王慶豐

（中原工學院 經(jīng)濟管理學院，鄭州 450007）

基于歐拉法的非等間距GM（1,1）預測模型參數(shù)估計

王慶豐

（中原工學院 經(jīng)濟管理學院，鄭州 450007）

文章提出了一種新的非等間距GM（1,1）模型參數(shù)估計方法，該方法不再構(gòu)造非等間距序列背景值，而是基于歐拉公式直接求解模型參數(shù)來建立預測模型，為非等間距GM（1,1）模型參數(shù)求解提供了一條新的思路和解決方法。實例應用表明，利用該方法建立的非等間距GM（1,1）模型顯著改善了模擬和預測精度，具有精度高、適用性強等特點。

非等間距；GM（1,1）模型；歐拉法；參數(shù)估計

0 引言

灰色系統(tǒng)理論自鄧聚龍教授于1982年提出以來，被廣泛地應用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域[1]。作為灰色系統(tǒng)預測理論的基礎(chǔ)與核心，GM（1,1）模型因其“小樣本”和“貧信息”的研究特質(zhì)和簡單實用的優(yōu)點在灰色預測中占有重要地位，是應用最早也是迄今為止應用最為廣泛的灰色模型。

灰色系統(tǒng)模型的建立大多基于等間距序列，而在實際工作中所得到的許多原始數(shù)據(jù)并非等間距序列，特別是工程技術(shù)領(lǐng)域，這類問題更多。因此，建立非等間距序列GM（1,1）模型具有廣泛的現(xiàn)實意義，許多學者對非等間距GM（1,1）模型進行了研究[2～4]。文獻[2]提出了時數(shù)分離方法，其最大特點是沒有對原始的非等時序列進行人為改造，只是通過概念的轉(zhuǎn)換，而得出兩個等時序，但是對這種模型的同步預測性需要作進一步的研究。文獻[3]在原始非等間距序列的基礎(chǔ)上將序列間距作為乘子建立非等間距GM（1,1）預測模型，但模型的構(gòu)造不能保證和實際相符。文獻[4]則將原始序列分解成nk+1個序列，，…，，然后通過數(shù)據(jù)列的變化尋找出參數(shù)a和b的變化規(guī)律，再利用這一規(guī)律再求出參數(shù)a和b的值，進而建立非等間距GM（1,1）預測模型。由于背景值的構(gòu)造方法是影響預測精度和適應性的關(guān)鍵因素，更多的學者從不同的角度對非等間距GM（1,1）模型的背景值構(gòu)造問題進行了相應的研究[5～7]。文獻[5]利用齊次指數(shù)函數(shù)來擬合一次累加生成序列，重構(gòu)非等間距序列的GM（1,1）模型背景值。文獻[6]認為可以用x(1)(t)在區(qū)間[ki，ki+1]上的中點實際值作為背景值。文獻[7]則根據(jù)灰色模型的指數(shù)特性和積分特點，利用非齊次指數(shù)函數(shù)來擬合一次累加生成序列，提出一種新的重構(gòu)非等間距GM（1,1）模型背景值的方法。

然而，上述通過重構(gòu)背景值來提高非等間距GM（1,1）模型預測精度的方法在實際運用中并不能令人完全滿意。本文擬提出一種新的非等間距GM（1,1）模型參數(shù)估計方法，該方法將不再構(gòu)造非等間距序列的背景值，而是基于歐拉公式直接求解非等間距GM（1,1）模型參數(shù)來建立預測模型，以期進一步拓廣了GM（1,1）模型的應用范圍。

1 基于歐拉法的非等間距GM（1,1）模型參數(shù)估計

1.1 非等間距GM(1,1)模型建模機理

定義 1 設(shè)序列 X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}，若間距△ki=ki-ki-1≠const，則稱 X(0)是非等間距序列。

定義 2 設(shè)序列 X(1)={x(1)(k1)，x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}，若其中 x(1)(ki)=x(0)(xj)△kj（i=1，2，…，n），則稱 X(1)為非等間距序列 X(0)

