向少華, 鄧曉鵬, 施振剛, 文 偉

(懷化學(xué)院物理與信息工程系,湖南懷化 418008)

具有在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)色散關(guān)系

向少華, 鄧曉鵬, 施振剛, 文 偉

(懷化學(xué)院物理與信息工程系,湖南懷化 418008)

在簡(jiǎn)諧近似下,求解了具有在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.分析了在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)對(duì)晶格振動(dòng)鏈聲學(xué)支和光學(xué)支的影響.發(fā)現(xiàn)了在位勢(shì)的存在使晶格鏈產(chǎn)生能隙,并且隨在位勢(shì)的增大,晶格振動(dòng)頻譜發(fā)生移動(dòng);當(dāng)在一定的條件下,可使該晶格不存在聲學(xué)模;交錯(cuò)力常數(shù)之比也能提升晶格振動(dòng)頻譜,尤其是對(duì)光學(xué)支的影響更為顯著.

一維雙原子鏈; 在位勢(shì); 力常數(shù)

0 引 言

晶體由大量的原子(或離子)組成的,并且它們按照一定的方式排列,其主要表現(xiàn)是周期性,即長(zhǎng)程有序和對(duì)稱性1我們所說(shuō)的晶格是晶體中原子排列的具體形式,因此,原子占據(jù)晶格的格點(diǎn),且在格點(diǎn)附近作微小的振動(dòng)1晶格振動(dòng)理論不僅可以用來(lái)解釋固體的熱學(xué)性質(zhì),而且也是固體宏觀性質(zhì)和微觀性質(zhì)的重要理論基礎(chǔ),對(duì)晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì),超導(dǎo)電性、磁性和相變等許多物理性質(zhì)都有著重要的作用.

晶格振動(dòng)是晶體中諸原子實(shí)在作集體振動(dòng),振動(dòng)的傳播表現(xiàn)為晶格中的格波;一般而言,格波不是簡(jiǎn)諧的,但可以展成為正交歸一的簡(jiǎn)諧平面波的線性迭加.當(dāng)振動(dòng)微弱時(shí),格波可近似為簡(jiǎn)諧波.這時(shí),各格波之間的相互作用可以忽略,這就是格波所具有的獨(dú)立模式.晶格的周期性及平移對(duì)稱性使得其獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)模式是分立的.因此,我們可以用獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)來(lái)表述其格波對(duì)應(yīng)集合振動(dòng)的獨(dú)立模式,這就是聲子.它是一種集體激發(fā)的振動(dòng)形式,服從玻色統(tǒng)計(jì)分布.它既可以產(chǎn)生,也可以消滅.

在實(shí)際晶格中,原子之間不僅存在相互作用勢(shì)能,而且還存在與近鄰原子無(wú)關(guān)的在位勢(shì)[1,2].近年來(lái),在位勢(shì)對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響引起了人們濃厚的興趣和熱情.例如:2006年田強(qiáng)等人[2]研究了在位勢(shì)對(duì)于一維雙原子鏈晶格振動(dòng)長(zhǎng)聲學(xué)波的影響,表明:在位勢(shì)使色散關(guān)系聲頻支在布里淵區(qū)中心的振動(dòng)頻率不再為零,并且隨在位勢(shì)的增大而增大1對(duì)于原子之間相互作用勢(shì)不隨在位勢(shì)大小變化的情況下,晶格振動(dòng)的色散關(guān)系的頻隙隨在位勢(shì)的增大而變寬.2009年潘雪琴等人[3]研究了具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的低頻支長(zhǎng)波模振動(dòng)圖像,得到原胞中兩種原子運(yùn)動(dòng)的振幅不再一致,低頻支長(zhǎng)波模不再是原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),且兩種原子運(yùn)動(dòng)的振幅比隨在位勢(shì)的增大而單調(diào)增大.然而,同時(shí)具有在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系問(wèn)題目前被研究較少.為此,本文將對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)研究,推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程和分析在位勢(shì)和力常數(shù)等參數(shù)對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響.

