錢 莉

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

有限維歐氏空間上線性映射的廣義逆＊

錢 莉

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000)

線性映射和廣義逆是高等代數(shù)很重要的研究對(duì)象.線性變換的廣義逆被普遍研究,而線性映射的廣義逆性質(zhì)研究地很少.應(yīng)用共軛映射的性質(zhì),給出了歐式空間商線性映射的廣義逆的定義,并研究它的若干性質(zhì)。這些性質(zhì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有一定的幫助作用.

線性映射;廣義逆;歐氏空間

MSC 2000:17B40

線性變換的廣義逆矩陣是一種非常有用的數(shù)學(xué)工具,它在線性代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微分方程、泛函分析、物理學(xué)、測(cè)量學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用,而且在實(shí)際的應(yīng)用中線性映射比線性變換更廣泛.根據(jù)矩陣與映射的相關(guān)性,我們也可探究線性映射的共軛與廣義逆,以便更好地學(xué)習(xí)線性映射的運(yùn)算.本文利用線性變換的共軛變換與廣義逆理論,給出歐氏空間線性映射共軛與廣義逆的定義,并研究其相關(guān)性質(zhì).

1 線性映射的共軛

定義1[1]V是n維歐氏空間,W是m維歐氏空間,如果存在映射V→W的映射σ,使得它滿足以下條件:

(1) 對(duì) V 中任何向量α和β,σ(α+β)=σ(α)+σ(β);

(2) 對(duì)任何數(shù) k,σ(kα)=kσ(α),則稱σ是線性映射.

定義2[2]A為實(shí)m×n階矩陣,若存在n×m階實(shí)矩陣B使得:①AB為實(shí)對(duì)稱陣;②BA為實(shí)對(duì)稱陣;③ABA=A;④BAB=B,則稱B為A的廣義逆矩陣.

下面給出線性映射的共軛映射的定義.

定義3 設(shè)σ是V→W的線性映射,如果存在W →V的線性映射σ＊,使得

?α∈V,β∈W.則稱σ＊為σ的共軛映射,顯然當(dāng)V=W 且σ＊=σ時(shí),σ就是對(duì)稱變換.

給定一個(gè)線性映射,它的共軛映射是存在且唯一的.

命題1 設(shè)σ是V →W的線性映射,存在W →V的線性映射σ＊,使得

且σ＊唯一.

證明 存在性:設(shè) f是V →R的任何一個(gè)線性函數(shù),則存在唯一的 v∈V,使得

事實(shí)上 ,在 V 中取{ε1,ε2,…,εn} 是標(biāo)準(zhǔn)正交基 ,取 v=f(ε1)ε1+ …+f(εn)εn,則有(α,v)=k1f(ε1)+…+knf(εn)=f(k1ε1)+…+f(knεn)=f(α).現(xiàn)在構(gòu)造σ＊∶?β∈W,定義

則根據(jù)前面敘述,存在唯一的 v∈V,使得

定義σ＊∶V →W,σ＊(β)=v,所以

故σ＊存在.

命題2 設(shè)σ是V →W 的線性映射,則有(σ＊)＊=σ.

證明 由命題1,得到存在W →V的線性映射σ＊,使得

又由于

根據(jù)共軛映射的定義,

所以由前面的論述,可以得到:

故由α,β的任意性得:

命題3 設(shè)σ是V →W 的線性映射,τ是W →V的線性映射,則有(στ)＊=τ＊σ＊.

證明 根據(jù)條件στ是W中的線性變換,由共軛映射的存在性,可知存在V→W的線性映射τ＊和W→V的線性映射σ＊,使得

同時(shí)τ＊σ＊是W 中的線性變換,所以有:

根據(jù)共軛變換的定義,可知τ＊σ＊是στ的共軛變換,即有:

2 線性映射的廣義逆

線性變換的廣義逆已經(jīng)被充分討論.在此基礎(chǔ)上,我們給出歐氏空間上線性映射廣義逆的定義,并初步討論其性質(zhì).

定義4 設(shè)V、W是兩個(gè)歐氏空間,σ是V →W的線性映射,τ是W →V的線性映射,如果有:①στ為實(shí)對(duì)稱變換;②τσ為實(shí)對(duì)稱變換;③στσ=σ;④τστ=τ,則稱τ為σ的廣義逆,記作τ=σ+.

命題4 σ是V →W的線性映射,若σ可逆,則它的廣義逆就是它的普通逆.

命題5 設(shè)σ是V→W的線性映射,若存在W →V的線性映射τ,且τ為σ的廣義逆,則τ=σ+是唯一的.

證明 設(shè)τ1、τ2都是σ的廣義逆,即τ1、τ2滿足定義中的 ①～ ④,則

因?yàn)棣?σ和τ2σ是對(duì)稱變換,所以

且στ2和στ1是對(duì)稱變換,所以

綜上所述τ=σ+是唯一的.