的一次累加生成（1-AGO）序列。

對一次累加生成序列X(1)建立GM（1,1）模型，對應的微分方程為：

其差分形式為：

這里：

式（2）中的 z(1)(ki)稱為 GM（1,1）模型的背景值，為累加生成序列的緊鄰均值生成值。

則灰色微分方程x(0)(ki)+az(1)(ki)=b的時間響應式為：

還原式

2.2 基于歐拉法的非等間距GM（1,1）模型參數(shù)估計

由公式（5）可見，GM（1,1）模型模擬和預測精度取決于參數(shù)a和b，而參數(shù)a和b的值在傳統(tǒng)方法上又依賴于背景值的構(gòu)造。因此，背景值z(1)(ki)成為直接影響GM（1,1）模型模擬和預測精度的關(guān)鍵。這里，我們介紹一種不需要構(gòu)造背景值而直接估計非等間距GM（1,1）模型參數(shù)的方法。

表1 某單位教學實驗樓第3號沉降點觀測數(shù)據(jù)

將公式（1）變形，設(shè)

在[ki-1，ki]區(qū)間上對兩邊取積分，得：

根據(jù)歐拉公式，我們直接用矩形面積近似代替該區(qū)間上的積分得到：

為了提高計算精度，我們用梯形面積代替小區(qū)間的積分，梯形法的計算公式為：

方程（8）為含有待求量x(1)(ki)的方程。由于通常解隱藏x(1)(ki)的方程比較困難，所以我們首先用簡單的歐拉法計算x(1)(ki)的近似值，用x*(1)(ki)表示，然后代入方程（8）中，計算x(1)(ki)的值。迭代公式如下：

將式（6）代入上式，并進行化簡得：

表2 建筑物沉降量模擬效果和相對誤差

將式（13）求得的參數(shù)代入式（5）中，可直接得到還原式為

3 應用實例：建筑物沉降預測

為確保建筑物安全，需要在建筑物施工之初布設(shè)若干個沉降監(jiān)測點，在不同時期進行沉降觀測。表1為某單位教學實驗樓封頂后第3號沉降監(jiān)測點部分觀測數(shù)據(jù)。

文獻[8]以等間隔數(shù)列為基礎(chǔ)，把非等間距數(shù)列轉(zhuǎn)化為等間距數(shù)列，再進行一次累加生成處理，進而建立GM(1,1)模型。為便于與文獻[8]進行比較，現(xiàn)在采用本文提出的方法對表1數(shù)據(jù)建模，解得參數(shù)。兩個模型的模擬效果和相對誤差如表2所示。

4 結(jié)論

為提高灰色模型的預測精度和適用范圍，本文基于歐拉法直接進行非等間距GM（1,1）模型參數(shù)估計，而不再構(gòu)造背景值，為非等間距GM（1,1）模型參數(shù)求解提供了一條新的思路和解決方法。針對建筑物沉降監(jiān)測等實際問題，本文應用該方法分別進行非等間距數(shù)據(jù)建模，結(jié)果顯示模擬和預測效果得到了顯著改善，這說明該方法具有一定的有效性和可行性?；跉W拉法進行GM（1,1）模型參數(shù)估計，不僅適合于非等間距建模，也適合于等間距建模，具有方法簡單、精度高、適用性強等特點。該方法的提出具有重要的現(xiàn)實意義和理論意義，使得工程科學、社會科學研究中對于不等間距數(shù)據(jù)的預測更加準確，有著廣泛的應用前景。

[1]劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京:科學出版社，2004.

[2]蔣衛(wèi)東,李夕兵,趙國彥.非等時序列預測的時數(shù)分離研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2003,(1).

[3]王鐘羨,吳春篤,史雪榮.非等間距序列的灰色模型[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,33(10).

[4]史雪榮,王作雷,張正娣.變參數(shù)非等間距GM(1,1)模型及應用[J].數(shù)學的實踐與認識,2006,36(6).

[5]戴文戰(zhàn),李俊峰.非等間距GM(1,1)模型建模研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2005,(9).

[6]李翠鳳,戴文戰(zhàn).非等間距GM(1,1)模型背景值構(gòu)造方法及應用[J].清華大學學報(自然科學版),2007,47(S2).

[7]王葉梅,黨耀國,王正新.非等間距GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].中國管理科學,2008,16(4).

[8]吳清海.基于非等間距模型的建筑物沉降預測方法研究[J].測繪科學,2008,33(3).

C931

A

1002-6487（2011）04-0032-02

王慶豐（1973-），男，河南獲嘉人，博士，副教授，研究方向：產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟與灰色系統(tǒng)理論。

（責任編輯/易永生）