楊紅梅 張自武 馬園媛 孫 隆

(1，2 ，3 .昌吉學院數(shù)學系 新疆 昌吉 831100；4.西南大學經(jīng)濟管理學院 重慶 400715)

半無限規(guī)劃問題最早出現(xiàn)于20世紀60年代，其早期理論主要由Charnes等人創(chuàng)立。Kortank、Lopez和Polak等人在這方面也作了大量工作。作為數(shù)學規(guī)劃的一個重要分支，其研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃的一個重要研究方向。它不僅在經(jīng)濟領(lǐng)域、最優(yōu)控制、信息技術(shù)及計算機網(wǎng)絡(luò)，而且在工程技術(shù)、機器人路徑設(shè)計等方面都有廣泛而直接的應(yīng)用。而半無限極大極小問題是一類重要的半無限規(guī)劃問題，因此研究半無限極大極小問題有重要的現(xiàn)實意義。

引言

考慮帶線性等式約束的半無限極大極小問題，其一般形式為

其中ψi(x)(i∈I)是連續(xù)可微的凸函數(shù)，x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn，I為無限集，A∈Rm×n(m≤n),b∈Rm。

在該問題中，可以看出它的約束條件的個數(shù)是無限的，在求解方面存在一定難度，所以有必要尋找求解它的新方法。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有高速并行計算能力，能夠硬件實現(xiàn)，因此它是實時求解高維的復雜的最優(yōu)化問題的一條非常有效的途徑。此外神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、有效性和全局收斂性等方面都比傳統(tǒng)優(yōu)化方法更優(yōu)越。近幾年來，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解最優(yōu)化問題，已經(jīng)有了很多的運用，而且它們的計算效果都很好[1-6]。根據(jù)上述考慮，為實時并行求解問題(1),本文根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造了求解它的一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，嚴格說明了該模型是Lyapunov穩(wěn)定的，并收斂于問題(1)的精確解。為敘述方便， 標記e=(1,0,0,...,0)∈Rn。

定義 若神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所對應(yīng)的動力系統(tǒng)分別是Lyapunov穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定時，則稱該網(wǎng)絡(luò)分別是Lyapunov穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的。

定理1(射影定理)[7]設(shè)v∈Rn為一個閉凸集，F(xiàn)是從Rn到自身的一個單調(diào)算子，求一個向量u*∈v，使得

F(u*)T(u-u*)≥0, ?u∈v，VI(v,F)

那么，u*是VI(v,F)的解當且僅當u*是射影方程u=Pv(u-F(u))的解。

為求解問題(1),作如下假設(shè)：問題(1)存在有限解x*∈Rn。

1 構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

首先問題(1)等價于下面的非線性規(guī)劃問題

其中x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn。顯然問題(1)的最優(yōu)解的獲得可以通過求解問題(2)的最優(yōu)解。

在問題(2)中，其不等式約束條件的個數(shù)是無限多的。可以從文獻[8]中知：當所考慮問題是凸規(guī)劃時，可用問題(3)來逼近問題(2)，也就是通過求解問題(3)來獲得問題(2)的最優(yōu)解，即：

此外問題(3)有有限最優(yōu)解且滿足slater's條件[9]. Ω-ψi(x)在Rn上是連續(xù)可微凹函數(shù)，由凸規(guī)劃的Kuhn-Tucker條件可以得到下述結(jié)論：

定理2x*是(3)的最優(yōu)解，當且僅當存在λ*∈Rl，μ*∈Rm，使下式成立

證明：顯然問題(3)的拉格朗日函數(shù)為

L(x,λ,μ)=Ω-λT(Ω-ψi(x))-μT(Ax-b)

它是定義在C=Rn×Rl×Rm.

由于問題(3)是凸的，且滿足Slater條件，根據(jù)凸規(guī)劃KKT條件知：x*是問題(3)的最優(yōu)解，當且僅當存在λ*∈Rl,μ*∈Rm，使得(x*,λ*,μ*)是L(x,λ,μ)在C上的鞍點，即

L(x*,λ*,μ)≤L(x*,λ*,μ*)≤L(x,λ*,μ*)，?(x,λ,μ)∈C(5)

由(5)式左邊得：

(λ-λ*)(Ω-ψi(x))-(μ-μ*)(Ax*-b)≤0,?(λ,μ)∈Rl×Rm,

進而對?(λ,μ)∈Rl×Rm，有：

Ax*=b,λ*≥0,Ω-ψi(x)≥0,(λ*)T(Ω-ψi(x))=0.

再對?x∈Rn,且x≠x*，可知x*+t(x-x*)∈Rn,?t∈(0,1)，那么由(5)式右邊得

令t→0，并取極限，就有

(x-x*)TxL(x*,λ*,μ*)=(x-x*)T[e-(e-ψ'i(x*))Tλ*-ATμ*]≥0，?x∈Rn.

再結(jié)合定理1知：

定理3[10]x*是問題(3)的最優(yōu)解當且僅當存在λ*∈Rl，μ*∈Rm，使得

其中k>0是設(shè)計參數(shù)。

再根據(jù)定理3和 (7) 式可以得到動力系統(tǒng)(6)的解和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)的平衡點兩者之間的關(guān)系。

推論1 設(shè)C*={z∈Rn+l+m|z是系統(tǒng)(6)的解}，則z∈c*當且僅當z是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)的平衡點。

2 穩(wěn)定性分析

首先討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)初值問題解的存在惟一性，再給出它的穩(wěn)定性定理。類似于文獻[10]中的證明，可得出下述結(jié)論。

定理4[11]若e-ψi'(x)(i=1,2,...,l)在Rn上局部Lipschitz連續(xù)，則對任意的z0∈Rn+l+m，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)在[0,+∞)上存在惟一的以z0為初值的連續(xù)解z(t)(z(t0)=z0,?t≥t0)。

定理5[12]若e-ψi'(x)(i=1,2,...,l)在Rn上局部Lipschitz連續(xù)，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)是Lyapunov穩(wěn)定的。特別地，若C*={z*}，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(7)全局漸近穩(wěn)定。

參考文獻：

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