為了進(jìn)一步研究廣義逆的性質(zhì),我們需要下列引理:

引理1[3]設(shè) T是n維歐氏空間V的線性變換,T＊是V的共軛變換,則 T＊可逆的充分必要條件是T 可逆,且(T＊)-1=(T-1)＊.

引理2[3]設(shè)α1,…,αn是n維空間V的一基,V的線性變換 T可逆的充要條件是 Tα1,…,Tαn也是V的一組基.

命題6 V是n維線性空間,W是m維線性空間,若σ是V→W的線性單射,則σ＊σ是可逆的.

證明 由于線性映射的共軛映射存在且唯一,σ＊是W →V的線性映射,顯然σ＊σ是V上的線性變換,設(shè){ε1,…,εn}是 n維線性空間V中的標(biāo)準(zhǔn)正交基,令

根據(jù)共軛映射的定義,則有:

令 k1σ＊σε1+ …+knσ＊σεn=0,則(σα,σα)=(α,σ＊σα)=0,所以σα =0. 但由于σ是單射 ,所以α =k1ε1+…+knεn=0,所以k1=…=kn=0.即σ＊σε1,…,σ＊σεn線性無關(guān),是V的一組基,由引理2得,是σ＊σ可逆變換.

命題7 設(shè)σ:V →W 的線性單射,則τ=(σ＊σ)-1σ＊就是線性映射σ的廣義逆.

證明 由性質(zhì)3得(σ＊σ)-1有意義,根據(jù)條件有:

根據(jù)對(duì)稱變換的定義,單位變換是對(duì)稱變換,可知στ也是對(duì)稱變換.根據(jù)條件有:

所以τσ也是對(duì)稱變換.因?yàn)?/p>

故τ滿足線性映射廣義逆的四個(gè)條件,所以τ是線性映射σ的廣義逆.

推論1 設(shè)σ:V →W的線性單射,如果存在W →V的線性映射τ,且τ是線性映射σ的廣義逆,則τσ和στ是恒等變換.

證明 根據(jù)線性映射廣義逆的唯一性,如果存在線性映射σ的廣義逆τ,則必有τ=(σ＊σ)-1σ＊,故

所以τσ和στ是恒等變換.

命題8 設(shè)σ:V →W的線性映射,如果存在W →V的線性映射τ=σ+,則

證明 要證(σ+)＊是σ＊的廣義逆,則必須滿足線性映射的廣義逆的四個(gè)條件.

先證(σ+)＊σ＊,σ＊(σ+)＊是對(duì)稱變換.

因?yàn)榇嬖赪 →V的線性映射τ=σ+,(σ+)＊σ＊是V中的線性變換,又根據(jù)命題3可知:

易知(σ+)＊σ＊是σσ+的共軛變換,又由于σ+是σ的廣義逆,則σσ+是對(duì)稱變換,即

所以有:

故(σ+)＊σ＊也是對(duì)稱變換,同理可得σ＊(σ+)＊也是對(duì)稱變換.

再證(σ+)＊σ＊(σ+)＊=(σ+)＊,σ＊(σ+)＊σ＊=σ＊.根據(jù)命題 3 可知:

又因?yàn)?/p>

而σ+是σ的廣義逆,則

因此得:

同理可證

所以滿足線性映射的廣義逆的四個(gè)條件,則(σ+)＊是σ＊的廣義逆,即有:

與矩陣的廣義逆一樣,線性映射的廣義逆也應(yīng)該有著十分廣泛的應(yīng)用.

致謝:在此感謝湖州師范學(xué)院理學(xué)院劉東副教授對(duì)本文的指導(dǎo).

[1]王萼芳,石生明.高等代數(shù)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003:178.

[2]賈正華.廣義逆矩陣及其性質(zhì) [J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2005,7(3):38～39.

[3]楊子胥.高等代數(shù)精選題解 [M].北京:高等教育出版社,2008:103.

Abstract:Linearmapsand generalized inversesare very important objects in Higher A lgebra.Some p roperties of generalized inverses of linear translations are studied in many papers.However,there are few researches about generalized inversesof linearmaps.With the conjugation of matrices,we give the definition of the generalized inverse of a linear mapping in Euclidean Space and study its some p roperties.They can help for study and applications of matrix theories.

Key words:linear mapping;generalized inverse;Euclidean Space

MSC 2000:17B40

Generalized Inverse of L inear Mapping in Euclidean Space

Q IAN Li
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O152.5

A

1009-1734(2011)01-0054-04

2010-09-25;

2010-11-20

浙江省新世紀(jì)教改項(xiàng)目(yb07109,ZC09063);湖州師范學(xué)院教改重點(diǎn)項(xiàng)目(08JY006).

錢莉,湖州師范學(xué)院理學(xué)院2007級(jí)本科生,從事線性映射研究.