郭竹梅，高智中

(安徽科技學(xué)院 理學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100)

關(guān)于二元函數(shù)極限的討論

郭竹梅，高智中

(安徽科技學(xué)院 理學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100)

二元函數(shù)求極限是高數(shù)中的難點(diǎn)；本文給出7種求二元函數(shù)極限的方法，并進(jìn)一步給出極限一定不存在的3類二元函數(shù)．

二元函數(shù)；極限

極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，極限的思想方法在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限含義相同，它研究的是平面上動(dòng)點(diǎn)趨向某一定點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)．根據(jù)二元函數(shù)極限的定義，在點(diǎn)P0(x0,y0)的鄰域內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)的方式是任意的．因此，在判定二元函數(shù)極限是否存在以及極限的計(jì)算上都有一定難度．文獻(xiàn)[1]給出了一些求二元函數(shù)極限的方法，本文在完善求二元函數(shù)極限方法的同時(shí)，給出了極限一定不存在的3類二元函數(shù)．

1 二元函數(shù)極限的求法

1.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性

在例 7中，采用了代換x=rcosθ,y=rsinθ ．但實(shí)際上(x,y)→(0,0)與r→0并不等價(jià)．事實(shí)上(A是一常數(shù))表明動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿著任一與軸正向夾角為的半直線趨向(0,0)時(shí)，f(x,y)無(wú)限接近于常數(shù)A，但這并不能說明(x,y)以任意方式趨向(0,0)時(shí)，f(x,y)也無(wú)限接近于常數(shù)A，即并不能保證等價(jià)于當(dāng)r→0時(shí)，f(rcosθ ,rsinθ)在[0,2π]上一致收斂于常數(shù)A[3]．

眾所周知，要證明二元函數(shù)的極限不存在，只要指出當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以兩種特殊方式趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于2個(gè)不同的常數(shù)值；或者當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以一種特殊方式趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)不趨于常數(shù)即可．下面指出3種極限一定不存在的二元函數(shù)．

2 極限不存在的3類二元函數(shù)

文中給出了幾種常用的二元函數(shù)極限的求法，對(duì)于二元函數(shù)的極限還有利用二重積分的定義、洛必達(dá)法則、泰勒展開等方法[4-5]．對(duì)于具體題目要注意對(duì)上面幾種方法的綜合運(yùn)用．

[1] 郭俊杰.二元函數(shù)求極限的方法[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào),2006,8(1):15-16.

[2] 符興安.二元函數(shù)極限計(jì)算方法研究[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003,18(6):20-22.

[3] 殷乘元.二重極限的一致收斂判別法[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2003,6(1):34-38.

[4] 陶會(huì)強(qiáng),羅成廣.二元函數(shù)極限的計(jì)算方法[J].天中學(xué)刊,2009,24(2):3-5.

[5] 陳明.泰勒公式在判定二元函數(shù)極限存在性中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2004,24 (4):67-69.

Abstract:How to get the limit of bivariate function is a difficult point in advanced mathematics. Nowseven methods are provided in this article and three kindsof bivariate function are given, whose limits do not exist certainly.

Key words:bivariate function; limit

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲）

Discussionabout the Limit of Bivariate Function

GUO Zhu-mei, GAO Zhi-zhong

(Institute of Science, Anhui Science and Technology University, Fengyang, Anhui 233100, China)

O13

A

1673-2065(2010)04-0017-03

2010-08-29

安徽科技學(xué)院校級(jí)課題資助項(xiàng)目(ZRC2008194)

郭竹梅(1980-),女,安徽淮北人,安徽科技學(xué)院理學(xué)院教師,理學(xué)碩士;

高智中(1979-),男,山西神池人,安徽科技學(xué)院理學(xué)院教師,理學(xué)碩士.