰勒中值定理,將(4)式的第一項展開得：

從而可得△π的數(shù)學期望為：

兩邊同時消去△t并移項，即可得到有交易成本和連續(xù)支付紅利情況下歐式期權(quán)多頭的定價方程為：

歐式期權(quán)空頭的定價方程為：

2 求解修正后的Black-Scholes期權(quán)定價方程

用偏微分的知識來求解該方程比較繁瑣，我們可以根據(jù)Black-Scholes模型的公式來推廣有交易費用和連續(xù)支付紅利的情況。將此股票與一只不支付紅利的相似股票進行比較，紅利的支付使得股票價格降低，所以支付連續(xù)紅利率q使得股票價格的增長率比不支付時減少了q。

帶入(6)式中，整理后，可得：

與B-S基本模型相比，我們可以看出有交易費用和紅利的定價模型只差在無風險利率r上，只需r-q用代替r，便可得到有交易費用和紅利的期權(quán)定價公式。

于是，有交易費用和紅利的歐式看漲期權(quán)定價公式為：

其中

3 添加交易費和連續(xù)紅利的期權(quán)定價公式的應(yīng)用研究

我們選取兩個具有代表性的權(quán)證—馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證。馬鋼權(quán)證選擇2006-11-29至2008-11-28時間段，云化權(quán)證選擇2007-3-8至2009-3-7時間段（見表1），通過比較二者的B-S理論價格與修正價格的差異，進而說明交易費用和連續(xù)紅利對期權(quán)價格的影響。

3.1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的理論價格

3.1.1 馬鋼權(quán)證的理論價格

表1 馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的有關(guān)數(shù)據(jù)

由表1可得，S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,c=1.679，通過Matlab軟件編程，可得馬鋼權(quán)證的隱含波動率σ為0.5136，d1=1.7096,d2=0.9832

表2 B-S理論價格與有交易費和連續(xù)紅利的權(quán)證價格

查表有：N(d1)=0.956，N(d2)=0.836

則馬鋼權(quán)證的B-S理論價格為1.6437。

3.1.2 云化權(quán)證的理論價格

由表1可得，S=22.62，X=17.83,T-t=2,r=0.0252,c=9.34通過Matlab軟件編程，可得云化權(quán)證的隱含波動率σ為0.6543，d1=1.5486,d2=0.6232

查表有：N(d1)=0.9384，N(d2)=0.7295

則云化權(quán)證的B-S理論價格為8.8589.

3.2 考慮有交易費和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格

3.2.1 馬鋼權(quán)證的修正價格

有交易費用和支付紅利時的期權(quán)定價公式為：

馬鋼權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)：S=4.43,X=3.26,T-t=2,r=0.0252,q=0.046,M=0.003

又由上可得馬鋼權(quán)證的隱含波動率為0.5136，則可計算σL=0.517

那么可求得有交易費用和紅利的馬鋼權(quán)證的修正價格為1.3836。

3.2.2 云化權(quán)證的修正價格有交易費用和紅利時的期權(quán)定價公式為：

云化權(quán)證相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

S=22.62,X=17.83,T-t=2,r=0.0252,q=0.018,M=0.003,σ=0.6543,σL=0.6577

則可得有交易費用和紅利時的云化權(quán)證的修正價格為8.3104.

3.3 結(jié)果分析

馬鋼權(quán)證和云化權(quán)證的B-S理論價格與修正價格見表2與圖1、圖2。

根據(jù)以上實證分析，我們將有交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格與經(jīng)典的B-S定價模型的結(jié)果進行比較分析，結(jié)果如下：

（1）從散點圖中我們可以看出，有交易費用和連續(xù)支付的紅利存在時的權(quán)證價格比B-S理論價格偏低。

（2）對于馬鋼權(quán)證來說，考慮交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格比經(jīng)典的B-S定價模型的權(quán)證價格降低了15.82%.

（3）對于云化權(quán)證來說，考慮交易費用和支付連續(xù)紅利情況下的權(quán)證價格比經(jīng)典的B-S定價模型的權(quán)證價格降低了6.19%。

目前，我國權(quán)證市場中，交易費用一般為千分之三，如果大客戶和券商協(xié)議降傭，那么交易費用將更低，特別是在目前我國股市還沒有做空機制的情況下，不能無限次地進行套期保值，所以就一次單邊交易而言，交易費用通常可以忽略不計。

[1]約翰·赫爾,張?zhí)諅プg.期權(quán)、期貨及其它衍生產(chǎn)品[M].北京:華夏出版社，1999.

[2]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]鄭曉迎，陳金賢.有交易成本的期權(quán)定價研究[J].電子科技大學學報，2000.

[4]李春泉,劉新平.Black-Scholes模型期權(quán)定價方法及其應(yīng)用[J].重慶工商大學學報:自然科學版,2006,23(4).

F201

A

1002－6487（2011）07－0135-03

陳溟（1972-），男，內(nèi)蒙古包頭人，碩士，副教授，研究方向：金融數(shù)學。

（責任編輯/亦民）