彭 煜，張興娟，賀 唐，陳思穎，盛文文

（西南科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 綿陽 621010）

基于DEA的模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)回歸分析

彭 煜，張興娟，賀 唐，陳思穎，盛文文

（西南科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 綿陽 621010）

對(duì)每個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的DEA有效值作為它的模糊隸屬度，以表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)總體的貢獻(xiàn)程度。從DEA的視角，獲取模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)，得到了基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘估計(jì)，及其一些優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。利用平均相對(duì)貼近度，給出了一個(gè)評(píng)價(jià)模型擬合效果的準(zhǔn)則。通過數(shù)值實(shí)例的計(jì)算比較，表明了該方法的有效性。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）；模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)；平均相對(duì)貼近度；回歸分析

1 模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)

在經(jīng)典回歸分析中，認(rèn)為所有數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)擬合曲線的貢獻(xiàn)是相同的，但在很多實(shí)際問題中，每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)總體來說具有不同的意義，有些數(shù)據(jù)相比于其他數(shù)據(jù)來說顯得更重要。

假設(shè)x是k維預(yù)報(bào)變量，Y是一維響應(yīng)變量，(xj,yj)是訓(xùn)練樣本。在這里我們給每個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)賦予一個(gè)模糊隸屬度 θj（0≤θj≤1），將其認(rèn)為是對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)總體的重要程度。稱((xj,yj),θj)為 Rk+1中的模糊點(diǎn)，定義{(xj,yj),θj：j=1,2,…,n}為模糊點(diǎn)集。

設(shè)n個(gè)決策單元DMUj，j=1,2,…,n。每個(gè)DMUj都有k種輸入 Xj=(x1j,x2j,…,xkj)，s 種輸出 Yj=(y1j,y2j,…,ysj)，評(píng)價(jià) DMUj0(xj0,yj0)相對(duì)有效性的BCC模型為：

其中θ為決策單元DMUj0的相對(duì)有效性值，把θ作為隸屬度，賦予決策單元所對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。

2 基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘回歸

2.1 最小二乘回歸

假設(shè)有一個(gè)k維輸入向量X=(x1,x2,…,xk)，用下面的模型預(yù)測(cè)輸出Y：

其中β0,β1,…,βk是待估計(jì)的未知參數(shù)。對(duì)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集{(xi,yi);i=1,2,…,n}，其中 xi=(xi1,xi2,…,xik)t，它們滿足：

其中 X,Y,β,ε 分別是：

誤差項(xiàng) εi，i=1,2,…,n，滿足 Gauss-Markov 假設(shè)。

記e=Y-Xβ，選擇系數(shù)β以最小化殘差平方和：

2.2 基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘回歸

假設(shè)給定一個(gè)有模糊權(quán)重的訓(xùn)練點(diǎn)數(shù)據(jù)集：

((x1,y1),θ1),((x2,y2),θ2),…,((xn,yn),θn)

給定每個(gè)訓(xùn)練點(diǎn)xi∈Rk+1和模糊隸屬度θi(0≤θi≤1),i=1,2,…,n，構(gòu)建基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的線性回歸模型：

其中運(yùn)算“*”的定義如下：記

2.3 基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘估計(jì)的性質(zhì)

類似于文獻(xiàn)[2]的方法，可以得到基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘估計(jì)具有許多優(yōu)良性質(zhì)。

定理 2 對(duì)于基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的線性回歸模型 （6），在CTβ的所有線性無偏估計(jì)中，最小二乘估計(jì)贊是唯一具有最小方差的估計(jì)。

誤差向量E=θ*(Y-Xβ)，用基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的最小二乘估計(jì)贊代替其中的β，得到殘差向量：

因此，對(duì)于基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的線性回歸模型（6），用常規(guī)的方法可以證明下面的定理。

定理 4 假設(shè)誤差向量 ε～N(0,σ2I)，則有：

對(duì)于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的回歸分析，我們定義樣本相對(duì)平均貼近度。

