謝 笛，吳學(xué)忠，蘇劍彬，陶 溢，周澤龍，李 浩

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長沙 410073)

杯形波動(dòng)陀螺是一種采用杯形諧振子的固體波動(dòng)陀螺，具有精度高、穩(wěn)定性好、啟動(dòng)快、工作溫度范圍大、線性過載不敏感、機(jī)械部件結(jié)構(gòu)簡單等突出特點(diǎn)。在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、輕小型飛機(jī)甚至于在衛(wèi)星以及航天飛機(jī)上都有極強(qiáng)的適用性，具有十分廣闊的應(yīng)用前景［1］。

杯形波動(dòng)陀螺是利用彈性波的慣性效應(yīng)來檢測外界輸入角速度［2］。美國Innalabs公司和英國Watson公司對這種高性能杯形陀螺都開展了大量研究［3－4］，由于種種原因卻只有很少研究成果公布。陀螺杯形諧振子采用超精密加工技術(shù)制造，高品質(zhì)因數(shù)的特性決定了較小的驅(qū)動(dòng)頻率偏差會(huì)大幅降低陀螺的檢測靈敏度，還會(huì)使諧振子產(chǎn)生正交振動(dòng)，引起陀螺輸出漂移(也稱為正交漂移)，從而大大降低陀螺性能。

正弦信號(hào)的產(chǎn)生方法多種多樣，比如迭代法，級(jí)數(shù)近似法，CORDIC算法等，而直接數(shù)字頻率合成法(DDS)又以精度高和數(shù)據(jù)運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于高精度頻率源設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，然而其結(jié)構(gòu)中的正弦查找表占用存儲(chǔ)空間較大是其主要的缺陷［5］，也限制了這種方法在陀螺測控系統(tǒng)這一類領(lǐng)域的應(yīng)用。此外，由于實(shí)際電路以及數(shù)據(jù)精度等非理想特性引入的噪聲和抖動(dòng)造成輸出頻率抖動(dòng)增加，降低了輸出頻率的穩(wěn)定度。

因此，首先針對直接數(shù)字頻率合成法存儲(chǔ)空間龐大的缺陷給出了一種差分壓縮算法，相對于現(xiàn)有的壓縮算法，如高低查找表等，差分壓縮算法計(jì)算簡單，適用于陀螺這類高實(shí)時(shí)性測控系統(tǒng)。其次重點(diǎn)針對設(shè)計(jì)的正弦頻率源頻率抖動(dòng)的問題，采用了一種新的基于統(tǒng)計(jì)域的理論對系統(tǒng)中主要抖動(dòng)源進(jìn)行分析和估計(jì)，衡量其對頻率源的影響，并分析了一種基于功率譜密度(PSD)的抖動(dòng)分離方法。國內(nèi)外的研究中關(guān)于DDS算法頻率穩(wěn)定度的優(yōu)化方法基本都是從DDS算法架構(gòu)這個(gè)角度去實(shí)現(xiàn)的，優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，硬件要求很高，軟件很難實(shí)現(xiàn)。因此從整個(gè)系統(tǒng)的角度對抖動(dòng)源進(jìn)行分析和優(yōu)化，這種新的角度避開了復(fù)雜算法架構(gòu)分析，大大降低了優(yōu)化的復(fù)雜度，同時(shí)也能有效的提高頻率源的頻率穩(wěn)定度。最后，通過時(shí)域和頻域的測試以及記錄的頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行漂移分析、求解阿倫方差等驗(yàn)證了這種新方法對頻率短期穩(wěn)定度的提高，最終的頻率源性能達(dá)到了杯形波動(dòng)陀螺的要求。