1 晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)理論

式中,α,α′=x,y,z;v,v′=1,2,…,nb;n=1,2,…,N1在式(1)中不包含位移矢量的線性項(xiàng),這是因?yàn)樵谄轿恢酶浇?靜態(tài)晶格能對(duì)位移矢量的一階偏導(dǎo)為零,即5E0/ 5unvα=01相鄰原子相互作用力常數(shù)定義為平衡位置處?kù)o態(tài)晶格能對(duì)位移矢量的二階偏導(dǎo),即

由力常數(shù)Dnvα,n′v′α′組成的矩陣D應(yīng)為實(shí)數(shù)和具有對(duì)稱性,即

進(jìn)而可得求和規(guī)則

2 一維雙原子鏈晶格振動(dòng)模型和色散關(guān)系

質(zhì)量分別為m和M,相鄰原子之間的平衡距離為a的一維雙原子鏈中,假設(shè)最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)等于κ1和κ21以u(píng)2n表示第2n個(gè)原子離開(kāi)平衡位置2na的位移,以u(píng)2n+1表示第2n+1個(gè)原子離開(kāi)平衡位置= 2(n+1)a的位移,如圖1所示.

圖1 一維雙原子鏈模型

在簡(jiǎn)諧近似下,具有在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)哈密頓量為

其中η是在位勢(shì)能的力常數(shù)1相應(yīng)的晶格振動(dòng)方程為:

根據(jù)第一節(jié)的相關(guān)知識(shí),線性齊次方程組(12)有行波解:

代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(12),得到:這是關(guān)于A和B的線性齊次方程組1A與B有非零解的條件是系數(shù)行列式(9)為零,進(jìn)而可得晶格振動(dòng)的色散關(guān)系是

式中h=κ1+κ2+η.由此可以看出,當(dāng)κ1=κ2,則式(15)回歸到文獻(xiàn)[3]的色散關(guān)系;若兩個(gè)原子完全等同,則式(15)就是一維單原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.另外,根據(jù)式(15),不難看出,色散關(guān)系有兩支,分別稱為高頻支和低頻支;若無(wú)在位勢(shì),這兩支就是固體物理學(xué)中提到的光學(xué)波和聲學(xué)波1因此,在位勢(shì)的存在影響著晶格振動(dòng)的色散關(guān)系,進(jìn)而影響著晶格的物理特性.下面分多種情況討論具有在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.

3 一維雙原子晶格振動(dòng)色散關(guān)系

在晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究中,通常選取波矢在簡(jiǎn)約布里淵區(qū),因此下面僅考慮在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的色散關(guān)系圖,其它布里淵區(qū)的情況可通過(guò)對(duì)稱平移而得到1此外,我們?cè)谧鲌D的過(guò)程中選取兩個(gè)原子的質(zhì)量之比是M/m=4和圖注的簡(jiǎn)潔,已假定,這一處理對(duì)所獲得的結(jié)果沒(méi)有影響1圖2中我們考慮不同力常數(shù)和在位勢(shì)對(duì)一維雙原子鏈晶格振動(dòng)色散關(guān)系中聲學(xué)支的影響,并選取參數(shù)η / κ1=015,而圖3考慮一維雙原子鏈晶格振動(dòng)色散關(guān)系光學(xué)支在不同強(qiáng)度力常數(shù)和在位勢(shì)下的變化規(guī)律,這里我們已假定κ2/ κ1=21

圖2 力常數(shù)和在位勢(shì)對(duì)一維雙原子鏈聲學(xué)支的影響

圖3 力常數(shù)和在位勢(shì)對(duì)一維雙原子鏈光學(xué)支的影響

從圖2和圖3可以看出,兩個(gè)力常數(shù)之比和在位勢(shì)顯著地影響著晶格振動(dòng)的色散關(guān)系,使色散關(guān)系ω(q)各處均有不同程度的升高1現(xiàn)在著重考察布里淵區(qū)底部和頂部的色散關(guān)系,即q=0和q=' /2a的情況1根據(jù)式(15),不難得到晶格振動(dòng)聲頻支底為

由此可以看出,若晶格中無(wú)在位勢(shì),無(wú)論兩個(gè)原子的質(zhì)量和力常數(shù)之比如何變化,聲學(xué)波的長(zhǎng)波極限為ω2-(q→0)→0;但當(dāng)晶格中有在位勢(shì)時(shí),則ω-(0)≠0,在此出現(xiàn)了頻隙,這是有在位勢(shì)時(shí)色散關(guān)系的一個(gè)顯著標(biāo)志,并且隨著在位勢(shì)和力常數(shù)之比的增大而ω-(0)呈非線性增加1對(duì)于晶格振動(dòng)聲頻支頂有

由此可以看出,它不僅與兩個(gè)原子的質(zhì)量和力常數(shù)之比有關(guān),而且也與在位勢(shì)有關(guān).當(dāng)力常數(shù)之比(κ2/ κ1)增大時(shí),聲頻支頂?shù)淖畲笾党史蔷€性增加,而當(dāng)κ2=0,κ1→∞,此時(shí)晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為一條平坦的直線1也即原子鏈可視為一系列孤立的原子對(duì)組成,只有當(dāng)這些孤立的原子對(duì)之間有相互作用時(shí),它們就有可能形成力常數(shù)交錯(cuò)的原子鏈,互相耦合在一起的原子振動(dòng)便形成了格波.當(dāng)在位勢(shì)變化時(shí),聲頻支頂?shù)淖畲笾惦S它的增加而呈線性的增加.

