康東升,楊 芬,沈小鳳

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢430074)

則當(dāng)n充分大時(shí),

因此{(lán)(un,vn)}在H×H中有界,則{(un,vn)}有子序列,我們?nèi)杂洖閧(un,vn)}.而對(duì)于子序列{(un,vn)},存在(u,v)∈H×H使得:

并重復(fù)上面

(ii)2＜q＜ 2＊.

對(duì)任意(u,v)∈H×H{(0,0)},由Hardy不等式,Sobolev 不等式和Sα,β(0)的定義得:

帶有臨界Sobolev指數(shù)的橢圓方程組的解

康東升,楊 芬,沈小鳳

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢430074)

研究了一類帶有臨界Sobolev指數(shù)和Hardy項(xiàng)的橢圓方程組,運(yùn)用變分方法,證明了在一定條件下橢圓方程組非負(fù)解的存在性.

橢圓方程組;臨界指數(shù);Hardy不等式;非負(fù)解;變分方法

1 問(wèn)題的引入

其中Ω?RN(N≥3)是包含原點(diǎn)的有界光滑區(qū)域,是最佳Hardy常數(shù),是臨界Sobolev 指數(shù),關(guān)于范數(shù)的完備化空間.我們?cè)诳臻g中研究問(wèn)題(1),其能量泛函為:

那么J∈C1(H×H,R),其對(duì)偶積為:

其中u,v,Φ,?∈H,J′(u,v)是J在點(diǎn)(u,v)處的Fréchet導(dǎo)數(shù).稱(u,v)∈H×H為方程組(1)的解,如果對(duì)任意 (Φ,?)∈H×H,(u,v)≠(0,0),有〈J′(u,v),(Φ,?)〉=0.

求橢圓問(wèn)題(1)的解等價(jià)于求J的非零臨界點(diǎn).由橢圓的正則性理論知:

方程組(1)與下面著名的Hardy不等式[1,2]相關(guān):

并且還可以定義下面的最佳Sobolev常數(shù):

其中D1,2(RN)是關(guān)于范數(shù)

的完備化空間.假設(shè)0≤t＜則S(t)的達(dá)到函數(shù)[4]為:其中Ut(x)是徑向?qū)ΨQ函數(shù):

在全文中,我們假設(shè):

由(H2)可知,存在常數(shù)a0,b0,0＜a0＜b0＜+∞,使得:本文的主要結(jié)果為定理1.

定理1假設(shè)(H1),(H2)成立,如果下面兩個(gè)條件之一成立:

則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)非負(fù)解.

2 相關(guān)的引理

對(duì)任意α,β＞ 1,α+ β=2＊,定義:

這里τmin≥0 是f(τ)的最小值點(diǎn).

引理1[5]假設(shè)(H1),則對(duì)于任意t∈[0,),等式Sα,β(t)=f(τmin)S(t)成立.

引理2假設(shè)(H1),(H2),則泛函J對(duì)任意的滿足(PS)c條件.

證明設(shè){(un,vn)}?H×H滿足J(un,vn)→c＜c＊,J′(un,vn)→0. 則當(dāng)n→∞時(shí),2J(un,vn)-〈J′(un,vn),(un,vn)〉≤C+(‖un‖+ ‖vn‖)o(1).而由(2)式和(3)式得:

則當(dāng)n充分大時(shí),

因此{(lán)(un,vn)}在H×H中有界,則{(un,vn)}有子序列,我們?nèi)杂洖閧(un,vn)}.而對(duì)于子序列{(un,vn)},存在(u,v)∈H×H使得:

從而(u,v)是方程組(1)的一個(gè)解. 設(shè)則由(5)式可得:

類似于文獻(xiàn)[5]中引理2.1的證明,可以推出子序列{(un,vn)}在H×H中強(qiáng)收斂于(u,v).引理2證畢.

3 解的存在性

引理3在定理1的假設(shè)條件下,存在函數(shù)對(duì)使得:

證明假設(shè)如(4)式所定義,對(duì)任意∈＞ 0,令:

其中 Ψ(x)為截?cái)嗪瘮?shù):在x=0 的球鄰域中}.

當(dāng)∈→0時(shí)有下面的估計(jì)[6]:

不失一般性,假設(shè)λ≤μ.定義函數(shù):

注意到:

由(6)～ (10)式和引理1可得:

定理1 的證明

故存在常數(shù)ρ＞0使得:

由于對(duì)任意(u,v)∈H×H{(0,0)},當(dāng)s→∞時(shí),J(su,sv)→-∞,則存在s0＞ 0使得‖(s0u,s0v)‖H×H＞ ρ且J(s0u,s0v)＜ 0. 由山路引理[7,8]知,存在序列{(un,vn)}?H×H使得:

由引理2知序列{(un,vn)}存在一個(gè)子序列,仍記為{(un,vn)},使得(un,vn)→(u,v)在H×H中.因此,泛函J存在一個(gè)臨界點(diǎn)(u,v)滿足方程組(1),并且c就是其對(duì)應(yīng)的臨界值.

設(shè)u+=max{u,0},v+=max{v,0},將(2)式中的積 分 項(xiàng)的過(guò)程,則可得到方程組(1)的一個(gè)非負(fù)解(u,v).

并重復(fù)上面

(ii)2＜q＜ 2＊.

對(duì)任意(u,v)∈H×H{(0,0)},由Hardy不等式,Sobolev 不等式和Sα,β(0)的定義得:

故存在常數(shù)ρ＞0,使得對(duì)任意λ,μ＞0都有:

類似于情形(i)的討論,同樣可以得到方程組(1)的一個(gè)非負(fù)解(u,v).定理1證畢.

[1] CaffarelliL,Kohn R,N irenberg L.First order interpolation inequality w ith weights[J].Compos M ath,1984,53(3):259-275.

[2] Hardy G,L ittlewood J,Polya G.Inequalities[M].Combridge:Combridge U niversity Press,1988:239-243.

[3] Egnell H.Elliptic boundary value problem s w ith singular coefficients and critical nonlinearities[J].Indiana U nivM ath Pura Appl,1989,38(2):235-251.

[4] Terracini S.On positive solutions to a class of equations w ith a singular coefficient and critical exponent[J].A dv D ifferential Equations,1996,1(2):241-264.

[5] Huang Y,Kang D.On the singular elliptic system s involving multiple critical Sobolev exponents[J].Nonlinear A nal,2011,74(2):400-412.

[6] 康東升,黃 燕,劉 殊.一類擬線性橢圓問(wèn)題極值函數(shù)的漸進(jìn)估計(jì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,27(3):91-95.

[7] Brezis H,N irenberg H.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents[J].Comm Pure ApplM ath,1983,36(2):437-477.

[8] AmbrosettiA,Rabinow itz H.Dual variationalmethods in critical point theory and applications[J].J Funct A nal,1973,14(2):349-381.

Solutions to the Elliptic System s Involving Critical Sobolev Exponents

K ang D ongsheng,Yang Fen,S hen X iaof eng
(College ofM athematics and Statistics,South-CentralU niversity for N ationalities,W uhan 430074,China)

In this paper,a singular elliptic system is investigated,which involves the critical Sobolev exponents and Hardy-type term s.Employing the variationalmethods,the existence of nonnegative solutions to the system is proved.

elliptic system;critical exponent;Hardy inequality;nonnegative solution;variationalmethod

O 175.25

A

1672-4321(2011)01-0101-04

2011-01-11

康東升(1967-),男,教授,博士,研究方向:偏微分方程,E-mail:dongshengkang@yahoo.com.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10771219)