1 驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率穩(wěn)定度需求分析

杯形波動(dòng)陀螺也是利用了哥氏效應(yīng)和二維諧振子激勵(lì)受迫振動(dòng)的基本原理。首先給諧振子底面相互垂直的四個(gè)壓電激勵(lì)電極施加激勵(lì)電壓信號(hào)，從而導(dǎo)致電極振動(dòng)，振動(dòng)傳遞到諧振環(huán)，激勵(lì)出四節(jié)點(diǎn)駐波［6］，如圖1(a)所示。當(dāng)存在角速度輸入時(shí)，諧振子產(chǎn)生的駐波幅值與角速度大小呈正比關(guān)系，由壓電效應(yīng)經(jīng)過信號(hào)變換和處理即可得到輸入角速度。

圖1 杯形陀螺諧振子示意圖

為簡化分析陀螺性能與驅(qū)動(dòng)信號(hào)穩(wěn)定度的關(guān)系，這種解耦合陀螺模型往往可以描述成簡單的集中參數(shù)質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)［7］。由于陀螺結(jié)構(gòu)高度對稱，可近似認(rèn)為其檢測軸與驅(qū)動(dòng)軸特性參數(shù)完全一致。于是將陀螺模型表示為兩自由度理想二階線性常微分方程組:

式中m為諧振子等效質(zhì)量;x1，x2分別為對應(yīng)軸的位移。

利用壓電方程可推導(dǎo)出壓電電極在頻率ω，幅值為U的正弦電壓下沿其壓電電極長度方向驅(qū)動(dòng)力，可近似表示為:

式中k為和諧振子尺寸結(jié)構(gòu)相關(guān)的常數(shù);ε材料彈性系數(shù)，d31壓電常數(shù)。

由哥氏力計(jì)算公式得:fy=2mΩ×1，以及方程(1)和方程(2)可以解得檢測軸位移方程為:

其中:

其中Ω為外加角速度，ωn為陀螺諧振頻率，Q為陀螺的品質(zhì)因素。

可得陀螺儀機(jī)械靈敏度為:

假設(shè)陀螺諧振頻率為3 000 Hz，Q值為20 000，理論情況下S0=4×108，而不同穩(wěn)定度的驅(qū)動(dòng)信號(hào)對應(yīng)不同的機(jī)械靈敏度退化率η=1－S/S0，如圖2所示。

圖2 機(jī)械靈敏度與頻率穩(wěn)定度的關(guān)系曲線

由上圖知當(dāng)驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率穩(wěn)定度在5 mHz時(shí)，靈敏度降低了約1%。要充分發(fā)揮陀螺性能，驅(qū)動(dòng)頻率穩(wěn)定度至少要大于5 mHz，所以將頻率穩(wěn)定度設(shè)定在1 mHz，以充分發(fā)揮陀螺性能。

2 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)及優(yōu)化方法

DDS算法輸出信號(hào)的理想頻率為:fo=(N/2Lp)fr，其中fr為參考時(shí)鐘頻率，Lp為相位累加器位寬，N為頻率控制字;當(dāng)N=1時(shí)Δf=fr/2Lp則為理想DDS分辨率［8］，輸出信噪比表達(dá)式為［8］:S/N≈6.02k－3.92(dB)。

在基于Analog公司ADSP21364數(shù)字信號(hào)處理器構(gòu)建的杯形波動(dòng)陀螺測控平臺(tái)上，以軟件方式實(shí)現(xiàn)了30位相位累加器，14位相位截?cái)辔粩?shù)(即正弦查找表深度)的DDS算法。由于DDS算法的基本原理十分成熟，故不再贅述。

為克服傳統(tǒng)DDS算法的缺陷和優(yōu)化頻率穩(wěn)定度，接下來給出了查找表的壓縮算法，以及系統(tǒng)中頻率抖動(dòng)的分析和分離方法。

2.1 查找表壓縮算法

為了解決查找表(LUT)占用巨大的存儲(chǔ)空間的缺陷，下文給出了一種簡單清晰的差分壓縮算法。

將所需要存儲(chǔ)的四分之一周期的正弦值，采用一個(gè)函數(shù)D(P)來對其進(jìn)行分解，于是在差分算法中查找表只需存儲(chǔ)誤差項(xiàng)f(P)，從而減小了存儲(chǔ)占用的空間，如式(5):

