王乙斐 ，李 新，王 穎，青海銀

（1.武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430079）

在射頻微波中，濾波器屬于無(wú)源器件，它可以讓有用信號(hào)盡可能無(wú)衰減的通過(guò)，讓無(wú)用信號(hào)盡可能大的衰減。對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)而言，切向電磁場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的歸一化等效電壓、歸一化等效電流之間的關(guān)系可用線性代數(shù)方程組來(lái)表示。線性方程組的系數(shù)即為網(wǎng)絡(luò)參量。在同一工作頻率下，網(wǎng)絡(luò)參量由網(wǎng)絡(luò)自身特性決定，與外界激勵(lì)源無(wú)關(guān)[1]。因此，任何一個(gè)微波不均勻結(jié)構(gòu)都是可以用適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)來(lái)等效的。實(shí)際工程上應(yīng)用的濾波器都是有損濾波器，因此對(duì)于這些濾波器還應(yīng)考慮通帶內(nèi)的插入衰減。通過(guò)對(duì)濾波器網(wǎng)絡(luò)參量的分析可以得到更為準(zhǔn)確的頻率響應(yīng)。

1 問(wèn)題引出

在進(jìn)行模擬濾波器的設(shè)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有些頗令人匪夷所思的現(xiàn)象。如圖1所示的9階巴特沃斯低通原型濾波器，查表得 到 如 下 參 數(shù) ：g1=0.347 3，g2=1.000，g3=1.532，g4=1.879，g5=2.000，g6=1.879，g7=1.532，g8=1.000，g9=0.347 3。

圖1 9階巴特沃斯低通原型濾波器電路Fig.1 Circuit of 9-order Butterworth low-pass prototype filter

在計(jì)算濾波器的響應(yīng)時(shí)，若簡(jiǎn)單地用負(fù)載兩端的電壓與輸入端電壓之比，即通常所說(shuō)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（ω）來(lái)計(jì)算，得到的幅頻特性如圖2所示。

從圖2中可以看到，用傳遞函數(shù)H（ω）得到的濾波器幅頻特性在歸一化頻率1處并不為-3 dB，這與巴特沃斯濾波器并不相符。而且在頻率1～1.2之間還有一個(gè)上突的尖峰，此時(shí)對(duì)應(yīng)負(fù)載電壓大于輸入電壓，而LC濾波網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，輸出功率肯定是小于輸入功率的，那上述現(xiàn)象又如何解釋？另外，上述響應(yīng)特性明顯是不平坦的，這也與巴特沃斯濾波器的另一稱呼最大平坦響應(yīng)濾波器格格不入。因此其間肯定存在一些與通?？捶ú灰粯又帲疚尼槍?duì)此問(wèn)題展開深入討論。

圖2 傳遞函數(shù)得到的濾波器幅頻特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristics showed by transfer function

2 網(wǎng)絡(luò)理論

在進(jìn)行射頻、微波電路設(shè)計(jì)時(shí)，節(jié)點(diǎn)電路理論已不再適用，需要引入分布參數(shù)電路分析方法。這時(shí)可采用復(fù)雜的場(chǎng)分析法，但更多地時(shí)候是采用微波網(wǎng)絡(luò)法來(lái)分析電路。對(duì)于微波網(wǎng)絡(luò)而言，最重要的參數(shù)就是S（散射）和A（轉(zhuǎn)移）參量[1]。

2.1 散射參量

散射參量是描述各端口入波和出波之間關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)參量，而入波和出波實(shí)際上是各端口的歸一化電壓入射波和歸一化電壓反射波。若定義進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)的波稱為“入波”，記為入射波a；從網(wǎng)絡(luò)中出來(lái)的波稱為“出波”，記為反射波b。入波與出波之間的關(guān)系是線性關(guān)系，可以用下列線性方程組來(lái)表示：

簡(jiǎn)寫為：[b]=[S][a]；

其中：[b]=[b1b2… bn]T，[a]=[a1a2… an]T分別為入波列矩陣和出波列矩陣。

其中：S11表示1口接信號(hào)源，2口接匹配負(fù)載時(shí)，1口的電壓反射系數(shù)；S21表示1口接信號(hào)源，2口接匹配負(fù)載時(shí)，1口到2口的電壓傳輸系數(shù)。

2.2 轉(zhuǎn)移參量

圖3所示為二端口網(wǎng)絡(luò)N，當(dāng)以輸出端口2上的歸一化等效電壓和歸一化等效電流I2為自變量，以輸入端口1上的為因變量時(shí)，可以寫出以下關(guān)系式：

