趙玉霞

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467044）

分組數(shù)據(jù)下幾種不同基尼系數(shù)的算法

趙玉霞

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467044）

基尼系數(shù)，作為衡量居民內(nèi)部收入分配差異狀況的一個重要指標(biāo)，廣大學(xué)者從不同角度對它進(jìn)行了研究。文章將以分組數(shù)據(jù)為例，采用參數(shù)法，介紹了曲線擬合法——廣義二次函數(shù)法、分布函數(shù)法——對數(shù)正態(tài)分布等幾種求解基尼系數(shù)的方法。

分組數(shù)據(jù)；參數(shù)法；基尼系數(shù)

0 引言

對于“分組數(shù)據(jù)”則應(yīng)當(dāng)采用參數(shù)法，估計其總體洛倫茲曲線或者總體收入分布，進(jìn)而求得基尼系數(shù)。應(yīng)用參數(shù)法確定“分組數(shù)據(jù)”的總體洛倫茲曲線的方法主要有兩種：一種是為洛倫茲曲線選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程直接擬合，確定其參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上求得基尼系數(shù)，另外一種為分布函數(shù)法，是基于對指標(biāo)的概率密度函數(shù)或概率分布函數(shù)的假設(shè)，來估計其分布參數(shù)，然后對洛倫茲曲線和基尼系數(shù)進(jìn)行估計的。

采用參數(shù)法確定總體洛倫茲曲線，首先便應(yīng)確定基于組數(shù)據(jù)下的樣本洛倫茲曲線。樣本洛倫茲曲線是由k+1個點(P0,L0),(P1,L1),…,(Pk,Lk)由直線連接而得到的，其中(P0,L0)=(0,0)，(PK,LK)=(1,1),Pi表示收入到i組人數(shù)的累積比例，Li表示收入小于或等于i組的居民的收入占整體居民的收入比例。若令L(x/α1,…,αp)表示給定參數(shù) α1,α2…αp的一條洛倫茲曲線，那么其必須滿足洛倫茲曲線的必要條件Kakwani(1980):

其中（1）式表示的是邊界條件，0%的人擁有0%的收入，100%的人擁有 100%的收入。 （2）式表示 L(x/α1,…,αp)是單調(diào)且凸的。α=(α1,…αp)∈Θ，Θ為參數(shù)空間。對于給定的樣本洛倫茲曲線，采用不同的方法將會得到不同的參數(shù)向量α,從而得出不同的總體洛倫茲曲線。采用曲線擬合的方法，則不用考慮收入的分布情況，只需要確定滿足條件（1）、（2）的曲線，采用最小二乘法或者極大似然估計的方法確定參數(shù)，擬合已有的樣本洛倫茲曲線。到目前為止運用的擬合曲線主要有多項式函數(shù)，logit函數(shù)，冪函數(shù)形式，廣義二次函數(shù)形式以及一些其他形式的曲線方程。我們主要介紹以下幾種主要的分布方法。

1 曲線擬合法——廣義二次函數(shù)法

Villassnor,Arnold(1989)提出的廣義二次法，該模型為：

在f=0及a+b+c+d+e=0的情況下，該曲線滿足洛倫茲曲線的必要條件，令x為P，y為L，結(jié)合上述條件，再規(guī)范化設(shè)d=1，得到：

（4）（5）式必然通過（0，0）兩點。 根據(jù)這些系數(shù)的值，該曲線可以是拋物線，雙曲線，直線，圓，或者橢圓。給定洛倫茲曲線條件，式（5）可以寫成

方程（6）的解是

其中 α=bP-1-a-b-c=bP+e,e=1+a+b+c,且 β=aP2+cP

正根不滿足所有的一致性條件，替換α和β后得到：

這便是通過廣義二次函數(shù)法得到的基尼系數(shù)。

2 分布函數(shù)法——對數(shù)正態(tài)分布

采用分布函數(shù)法來估計總體洛倫茲曲線時，首先應(yīng)當(dāng)假定收入指標(biāo)ξ為一隨機變量，且其滿足某一分布函數(shù)，即假設(shè)收入分布函數(shù)是連續(xù)的，此時設(shè)L代表累積的收入分布，P累積的人口分布，將人均收入按由低到高的順序排列，L(P)代表占比例為P的人口所擁有的占總收入比例為L的收入。表示不均等狀況的基尼系數(shù)定義如下：

即基尼系數(shù)為1減去洛倫茲曲線以下面積的兩倍。且應(yīng)滿足上述的洛倫茲曲線條件（1）（2）。

設(shè)F(x),f(x)分別是企業(yè)員工收入指標(biāo)ξ的分布函數(shù)與密度函數(shù)，根據(jù)定義，收入到x的累積密度函數(shù)即洛倫茲曲線上任意點的橫坐標(biāo)P可以表示為：

收入小于或等于x的居民的總收入占整體居民的收入份額，即縱坐標(biāo)L可以表示為

式中x>0,x<ξ的最大值，Eξ是ξ的數(shù)學(xué)期望。因為確定洛倫茲曲線的參數(shù)形式，進(jìn)而測定基尼系數(shù)都是由樣本數(shù)據(jù)計算出來的，所以其統(tǒng)計推斷就變得十分重要。關(guān)于洛倫茲曲線的的確定，其首先要解決的就是收入的分布情況。目前為止假定的收入分布主要有對數(shù)正態(tài)分布，Beta分布以及5參數(shù)的廣義Beta分布（GB）和冪函數(shù)形式的廣義貝塔分布函數(shù)（EGB）等。