最簡單的采用直線逼近即取D(P)=P，于是可以得到:

因此，由于存儲(chǔ)幅值的減小，查找表存儲(chǔ)可以減小2位深度，但是存儲(chǔ)空間的減小是以增加一次加法運(yùn)算為代價(jià)的。在正弦相位幅度轉(zhuǎn)換輸出時(shí)，則必須增加一次加法運(yùn)算，如式(7):

采用雙三角近似的差分算法，將增加兩次加法運(yùn)算，而正弦查找被壓縮了3位。例如取式(8)所示的差分項(xiàng)。

如果采用更高階的拋物線逼近［9］，可以為正弦查找表壓縮4位有效長度。不同方法在LUT中的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)情況如圖3所示。

圖3 不同逼近算法中查找表的存儲(chǔ)數(shù)據(jù)幅值

這種近似算法沒有復(fù)雜的計(jì)算，因此十分適合于運(yùn)用于DDS算法中。采用三段線性差分壓縮后，體積壓縮4位，查表體積有原來的128 kbyte，減小為4 kbyte。

2.2 頻率源抖動(dòng)估計(jì)與分離方法

由于電路的各種噪聲和非理想因素，帶來的時(shí)序抖動(dòng)和幅度抖動(dòng)，使得實(shí)際輸出的頻率穩(wěn)定度小于理想情況。因而需要對頻率源進(jìn)行一定的優(yōu)化以達(dá)到需要的性能指標(biāo)。

2.2.1 抖動(dòng)源的機(jī)理與建模

在實(shí)際的杯形陀螺測控系統(tǒng)中，多重周期性抖動(dòng)和多重高斯抖動(dòng)是造成輸出頻率穩(wěn)定度降低的主要原因，而這兩者又分屬于確定性抖動(dòng)和隨機(jī)抖動(dòng)［10］。多重周期性抖動(dòng)是由于頻率參考源精度有限，信道的非理想性，以及周期性調(diào)制等眾多因素引起，雖然原因復(fù)雜，但是其原理都相似。這里假設(shè)單周期性抖動(dòng)也是正弦型，那么N重周期性抖動(dòng)可以寫為:

其中Ai，ωi，φi分別為各周期性抖動(dòng)幅值，角頻率和初相位。

通過上式將所有周期性抖動(dòng)疊加后的時(shí)間Δt(t)對概率分布密度函數(shù)(PDF)進(jìn)行估計(jì):

式中Hist是建立在時(shí)間記錄Δt(t)基礎(chǔ)上的直方圖近似函數(shù)。

總周期性抖動(dòng)是依賴于眾多因素，很難得出其通用特征公式，但是可以假設(shè)每個(gè)周期性抖動(dòng)是獨(dú)立的，其幅度，頻率和相位有界分布［11］，通過蒙特卡羅仿真分析可以研究多周期抖動(dòng)特征。仿真結(jié)果如圖 4 所示［12］。

圖4 不同數(shù)目的周期抖動(dòng)源總概率分布

多重周期性抖動(dòng)的頻譜是單周期抖動(dòng)頻譜線性疊加，所以理論上其頻譜線對應(yīng)多個(gè)抖動(dòng)源。

多重高斯抖動(dòng)通常對應(yīng)于電路熱噪聲，閃爍噪聲以及散彈噪聲以及一些高階噪聲共同作用［13］。而單高斯抖動(dòng)可以描述為:

多高斯抖動(dòng)是一系列高斯抖動(dòng)源作用的疊加，由于高斯抖動(dòng)的功率譜密度(PSD)與白噪聲功率譜密度近似［14］，為分析計(jì)算方便，可以采用白噪聲的功率譜來代替高斯噪聲的功率譜:

