劉永平 孟鵬飛

（①蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州 730050;②蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050）

巴斯噶蝸線是法國(guó)數(shù)學(xué)家為解決阿基米德斜向問(wèn)題而發(fā)明的一種蚌線，這種蝸線在機(jī)器中具有獨(dú)特的作用，通常作為特定場(chǎng)合使用的凸輪輪廓曲線。巴斯噶蝸線型齒輪就是根據(jù)上述背景提出的，是一種新型的非圓齒輪，即變傳動(dòng)比齒輪，它以巴斯噶蝸線作為齒輪的節(jié)曲線參數(shù)方程［1］。

文獻(xiàn)［1］的初步研究結(jié)果表明，巴斯噶蝸線型齒輪是可以實(shí)現(xiàn)變傳動(dòng)比的。這種齒輪可用于在機(jī)床往復(fù)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)、農(nóng)用機(jī)械（谷物收割機(jī)、插秧機(jī)分插機(jī)構(gòu)）、紡織機(jī)械引緯機(jī)構(gòu)、冶金行業(yè)連鑄機(jī)等裝置中，實(shí)現(xiàn)周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)［2］;另外，根據(jù)巴斯噶蝸線的運(yùn)動(dòng)特性，這種蝸線型齒輪還可以用于設(shè)計(jì)微沖擊振動(dòng)的無(wú)曲軸發(fā)動(dòng)機(jī)和壓縮機(jī)，具有傳動(dòng)效率高、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、工作可靠等優(yōu)點(diǎn)。

據(jù)國(guó)內(nèi)外相關(guān)資料來(lái)看［2－4］，有關(guān)巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的研究，目前僅局限于簡(jiǎn)單的理論分析和計(jì)算模擬。本文通過(guò)對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪及其共軛的非圓齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術(shù)研究，為這類(lèi)齒輪的設(shè)計(jì)、制造、測(cè)量及應(yīng)用提供較為系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，以進(jìn)一步拓展非圓齒輪的研究和應(yīng)用范圍。

1 巴斯噶蝸線的定義及性質(zhì)

如圖1所示，在極坐標(biāo)系中，半徑為b/2、圓心為（b/2，0）的發(fā)生圓上任一點(diǎn)的向徑方向上，與該點(diǎn)距離為l的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為巴斯噶蝸線［5］。其數(shù)學(xué)方程為r=bcosθ+l，式中，b為發(fā)生圓的直徑，l為定長(zhǎng)。當(dāng)b和l的取值不同時(shí)，巴斯噶蝸線的形狀也不同，主要有以下4種情況，如圖2所示:

（1）當(dāng) l≥2b 時(shí)，Pascal蝸線為全凸封閉節(jié)曲線，如圖2a所示;

（2）當(dāng) b＜l＜2b時(shí)，Pascal蝸線為無(wú)卷曲的內(nèi)凹曲線，如圖2b所示;

（3）當(dāng) l=b時(shí)，Pascal蝸線為心臟曲線，如圖2c所示;

（4）當(dāng)l＜b時(shí)，Pascal蝸線為有卷曲的內(nèi)凹曲線，如圖2d所示。

2 巴斯噶蝸線型齒輪的節(jié)曲線

2．1 巴斯噶蝸線型齒輪副的節(jié)曲線方程

對(duì)外嚙合傳動(dòng)的非圓齒輪副，若主動(dòng)輪1的節(jié)曲線是一巴斯噶蝸線，則該節(jié)曲線方程為［1］

根據(jù)微分幾何，它上面各點(diǎn)的曲率半徑計(jì)算公式為

設(shè)與其共軛的從動(dòng)輪2的階數(shù)為n2，則齒輪2節(jié)曲線封閉的條件為

此時(shí)齒輪副的中心距a為

則從動(dòng)輪2的節(jié)曲線方程為

外嚙合齒輪副的傳動(dòng)比為

主動(dòng)輪1的節(jié)曲線弧長(zhǎng)為

為方便計(jì)算，令 L=l+b，Sa=l－ b，k=Sa/L。L稱(chēng)為長(zhǎng)軸，Sa稱(chēng)為短軸，k為長(zhǎng)短軸比率。則l=（L+Sa）/2，b=（L－Sa）/2。將其轉(zhuǎn)換在直角坐標(biāo)系中，計(jì)算弧長(zhǎng)，可得

