劉永平 孟鵬飛
(①蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,甘肅蘭州 730050;②蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅蘭州 730050)
巴斯噶蝸線是法國(guó)數(shù)學(xué)家為解決阿基米德斜向問(wèn)題而發(fā)明的一種蚌線,這種蝸線在機(jī)器中具有獨(dú)特的作用,通常作為特定場(chǎng)合使用的凸輪輪廓曲線。巴斯噶蝸線型齒輪就是根據(jù)上述背景提出的,是一種新型的非圓齒輪,即變傳動(dòng)比齒輪,它以巴斯噶蝸線作為齒輪的節(jié)曲線參數(shù)方程[1]。
文獻(xiàn)[1]的初步研究結(jié)果表明,巴斯噶蝸線型齒輪是可以實(shí)現(xiàn)變傳動(dòng)比的。這種齒輪可用于在機(jī)床往復(fù)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)、農(nóng)用機(jī)械(谷物收割機(jī)、插秧機(jī)分插機(jī)構(gòu))、紡織機(jī)械引緯機(jī)構(gòu)、冶金行業(yè)連鑄機(jī)等裝置中,實(shí)現(xiàn)周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)[2];另外,根據(jù)巴斯噶蝸線的運(yùn)動(dòng)特性,這種蝸線型齒輪還可以用于設(shè)計(jì)微沖擊振動(dòng)的無(wú)曲軸發(fā)動(dòng)機(jī)和壓縮機(jī),具有傳動(dòng)效率高、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、工作可靠等優(yōu)點(diǎn)。
據(jù)國(guó)內(nèi)外相關(guān)資料來(lái)看[2-4],有關(guān)巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的研究,目前僅局限于簡(jiǎn)單的理論分析和計(jì)算模擬。本文通過(guò)對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術(shù)研究,為這類齒輪的設(shè)計(jì)、制造、測(cè)量及應(yīng)用提供較為系統(tǒng)的理論基礎(chǔ),以進(jìn)一步拓展非圓齒輪的研究和應(yīng)用范圍。
如圖1所示,在極坐標(biāo)系中,半徑為b/2、圓心為(b/2,0)的發(fā)生圓上任一點(diǎn)的向徑方向上,與該點(diǎn)距離為l的點(diǎn)的軌跡稱為巴斯噶蝸線[5]。其數(shù)學(xué)方程為r=bcosθ+l,式中,b為發(fā)生圓的直徑,l為定長(zhǎng)。當(dāng)b和l的取值不同時(shí),巴斯噶蝸線的形狀也不同,主要有以下4種情況,如圖2所示:
(1)當(dāng) l≥2b 時(shí),Pascal蝸線為全凸封閉節(jié)曲線,如圖2a所示;
(2)當(dāng) b<l<2b時(shí),Pascal蝸線為無(wú)卷曲的內(nèi)凹曲線,如圖2b所示;
(3)當(dāng) l=b時(shí),Pascal蝸線為心臟曲線,如圖2c所示;
(4)當(dāng)l<b時(shí),Pascal蝸線為有卷曲的內(nèi)凹曲線,如圖2d所示。
對(duì)外嚙合傳動(dòng)的非圓齒輪副,若主動(dòng)輪1的節(jié)曲線是一巴斯噶蝸線,則該節(jié)曲線方程為[1]
根據(jù)微分幾何,它上面各點(diǎn)的曲率半徑計(jì)算公式為
設(shè)與其共軛的從動(dòng)輪2的階數(shù)為n2,則齒輪2節(jié)曲線封閉的條件為
此時(shí)齒輪副的中心距a為
則從動(dòng)輪2的節(jié)曲線方程為
外嚙合齒輪副的傳動(dòng)比為
主動(dòng)輪1的節(jié)曲線弧長(zhǎng)為
為方便計(jì)算,令 L=l+b,Sa=l- b,k=Sa/L。L稱為長(zhǎng)軸,Sa稱為短軸,k為長(zhǎng)短軸比率。則l=(L+Sa)/2,b=(L-Sa)/2。將其轉(zhuǎn)換在直角坐標(biāo)系中,計(jì)算弧長(zhǎng),可得
另外,根據(jù)節(jié)曲線的封閉性和輪齒在節(jié)曲線上的均布性,其弧長(zhǎng)還必須滿足條件[6-8]
因此,在設(shè)計(jì)這種齒輪時(shí),當(dāng)主動(dòng)輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、長(zhǎng)短軸比率k確定后,就可以根據(jù)式(8)和(9)求解出L的值,得出其主動(dòng)輪節(jié)曲線方程。然后由式(5)得出從動(dòng)輪節(jié)曲線方程。