采用模擬高斯抖動(dòng)源，運(yùn)用蒙特卡羅方法進(jìn)行時(shí)域記錄，并采用傅里葉變換獲得其PSD估計(jì)，最后獲得其統(tǒng)計(jì)域的PDF，如圖5所示，通過數(shù)值仿真進(jìn)而說明了高斯抖動(dòng)的時(shí)域，頻域以及統(tǒng)計(jì)域PDF之間的關(guān)系［12］。這些抖動(dòng)分量的PDF模型，是進(jìn)行抖動(dòng)分離與分析的基礎(chǔ)和基本單元。

圖5 同一高斯抖動(dòng)源，在106采樣條件下

2.2.2 基于PSD的抖動(dòng)分離方法

上節(jié)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)信號(hào)和線性系統(tǒng)理論定量討論了系統(tǒng)中的抖動(dòng)分量，針對多重周期性抖動(dòng)和多重高斯抖動(dòng)兩個(gè)導(dǎo)致頻率抖動(dòng)的主要原因，假設(shè)其他非理想條件下產(chǎn)生的抖動(dòng)和噪聲被忽略，進(jìn)而簡化周期抖動(dòng)與高斯抖動(dòng)的分離。

基于PSD函數(shù)，滿足如下條件的譜線都會(huì)被識(shí)別為周期性抖動(dòng)［12］:

其中fl表示第l個(gè)周期抖動(dòng)峰的頻率，N為門限量級(jí)，一般N≥3，可保證99.97%以上的置信度，σPSD是PSD的均方根。

這樣可以分離出很多周期性抖動(dòng)源，但是PSD中沒有相位信息，需要對周期性抖動(dòng)的相位進(jìn)行假設(shè)。由于大量的周期抖動(dòng)的存在，其相位一般服從于均勻分布［14］，通過下式建立總的周期抖動(dòng)的PDF:

其中ΔtPJ_l，φl表示第l個(gè)周期抖動(dòng)峰的峰值和相位。

所有被識(shí)別的周期抖動(dòng)移除之后，就得到了總的高斯抖動(dòng)的PSD，而在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，可以通過下式來估計(jì)多重高斯抖動(dòng)的均方根［15］:

這是一種可以在一定頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)高斯抖動(dòng)均方根值的方法，通過估計(jì)得到的均方根以及分離方法，可以得出不同抖動(dòng)源以及對頻率穩(wěn)定度的影響程度。基于PSD的分離方法，可以為整個(gè)陀螺測控系統(tǒng)中降低頻率穩(wěn)定度的抖動(dòng)源進(jìn)行修正提供準(zhǔn)確的指導(dǎo)，也為穩(wěn)定度指標(biāo)的設(shè)計(jì)提供了一種更準(zhǔn)確的方法。

3 測試

通過以上分析，在DDS正弦頻率源軟件實(shí)現(xiàn)代碼中，針對特定抖動(dòng)源進(jìn)行了簡單的修正優(yōu)化。掃頻測得陀螺諧振頻率為3 166.785 Hz。最后，對頻率源性能時(shí)域測試結(jié)果如6所示。

通過頻譜分析，可以得到優(yōu)化前后信噪比無明顯變化都約為80 dB，如圖7所示。

圖6 左圖：淺色：DDS結(jié)構(gòu)DAC輸出的階梯波信號(hào)，深色曲線實(shí)為正弦信號(hào)；右圖：上部和下部分別是Agilent示波器色彩等級(jí)模式和無限余輝模式觀測的正弦信號(hào)局部圖。

圖7 輸出信號(hào)頻譜

通過Agilent數(shù)字多用表3.5 h的測試，獲得優(yōu)化前后頻率數(shù)據(jù)分布如圖8所示，圖8(a)中由頻率計(jì)測得的數(shù)據(jù)有大量的數(shù)據(jù)點(diǎn)超過目標(biāo)頻率3 166.785 Hz～3 166.786 Hz，而圖8(b)中則明顯少于圖8(a)，由此定性可知優(yōu)化前后頻率穩(wěn)定度有明顯提高。