另外，根據(jù)節(jié)曲線的封閉性和輪齒在節(jié)曲線上的均布性，其弧長(zhǎng)還必須滿(mǎn)足條件［6－8］

因此，在設(shè)計(jì)這種齒輪時(shí)，當(dāng)主動(dòng)輪齒數(shù)z1、模數(shù)m、長(zhǎng)短軸比率k確定后，就可以根據(jù)式（8）和（9）求解出L的值，得出其主動(dòng)輪節(jié)曲線方程。然后由式（5）得出從動(dòng)輪節(jié)曲線方程。

2．2 巴斯噶蝸線型齒輪的傳動(dòng)比

當(dāng) n2=1，k=0、0．2、1/3、2/3、1、1．5、2 時(shí)，由公式（5）和（6）計(jì)算并繪制蝸線齒輪副傳動(dòng)比曲線，如圖3所示。考慮到蝸線節(jié)曲線全凸的條件:k≥1/3。從圖中可以看出，在k=0時(shí)，蝸線是心臟線，其節(jié)曲線存在內(nèi)凹且有尖點(diǎn)，傳動(dòng)比曲線變化幅度較大;當(dāng)0＜k＜1時(shí)，傳動(dòng)比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變小，即Ai12和i12成反比;當(dāng)k=1時(shí)，蝸線節(jié)曲線變?yōu)閳A，傳動(dòng)比為一定值;當(dāng)k＞1時(shí)，傳動(dòng)比的幅度（Ai12）隨著k值的變大而變大，即Ai12和i12成正比。

當(dāng) k=2/3，n2=1、2、3、4、5 時(shí)，蝸線齒輪副的傳動(dòng)比函數(shù)曲線如圖4所示?？梢钥闯觯?dāng)k為定值時(shí)，傳動(dòng)比的幅度（Ai12）隨著n2值的變大而變小，即Ai12和i12成反比。

2．3 巴斯噶蝸線型齒輪的凸凹性

由第1節(jié)分析可知，對(duì)于這種類(lèi)型的齒輪，其節(jié)曲線的凸凹性和k值有關(guān)。當(dāng)k≥1/3時(shí)，該齒輪的節(jié)曲線全凸;特別的，當(dāng)k=1時(shí)，蝸線成為半徑為l的圓;當(dāng)0＜k＜1/3時(shí)存在內(nèi)凹但無(wú)卷曲;當(dāng)k=0時(shí)，蝸線成為心臟線;當(dāng)k＜0時(shí)，出現(xiàn)卷曲，這種情況無(wú)法滿(mǎn)足齒輪的傳動(dòng)要求。下面討論一下與其相嚙合的從動(dòng)輪的凸凹性。

為了計(jì)算方便，引入新的符號(hào)d。d稱(chēng)為相對(duì)中心距。

令ε為偏心率，則

由此可得

由文獻(xiàn)［3］可知，從動(dòng)輪的曲率半徑為

由于a＞r1，式（13）中分子總是正值，所以與蝸線齒輪嚙合的非圓齒輪2的節(jié)曲線上不出現(xiàn)內(nèi)凹部分的條件，是分母大于等于零，即

對(duì)式（14）求導(dǎo)可知，此式最小值是在θ1=0，r1=l+b時(shí)取得，將其代入式（14）得

由式（12）及（15）知，當(dāng) n2=1、2、3、4 時(shí)，k≥1/3就能保證與蝸線齒輪共軛的非圓齒輪節(jié)曲線為凸。

3 巴斯噶蝸線型齒輪的齒形設(shè)計(jì)