當(dāng) n2=1,k=0、0.2、1/3、2/3、1、1.5、2 時(shí),由公式(5)和(6)計(jì)算并繪制蝸線齒輪副傳動(dòng)比曲線,如圖3所示??紤]到蝸線節(jié)曲線全凸的條件:k≥1/3。從圖中可以看出,在k=0時(shí),蝸線是心臟線,其節(jié)曲線存在內(nèi)凹且有尖點(diǎn),傳動(dòng)比曲線變化幅度較大;當(dāng)0<k<1時(shí),傳動(dòng)比的幅度(Ai12)隨著k值的變大而變小,即Ai12和i12成反比;當(dāng)k=1時(shí),蝸線節(jié)曲線變?yōu)閳A,傳動(dòng)比為一定值;當(dāng)k>1時(shí),傳動(dòng)比的幅度(Ai12)隨著k值的變大而變大,即Ai12和i12成正比。
當(dāng) k=2/3,n2=1、2、3、4、5 時(shí),蝸線齒輪副的傳動(dòng)比函數(shù)曲線如圖4所示??梢钥闯?,當(dāng)k為定值時(shí),傳動(dòng)比的幅度(Ai12)隨著n2值的變大而變小,即Ai12和i12成反比。
由第1節(jié)分析可知,對(duì)于這種類型的齒輪,其節(jié)曲線的凸凹性和k值有關(guān)。當(dāng)k≥1/3時(shí),該齒輪的節(jié)曲線全凸;特別的,當(dāng)k=1時(shí),蝸線成為半徑為l的圓;當(dāng)0<k<1/3時(shí)存在內(nèi)凹但無(wú)卷曲;當(dāng)k=0時(shí),蝸線成為心臟線;當(dāng)k<0時(shí),出現(xiàn)卷曲,這種情況無(wú)法滿足齒輪的傳動(dòng)要求。下面討論一下與其相嚙合的從動(dòng)輪的凸凹性。
為了計(jì)算方便,引入新的符號(hào)d。d稱為相對(duì)中心距。
令ε為偏心率,則
由此可得
由文獻(xiàn)[3]可知,從動(dòng)輪的曲率半徑為
由于a>r1,式(13)中分子總是正值,所以與蝸線齒輪嚙合的非圓齒輪2的節(jié)曲線上不出現(xiàn)內(nèi)凹部分的條件,是分母大于等于零,即
對(duì)式(14)求導(dǎo)可知,此式最小值是在θ1=0,r1=l+b時(shí)取得,將其代入式(14)得
由式(12)及(15)知,當(dāng) n2=1、2、3、4 時(shí),k≥1/3就能保證與蝸線齒輪共軛的非圓齒輪節(jié)曲線為凸。
由于非圓齒輪的齒形隨著輪齒所處的節(jié)曲線位置不同而不同。因此,不論是用齒形法或用解析法來(lái)求齒形均較麻煩。為了作圖簡(jiǎn)便,可利用“折算齒形”來(lái)繪制[9]。如圖5所示,若非圓齒輪上A點(diǎn)是第一個(gè)輪齒的中點(diǎn),該齒的對(duì)稱軸與A點(diǎn)節(jié)曲線的法線方向一致,則該齒的齒形近似于半徑為ρA(節(jié)曲線上A點(diǎn)的曲率半徑)的圓柱齒輪齒形,而該圓柱齒輪的齒數(shù)ZA稱為“折算齒數(shù)”。
折算齒數(shù)按如下公式計(jì)算
其中,A點(diǎn)的曲率半徑即ρA為
同理可計(jì)算出B點(diǎn)以及其他等分點(diǎn)處的曲率半徑,并用與其相對(duì)應(yīng)的圓柱齒輪齒廓來(lái)代替該等分點(diǎn)處的齒廓。
為了驗(yàn)證上述研究?jī)?nèi)容的正確性,下面列舉實(shí)例對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪及其CAM技術(shù)進(jìn)行分析。設(shè)給定初始參數(shù):b=20 mm、l=34 mm、m=3 mm、z1=25、n1=1、n2=2。由于l≤2b,故主動(dòng)輪節(jié)曲線不是全凸的,存在一定的內(nèi)凹。其節(jié)曲線、齒頂線、齒根線如圖6所示。該齒輪各個(gè)等分點(diǎn)處的曲率半徑ρ和折算齒數(shù)ZA如表1所示。
表1 主動(dòng)輪齒形參數(shù)
根據(jù)表1數(shù)據(jù),利用CAXA軟件繪制出主動(dòng)輪的各個(gè)輪齒齒形,如圖7a所示;其三維仿真結(jié)果如圖7b所示。
同理,可以計(jì)算并繪制出與蝸線齒輪共軛嚙合的從動(dòng)輪,其中z2=54,齒輪副中心距a=110.031 mm,齒輪副嚙合狀態(tài)及齒形圖如圖8所示??梢钥闯觯瑥膭?dòng)輪也是一非圓齒輪。
巴斯噶蝸線型齒輪是一種新型的非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),具有與傳統(tǒng)非圓齒輪(橢圓齒輪、偏心圓齒輪)不可替代的傳動(dòng)特性。本文根據(jù)非圓齒輪嚙合原理,通過(guò)對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪節(jié)曲線的參數(shù)化設(shè)計(jì)、傳動(dòng)特性分析、齒形設(shè)計(jì)、CAM分析及加工仿真,系統(tǒng)研究了這類齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術(shù),驗(yàn)證了這類齒輪傳動(dòng)的可行性及可加工性,為其實(shí)際應(yīng)用提供了較為系統(tǒng)的理論基礎(chǔ),具有較高的實(shí)用價(jià)值。
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