定義：基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)集：

按（6）進(jìn)行線性回歸。樣本的平均相對(duì)貼近度為：

它反映了模型擬合值與樣本觀測(cè)值之間的平均相對(duì)接近程度。

3 數(shù)值實(shí)例

以國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP表示產(chǎn)出，資本形成總額表示資本投入，就業(yè)人數(shù)表示勞動(dòng)投入，基于1990~2007年河南省的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（來自2008年河南省統(tǒng)計(jì)年鑒），對(duì)生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行回歸分析，分別用兩種不同的方法確定隸屬度。

方法一。線性函數(shù)方法。文獻(xiàn)[2]給出了確定模糊隸屬度的線性函數(shù)和二次函數(shù)方法，下面按線性函數(shù)方法確定隸屬度。對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)序列：

其中t1≤t2≤…≤tn是數(shù)據(jù)點(diǎn)到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間。設(shè)si是ti的函數(shù)，認(rèn)為最后一個(gè)點(diǎn)xn是最重要的并且選擇sn=f(tn)=1，認(rèn)為第一個(gè)點(diǎn)x1最不重要并且選擇s1=f(t1)=σ。使得模糊隸屬函數(shù)是時(shí)間的線性函數(shù)：

本文中令σ=0.9，計(jì)算出對(duì)應(yīng)于1990~2007年度的18個(gè)隸屬度取值如表1所示：

表1 線性函數(shù)法計(jì)算的各個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的隸屬度值

方法二。基于DEA方法確定的隸屬度。將收集到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)代人（1），并使用Matlab進(jìn)行上機(jī)運(yùn)算，得到的結(jié)果如表2。

表2 DEA方法計(jì)算的各個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的隸屬度值

分別將上述兩種方法得到的s、θ結(jié)果作為模糊隸屬度，對(duì)河南省1990~2007年的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，記兩種方法得到的 GDP 擬合值分別為回歸計(jì)算的結(jié)果為：

按傳統(tǒng)的方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，得到的GDP擬合值為

記真實(shí)的GDP值為Y，對(duì)三種回歸分析的結(jié)果進(jìn)行分析，分別計(jì)算如表3。

表3 三種回歸分析的殘差絕對(duì)值

從上面的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)于1990年、1994年、1995年、1996年、1997年、2003 年、2004 年、2005年、2006 年及2007 年的數(shù)據(jù)對(duì)比來看，|都要小于，而這些年份恰好對(duì)應(yīng)著較大的模糊權(quán)重。從而可以說明在模糊線性回歸中，權(quán)重越大的模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)擬合曲線的貢獻(xiàn)也就越大，這與文獻(xiàn)[2]得出的結(jié)論是一致的。殘差絕對(duì)值總量、平均相對(duì)貼近度的計(jì)算結(jié)果為：

可以發(fā)現(xiàn) Dθ

4 結(jié)論

用DEA的方法為數(shù)據(jù)確定模糊隸屬度，從DEA的角度將模糊性引入回歸分析中，是一種確定隸屬度的客觀方法。從理論分析和數(shù)值實(shí)例兩個(gè)方面，表明該方法不僅具有優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，還從不同的角度進(jìn)一步證明了模糊權(quán)重越大的數(shù)據(jù)對(duì)擬合曲線的貢獻(xiàn)越大，與其它確定隸屬度的方法相對(duì)比，基于DEA的隸屬度確定法要優(yōu)于傳統(tǒng)的確定隸屬度的方法。

[1]李正，宋保維，潘光，皮德福.無失效數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)的模糊回歸法[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2005,22（3）.

[2]沈菊紅.基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的線性回歸分析[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2007，(6).

[3]沈菊紅.基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的Logistic回歸模型[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2007，（3）.

[4]沈菊紅.基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的線性回歸模型在判別分析中的應(yīng)用[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，（4）.

[5]王惠惠，魏立力.基于模糊點(diǎn)數(shù)據(jù)的回歸變點(diǎn)識(shí)別[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2007，(06).

[6]李竹渝,張成.模糊數(shù)據(jù)的回歸模型結(jié)構(gòu)分析[J].統(tǒng)計(jì)研究,2008,25(8).

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（責(zé)任編輯/易永生）

C812

A

1002－6487（2011）03－0170-03

彭 煜（1963-），男，湖南永州人，博士，教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)，決策分析。

張興娟（1986-），女，甘肅古浪人，碩士研究生，研究方向：循環(huán)經(jīng)濟(jì)。