由于非圓齒輪的齒形隨著輪齒所處的節(jié)曲線位置不同而不同。因此，不論是用齒形法或用解析法來(lái)求齒形均較麻煩。為了作圖簡(jiǎn)便，可利用“折算齒形”來(lái)繪制［9］。如圖5所示，若非圓齒輪上A點(diǎn)是第一個(gè)輪齒的中點(diǎn)，該齒的對(duì)稱(chēng)軸與A點(diǎn)節(jié)曲線的法線方向一致，則該齒的齒形近似于半徑為ρA（節(jié)曲線上A點(diǎn)的曲率半徑）的圓柱齒輪齒形，而該圓柱齒輪的齒數(shù)ZA稱(chēng)為“折算齒數(shù)”。

折算齒數(shù)按如下公式計(jì)算

其中，A點(diǎn)的曲率半徑即ρA為

同理可計(jì)算出B點(diǎn)以及其他等分點(diǎn)處的曲率半徑，并用與其相對(duì)應(yīng)的圓柱齒輪齒廓來(lái)代替該等分點(diǎn)處的齒廓。

4 巴斯噶蝸線型齒輪的CAM實(shí)例分析

為了驗(yàn)證上述研究?jī)?nèi)容的正確性，下面列舉實(shí)例對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪及其CAM技術(shù)進(jìn)行分析。設(shè)給定初始參數(shù):b=20 mm、l=34 mm、m=3 mm、z1=25、n1=1、n2=2。由于l≤2b，故主動(dòng)輪節(jié)曲線不是全凸的，存在一定的內(nèi)凹。其節(jié)曲線、齒頂線、齒根線如圖6所示。該齒輪各個(gè)等分點(diǎn)處的曲率半徑ρ和折算齒數(shù)ZA如表1所示。

表1 主動(dòng)輪齒形參數(shù)

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，利用CAXA軟件繪制出主動(dòng)輪的各個(gè)輪齒齒形，如圖7a所示;其三維仿真結(jié)果如圖7b所示。

同理，可以計(jì)算并繪制出與蝸線齒輪共軛嚙合的從動(dòng)輪，其中z2=54，齒輪副中心距a=110.031 mm，齒輪副嚙合狀態(tài)及齒形圖如圖8所示?？梢钥闯?，從動(dòng)輪也是一非圓齒輪。

5 結(jié)語(yǔ)

巴斯噶蝸線型齒輪是一種新型的非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有與傳統(tǒng)非圓齒輪（橢圓齒輪、偏心圓齒輪）不可替代的傳動(dòng)特性。本文根據(jù)非圓齒輪嚙合原理，通過(guò)對(duì)巴斯噶蝸線型齒輪節(jié)曲線的參數(shù)化設(shè)計(jì)、傳動(dòng)特性分析、齒形設(shè)計(jì)、CAM分析及加工仿真，系統(tǒng)研究了這類(lèi)齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術(shù)，驗(yàn)證了這類(lèi)齒輪傳動(dòng)的可行性及可加工性，為其實(shí)際應(yīng)用提供了較為系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

［1］劉永平，吳序堂，李鶴岐．常見(jiàn)的凸封閉節(jié)曲線非圓齒輪副設(shè)計(jì)［J］．農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2007，38（6）:143 －146．

［2］廖偉，趙勻，方明輝．巴斯噶蝸線齒輪在分插機(jī)構(gòu)上的應(yīng)用和參數(shù)優(yōu)化［J］．浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（3）:547 －550．

［3］任廷志，程愛(ài)明，景奉儒．蝸線齒輪及其共軛齒輪的幾何分析與仿真［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42（9）:71－77．

［4］BAIR B W．Computer aided design of non－standard elliptical gear drives［J］．Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，2002，216（4）:473－483．

［5］《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫(xiě)組．?dāng)?shù)學(xué)手冊(cè)［M］．北京:人民教育出版社，1979．

［6］吳序堂，王貴海．非圓齒輪及非勻速比傳動(dòng)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1997．

［7］TONG S H，YANG C H．Generation of identical noncircular pitch curves［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，1998，120（2）:337－341．

［8］BAIR B W．Computer aided design of elliptical gears［J］．Transactions of the ASME，Journal of Mechanical Design，2002，124（6）:787－793．

［9］LITVIN F L．Gear geometry and applied theory［M］．NJ:Prentice－Hall，1994．