對(duì)于晶格振動(dòng)的光學(xué)支,我們考察它的布里淵區(qū)底和頂.在它的長(zhǎng)波極限下,有

由此可以看出,光頻支頂ω+(0)因在位勢(shì)的存在而顯著地升高;而力常數(shù)之比對(duì)它變化規(guī)律影響是:當(dāng)κ2/ κ1增大時(shí),光頻支頂ω+(0)增大,反之,κ2/ κ1趨近于零,ω+(0)將趨近于一常數(shù).在布里淵區(qū)的邊界(q=2' /a),格波頻率為

這表明在位勢(shì)的存在使晶格振動(dòng)頻隙變寬,同時(shí),由圖3也不難看出,對(duì)于光學(xué)支,其最大值與最小值隨力常數(shù)之比和在位勢(shì)的增加而呈線性的變化.

最后,我們考察整個(gè)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的色散關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn),在位勢(shì)的存在時(shí),晶格振動(dòng)的色散關(guān)系跟布里淵區(qū)底與頂?shù)淖兓?guī)律相同,即,力常數(shù)之比使聲學(xué)模頻率呈非線性地增加,而在位勢(shì)使聲學(xué)支最小值呈線性增加,最大值呈線性變化;而對(duì)于光學(xué)支,它們使光學(xué)支頻率的最值呈線性變化.

4 結(jié) 論

在《固體物理學(xué)》原子晶格振動(dòng)的教學(xué)中,我們一般不考慮在位勢(shì)對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響,然而當(dāng)原子鏈處于一定的介質(zhì)環(huán)境中,原子鏈不僅存在原子之間的相互作用勢(shì)能,還具有與鄰近原子無(wú)關(guān)的在位勢(shì)1另外,由于原子點(diǎn)陣的不同,原子之間耦合強(qiáng)度也不同1本文研究了簡(jiǎn)諧近似下,力常數(shù)交錯(cuò)和具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,得到并分析了在位勢(shì)和力常數(shù)交錯(cuò)等因素對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響1發(fā)現(xiàn):(1)具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系,在q→0時(shí)出現(xiàn)了能隙,這個(gè)能隙隨著在位勢(shì)強(qiáng)度的增大而增大; (2)原子之間相互作用勢(shì)的變化,不會(huì)對(duì)q→0處的能隙產(chǎn)生影響,但當(dāng)存在在位勢(shì)時(shí),卻能顯著地影響晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.

[1]G orbach A V,Johansson M.Discrete gap breathers in a diatomic K lein-G ordon chain:stability and mocility[J].Phys Rev E,2003, 67:066 608.

[2]田強(qiáng),洪馥男.具有在位勢(shì)的一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系[J].大學(xué)物理,2006,25(4):17-19.

[3]潘學(xué)琴,劉炳燦,田強(qiáng).在位勢(shì)對(duì)于一維雙原子鏈晶格振動(dòng)長(zhǎng)聲學(xué)波的影響[J].大學(xué)物理,2009,28(5):11-13.

Abstract:Using the harmonic approximation method,the motion equation of one-dimension diatomic chain with on-site potential and force constant cross is solved and the influences of on-site potential andforce constant cross on its dispersion relation are discussed.It has showed that the on-site potential induces the energy gap of one-dimension diatomic chain.When on-site potential increases,the lattice vibration spectra are shifted.No acoustic branches are allowed in the one-dimension diatomic chain under given conditions.The force constant cross is contributed to the shift of the lattice vibration spectra,especially for optical branches.

Key words:one-dimension diatomic chain; on-site potential; force constant crosses

Dispersion Relations of One-dimension Diatomic Chain with On-site Potential and Force Constant Crosses

XIANG Shao-hua, DENG Xiao-peng, SHI Zhen-gang, WEN Wei
(Department of Physics and Information Engineering,Huaihua University,Huaihua,Hunan 418008)

O472

A

1671-9743(2011)02-0033-04

2011-01-11

向少華(1972-),男,湖南麻陽(yáng)人,懷化學(xué)院副教授,博士,主要研究量子信息和物理教學(xué)1