在這里，我們假定企業(yè)員工收入分布符合對數(shù)正態(tài)分布。這樣做主要有以下三個原因：（1）反應(yīng)系統(tǒng)規(guī)模收入服從對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)是經(jīng)濟(jì)學(xué)常用的方法（Dollar&Kraay，2001）；且成邦文（2000，2005）給出的一個利用我國數(shù)據(jù)的實證分析也表明反映系統(tǒng)規(guī)模大小的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，其分布的不均勻性可以用對數(shù)正態(tài)分布來描述。

（2）根據(jù)企業(yè)員工收入的“微觀數(shù)據(jù)”做出收入密度函數(shù)圖，經(jīng)驗的說明企業(yè)員工收入服從對數(shù)正態(tài)分布。

（3）若檢驗企業(yè)員工收入這個隨機變量是否符合對數(shù)正態(tài)分布，可以采用非參數(shù)的K-S實證方法進(jìn)行檢驗。計算其顯著水平α，當(dāng)α大于規(guī)定的臨界值的時候，可以認(rèn)為該分布符合對數(shù)正態(tài)分布，否則就不符合。一般情況下，α可以取0.05，當(dāng)研究對象的個體數(shù)目很大時可以取0.01。

設(shè) μ=Elnξ,σ2=Dlnξ分別是 lnξ的均值與方差，在對數(shù)正態(tài)分布下，有

上述就是運用對數(shù)正態(tài)分布下基尼系數(shù)的求解。

3 基尼系數(shù)的其它求解方法

而如何確定那種參數(shù)洛倫茲曲線得出的基尼系數(shù)是合理的呢？在這里我們采用Kakwani（1986）的Beta分布方法，其原因如下：

檢驗基尼系數(shù)是否合理可以根據(jù)樣本基尼系數(shù)的上下界來判定。 這一思想是由 Gastwirth （1972）、Mehran（1975）、Murray（1978）以及 Fuller（1979）年提出的。 樣本基尼系數(shù)的上下界限定了樣本基尼系數(shù)的范圍，不依賴于任何總體收入分布或洛倫茲曲線的假定，僅從“分組數(shù)據(jù)”樣本就可以計算出來。而利用“分組數(shù)據(jù)”樣本采用參數(shù)法估計總體基尼系數(shù)依賴于對總體收入分布或洛倫茲曲線的假定。因此，對于給定的“分組數(shù)據(jù)”樣本，若根據(jù)某一假定估計的基尼系數(shù)是顯著地處于樣本基尼系數(shù)上界和下界構(gòu)成的區(qū)間之外，我們就有理由懷疑其假定的正確性。若按照Gastwirth（1972）給出的一個非參數(shù)的檢驗方法：

式中GL為基于組數(shù)據(jù)的樣本洛倫茲曲線確定的基尼系數(shù)，△被稱為組效應(yīng)（grouping effect）Gastwirth指出合理的總體基尼系數(shù)應(yīng)介于GL和GU之間。Schader M,Schmid F(1994)應(yīng)用美國1950～1988部分年間的收入數(shù)據(jù)，采用Gastwirth邊界方法，檢驗了12種參數(shù)洛倫茲曲線及其確定的基尼系數(shù)，在這里我們采用Kakwani（1986）的Beta分布方法，其原因主要是基于Schader M,Schmid F(1994)應(yīng)用美國1950～1988部分年間的收入數(shù)據(jù)，采用 Gastwirth（1972）提供的上下界檢驗方法，檢驗了12種參數(shù)洛倫茲曲線及其確定的基尼系數(shù)，并指出Kakwani（1986）的Beta分布方法，在16次檢驗中完全滿足Gastwirth邊界。

Kakwani（1986）年提出的洛倫茲曲線具有如下形式：

式中，a,α,β為參數(shù)，我們可以看到，這一曲線為擬合方程。而其確定的基尼系數(shù)為Beta分布，如下所示：

具體推導(dǎo)過程較為繁瑣，在此略去。

對于（17）式中參數(shù)a,α,β的估計問題，一種常用的方法是選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程，進(jìn)而利用最小二乘估計來確定其參數(shù)。在這里我們做如下的變換：

（17）式可以變?yōu)?/p>

兩邊取對數(shù)后（19）式可以變?yōu)?/p>

給定向量P,L,1，即可通過最小二乘法估計參數(shù)lna,α,β，從而確定參數(shù)a,α,β。參數(shù)確定之后即可通過公式（18）確定基尼系數(shù)。

[1]王春雷，黃素心.基尼系數(shù)與樣本信息含量[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2007,(2).

[2]成邦文.基于對數(shù)正態(tài)分布的洛倫茲曲線與基尼系數(shù)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2005,(2).

[3]歐陽植，于維生.分組數(shù)據(jù)的收入分布擬合以及洛倫茲曲線與基尼系數(shù)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，1994,(6).

[4]王祖祥.分組數(shù)據(jù)條件下基尼系數(shù)的有效估算方法[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2001,(8).

[5]陳奇志，陳家鼎.關(guān)于洛倫茲曲線和基尼系數(shù)的一點注記[J].北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006,(9).

[6]莊健，張永光.基尼系數(shù)和中等收入群體比重的關(guān)聯(lián)性分析[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2007,(4).

（責(zé)任編輯/浩 天）

F224.9

A

1002－6487（2011）03－0162-02