圖8 優(yōu)化前后頻率采樣記錄

對3.5 h內(nèi)記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值分析，得到了測試環(huán)境溫度曲線，頻率數(shù)據(jù)殘差和頻率漂移曲線，如圖9所示。圖9中溫度曲線顯示環(huán)境溫度在測試時(shí)間段內(nèi)非恒溫，但殘差曲線和頻漂曲線沒有出現(xiàn)與溫度變化相同的漂移趨勢，說明整個(gè)設(shè)計(jì)對小范圍溫度變化不敏感。

圖9 系統(tǒng)頻率漂移

對比采用修正算法前后頻率源的阿倫方差，可以得到采用修正算法后短期頻率穩(wěn)定度提高約20%，如圖10所示。

圖10 抖動(dòng)修正前后阿倫方差

隨著測量時(shí)間的延長，由于大量隨機(jī)變量的疊加，由中心極限定理可知，和變量最終將服從高斯分布。短期內(nèi)由于調(diào)頻閃爍噪聲使頻率源隨機(jī)起伏過程并不平穩(wěn)，短期內(nèi)它的概率分布隨時(shí)間的延續(xù)而改變的。因此頻率短期穩(wěn)定度用標(biāo)準(zhǔn)方差來表征就不準(zhǔn)確，國內(nèi)外常用阿倫方差代替。此外，對于采用修正后的頻率穩(wěn)定度的改變，在其他指標(biāo)上不易體現(xiàn)，而在阿倫方差中可以清楚的表現(xiàn)出來。

國內(nèi)外普遍采用每組取樣數(shù)N=2，取樣周期T等于取樣時(shí)間τ的阿倫方差作為短期穩(wěn)定度的定義［16］，也稱為無間歇阿倫方差，如式(23)所示:

深入對系統(tǒng)中抖動(dòng)源的研究和分析，采用更精確的分離方法能更有效提高頻率穩(wěn)定度，這是值得繼續(xù)深入的研究工作。

測試過程中應(yīng)用到的測試系統(tǒng)如圖11所示。其中Tek TDS2012示波器作為時(shí)域波形測試工具，Agilent 8104A是主要的頻域性能測試系統(tǒng)，Agilent 34410A是測量信號(hào)頻率和記錄頻率數(shù)據(jù)的主要工具，其記錄的數(shù)據(jù)為前面試驗(yàn)測試中頻率穩(wěn)定度的定性分析和定量計(jì)算提供了依據(jù)。

圖11 正弦頻率源性能測試系統(tǒng)組合照片

4 結(jié)論

首先以DDS算法為基礎(chǔ)產(chǎn)生了杯形波動(dòng)陀螺的正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

(1)對于杯形波動(dòng)陀螺，理想情況下驅(qū)動(dòng)信號(hào)穩(wěn)定度越高越有利于發(fā)揮其性能，根據(jù)性能需求將頻率穩(wěn)定度設(shè)定在1 mHz。

(2)采用差分壓縮算法減小了4位查找表存儲(chǔ)空間，一定程度彌補(bǔ)了DDS算法的缺陷。

(3)對于周期抖動(dòng)和高斯抖動(dòng)為主的頻率源，采用PSD分離算法，可以估計(jì)出二者各自對頻率穩(wěn)定度的影響。通過簡單的修正，對頻率短期穩(wěn)定度有20%的提高，頻率穩(wěn)定度優(yōu)于1 mHz。

(4)該方法適用于杯形陀螺驅(qū)動(dòng)信號(hào)的分析和設(shè)計(jì)，也為其他類似的高Q值振動(dòng)陀螺驅(qū)動(dòng)信號(hào)分析和設(shè)計(jì)提供了參考。

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