汪冬生 南京地下工程建筑設(shè)計院有限公司，江蘇 南京 210029

運用CAE工具進行兩階段結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

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本文利用CAE工具，對一受集中荷載作用的矩形板依次進行拓撲優(yōu)化與尺寸優(yōu)化的計算與分析，最后得到給定條件下的合理結(jié)構(gòu)。研究結(jié)果表明，拓撲優(yōu)化與尺寸優(yōu)化相結(jié)合的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法，是解決具有較少目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的一種有效方法。

CAE技術(shù)；工程結(jié)構(gòu)；拓撲優(yōu)化；尺寸優(yōu)化；有效性

CAE Technique; Engineering Structure; Shape Optimization;Size Optimization;Validity

1 前言

CAE(Computer Aided Engineering的縮寫), 是指用計算機輔助求解分析復(fù)雜工程和產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，以及優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能等，它是計算機技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的一門新興學(xué)科。采用CAE技術(shù)，即使對復(fù)雜的工程分析也無須作很多簡化，并且計算速度快、進度高。常見的工程分析包括對質(zhì)量、體積、強度、應(yīng)力、變形、穩(wěn)定等的計算分析，以及對產(chǎn)品的運動精度、動靜態(tài)特征等的性能分析。

本文利用CAE工具，結(jié)合已有的研究成果，對一典型構(gòu)件進行了兩階段優(yōu)化設(shè)計，最后得到在滿足各項設(shè)計要求下的最優(yōu)化設(shè)計方案。

2 兩階段結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

拓撲優(yōu)化即形狀優(yōu)化，有時也稱為外形優(yōu)化。從理論上講,廣義的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是指: 確定結(jié)構(gòu)單元、節(jié)點及內(nèi)部邊界的空間連接方式。拓撲優(yōu)化的目標(biāo)是尋找承受單載荷或多載荷的物體的最佳材料分配方案。與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計不同的是，拓撲優(yōu)化不需要給出參數(shù)和優(yōu)化變量的定義。目標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計變量都是預(yù)定義好了的。設(shè)計者只需要給出結(jié)構(gòu)的參數(shù)（材料特性、模型、載荷等）和要省去的材料百分比，以及一定約束條件（如位移、頻率、穩(wěn)定性等）。很明顯，拓撲優(yōu)化的目標(biāo)是得到物體的最佳形狀。

目前，拓撲、布局優(yōu)化技術(shù)有多種，比較有效的方法有基于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的均勻化方法[1]、漸近結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化法[2]等，后者是通過將無效或低效的材料一步步去掉，結(jié)構(gòu)將逐漸趨于優(yōu)化。該方法采用已有的有限元分析軟件，通過迭代過程在計算機上實現(xiàn)，通用性很好。漸近結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化法不僅可以解決形狀和拓撲優(yōu)化問題，還可以實現(xiàn)應(yīng)力、位移（剛度）、振動頻率、響應(yīng)、臨界壓力等優(yōu)化。

目前，已有不少國內(nèi)外軟件能夠處理結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題（由于拓撲優(yōu)化的理論尚不成熟，故都還處于發(fā)展階段）。需要注意的是，基于CAE技術(shù)的拓撲優(yōu)化的結(jié)果對網(wǎng)格劃分密度十分敏感。一般來說，很細的網(wǎng)格可以產(chǎn)生“清晰”的拓撲結(jié)果，而較粗的網(wǎng)格會生成“混亂”的結(jié)果。但是，較大的有限元模型收斂需要更多的時間。

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化

為了使設(shè)計方案滿足使用上的各項要求，對結(jié)構(gòu)需施加一定的約束，一般分為顯式約束和隱式約束。顯式約束是直接施加于一個或幾個設(shè)計變量的限制。而隱式約束即狀態(tài)變量，是間接施加于設(shè)計變量的限制?；贑AE技術(shù)的隱式約束需要通過求解有限元方程間接得到。約束條件在設(shè)計空間中構(gòu)成一個曲面，它代表等式滿足約束條件的設(shè)計點的軌跡。對于不同點的設(shè)計方案，將具有不同的目標(biāo)函數(shù)值。在該階段的設(shè)計中，需要設(shè)計者找出使目標(biāo)函數(shù)值最小的點[2]。

對于已知的給定參數(shù)，求出滿足全部約束條件并使目標(biāo)函數(shù)取極小值的設(shè)計變量。用數(shù)學(xué)方式表示，就是極小化目標(biāo)函數(shù) W(x)

滿足約束條件的設(shè)計中，關(guān)于應(yīng)力和位移的約束條件，通常都是設(shè)計變量的非線性函數(shù)[1]。

這是一個數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化作為一種數(shù)學(xué)方法，通常是利用對解析函數(shù)求極值的方法來達到尋求最優(yōu)值的目的?；跀?shù)值分析技術(shù)的CAE方法，顯然不可能對我們的目標(biāo)得到一個解析函數(shù)，CAE計算所求得的結(jié)果只是一個數(shù)值。然而，樣條插值技術(shù)又使CAE中的優(yōu)化成為可能，多個數(shù)值點可以利用插值技術(shù)形成一條連續(xù)的可用函數(shù)表達的曲線或曲面，如此便回到了數(shù)學(xué)意義上的極值優(yōu)化技術(shù)上來。樣條插值方法當(dāng)然是種近似方法，通常不可能得到目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確曲面，但利用上次計算的結(jié)果再次插值得到一個新的曲面，相鄰兩次得到的曲面的距離會越來越近，當(dāng)它們的距離小到一定程度時，可以認為此時的曲面可以代表目標(biāo)曲面。那么，該曲面的最小值，便可以認為是目標(biāo)最優(yōu)值。以上就是CAE方法中的優(yōu)化處理過程。一個典型的CAE優(yōu)化過程通常需要經(jīng)過以下的步驟來完成：

(1)參數(shù)化建立幾何模型：利用CAE軟件的參數(shù)化建模功能把將要參與優(yōu)化的數(shù)據(jù)（設(shè)計變量）定義為模型參數(shù)，為以后軟件修正模型提供可能。

(2)求解運算：對結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型進行加載與求解（用數(shù)值方法求解選定的數(shù)學(xué)模型）。

(3)提取并指定狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)。

(4)后處理：把狀態(tài)變量（約束條件）和目標(biāo)函數(shù)（優(yōu)化目標(biāo)）提取出來供處理。

3 算例與討論

3.1 拓撲優(yōu)化

問題是求圖1所示的結(jié)構(gòu)在集中荷載F作用下的拓撲優(yōu)化設(shè)計。以漸近拓撲優(yōu)化理論[3]為基礎(chǔ)，基于應(yīng)力水平的材料刪除。圖2顯示了刪除率[3]RR為30%時的拓撲優(yōu)化結(jié)果。（這里將設(shè)計區(qū)城分成 四節(jié)點等尺寸的平面應(yīng)力單元，板的厚度取為50mm，并假設(shè)F＝1MPa，L＝1m，H＝2.4m,彈性模量E＝ 100Gpa，泊松比ν＝0.3，比重ρ＝7.85× 103Kg/m3）。

本問題拓撲優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是結(jié)構(gòu)總體積，通過對優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的總體積從優(yōu)化前的2.4降低到0.389，如圖3所示，降低量是原設(shè)計的85%。另外，拓撲的最終結(jié)果顯示H＝2L[3]。

3.2 尺寸優(yōu)化

條件約束是當(dāng)荷載P作用于結(jié)構(gòu)時，各桿中的最大拉應(yīng)力不得超過137MPa，最大壓應(yīng)力不得大于100Mpa，且不大于縱向屈曲時的臨界應(yīng)力σcr和局部屈服應(yīng)力σs；載荷作用點允許的最大豎向位移uy。下面求該構(gòu)件（見圖4）的最小重量。

圖4 結(jié)構(gòu)計算及尺寸示意圖

根據(jù)分析問題的性質(zhì)，選擇桿的直徑D1、D2和管壁厚t為設(shè)計變量(必須是正值,如圖4所示)；狀態(tài)變量為桿內(nèi)的（軸向）應(yīng)力值、壓桿穩(wěn)定條件以及集中載荷處的豎向位移，目標(biāo)函數(shù)為構(gòu)件的最小重量。

綜上所述，該問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

優(yōu)化結(jié)果見下表。

表1 尺寸優(yōu)化結(jié)果表

利用MATLAB優(yōu)化組件[4]得到的理論解為D1=38.9, D2=6.1和t=18.8。設(shè)計變量D1、D2、t和目標(biāo)函數(shù)的大小隨迭代過程的變化規(guī)律分別如圖5、6所示。

綜上可得到以下結(jié)論：當(dāng)管子的尺寸分別為D1=37.7, D2=5.9和t=18.5時，整個結(jié)構(gòu)的重量最輕(此時總質(zhì)量為19. 877kg),也得到了最佳設(shè)計。

在靜載荷工況作用下，構(gòu)件拓撲優(yōu)化問題中很難處理歐拉失穩(wěn)問題[5]，如還需要考慮基頻約束，問題會變得較復(fù)雜。為此，本例在尺寸設(shè)計階段才具體考慮穩(wěn)定性等問題，這樣使問題容易解決。

4 結(jié)論

本文利用CAE工具對一典型結(jié)構(gòu)進行了兩階段優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化結(jié)果顯示，將拓撲優(yōu)化與尺寸優(yōu)化相結(jié)合的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法，對解決具有較少目標(biāo)的優(yōu)化問題，是一種行之有效的新嘗試，具有很好的應(yīng)用前景。對于應(yīng)用兩階段優(yōu)化方法處理多目標(biāo)的優(yōu)化問題，今后還需要進一步研究。

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[2]朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用[M].北京：水利電力出版社.1979.394～400

[3]榮見華,鄭健龍,徐飛鴻編著.結(jié)構(gòu)動力修改及優(yōu)化設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社.2002. 249～251

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Two Stage Construction Optimization Design Method Useing on the CAE Technique

By utilizing the CAE tool, this paper optimizes a typical construction combining the already research results which have been, finally getting the optimum design of construction under satisfying the variously requests. Combining topology optimization with size optimization together, here gets a kind of valid new trial of the construction optimization on the CAE Technique. But for many targets problems, it still need the further research.

Wang Dongsheng Nanjing Underground Engineering & Architectural Design In，stNitaunreji nCgO J.,iLaTnDg su 210029China

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.11.061

汪冬生（1978-），男，國家一級注冊結(jié)構(gòu)工程師、土木（巖土）工程師。主要從事結(jié)構(gòu)、巖土方面的設(shè)計和研究工作。