寫成矩陣形式有：

圖3 典型二端口網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Typical two-port network

2.3 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

3 問(wèn)題探討

3.1 插入衰減法

將濾波器視為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，如圖4所示，引入微波網(wǎng)絡(luò)理論。

圖4 濾波器網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Filter network

其中，濾波器用散射參量[S]描述。網(wǎng)絡(luò)理論中有一個(gè)重要的工作特性參量叫插入衰減L，它定義為當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的輸出端口接匹配負(fù)載時(shí)，輸入端的入射波功率Pi與輸出端出射波功率（即負(fù)載吸收功率之比）PL之比，即

可見(jiàn)插入衰減與S21密切相關(guān)，一般也可以通過(guò)S21來(lái)得到插入衰減。但插入衰減的概念仍然大有用處，因?yàn)樗哂兄庇^的物理意義，而且目前濾波器的綜合方法就是基于“插入衰減法”[2-3]。圖5是利用S21得到的上述9階低通原型濾波器的幅頻特性。

從圖5可以看到，它符合最大平坦響應(yīng)特性，且在歸一化截止頻率處衰減3 dB，這正是標(biāo)準(zhǔn)的濾波器幅頻響應(yīng)特性。

圖5 由S21得到的濾波器幅頻特性Fig.5 Amplitude-frequency characteristics showed by S21

那么為何微波網(wǎng)絡(luò)濾波器的頻率特性不是用濾波器的傳遞函數(shù)來(lái)描述，卻用一個(gè)稱為插入衰減的量來(lái)描述？傳遞函數(shù)會(huì)有上突的尖峰，而插入衰減卻很好地符合我們對(duì)濾波特性的認(rèn)識(shí)和理解。

在圖4中，可以把濾波器和匹配負(fù)載視為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，其兩端口為端口1和端口2′，端口2′是終端開路的，可以用轉(zhuǎn)移參量[A]來(lái)描述。根據(jù)[A]的定義式（3），有：

首先，負(fù)載rL兩端的電壓應(yīng)該是一樣的，即：

（7）式中用到了a2=0的條件，這由圖4不難得到，因?yàn)樨?fù)載是匹配的，故不會(huì)有反射波。

比較圖6、圖2，兩者完全一致，這也進(jìn)一步論證了推導(dǎo)的正確性。

3.2 結(jié)果分析

圖6 由S21/（1+S11）得到的濾波器幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics showed by S21/（1+S11）

第二，負(fù)載端電壓大于輸入端電壓并不違反能量守恒定律。這是由于輸入阻抗與負(fù)載阻抗并不相同，若將兩者算出，可以得到輸入功率與負(fù)載功率（由電壓的平方除以阻抗然后取實(shí)部得到）是相等的。因?yàn)長(zhǎng)C濾波網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源無(wú)損網(wǎng)絡(luò)，輸入功率全部消耗在負(fù)載上。因此，負(fù)載端電壓大于輸入端電壓不僅不違反能量守恒定律，它恰恰是能量守恒的結(jié)果。

3.3 仿真驗(yàn)證

以射頻波段特征頻率2.4 GHz作為截止頻率，運(yùn)用ADS建模仿真[5-6]，網(wǎng)絡(luò)模型如圖7所示，仿真效果如圖8所示。

圖7 ADS仿真模型Fig.7 ADS simulation model

圖8 仿真效果圖Fig.8 Simulation results

4 結(jié) 論

在射頻微波網(wǎng)絡(luò)中，濾波器實(shí)際上就是一個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)，它完全滿足二端口網(wǎng)絡(luò)的特性。單純地運(yùn)用傳遞函數(shù)已經(jīng)不能正確的反映濾波器的頻率響應(yīng)特性，而運(yùn)用散射參量則可以準(zhǔn)確得到濾波器的頻率響應(yīng)。本文推導(dǎo)了傳遞函數(shù)和散射參量之間的函數(shù)關(guān)系，從而使得今后的濾波器設(shè)計(jì)和計(jì)算簡(jiǎn)單化、程序化。

[1]李曉蓉，陳章友，吳正嫻.微波技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[2]袁越智.高頻微波信號(hào)及其穩(wěn)定[M].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，1992.

[3]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)[M].2版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]Sanjit K.Mitra.數(shù)字信號(hào)處理——基于計(jì)算機(jī)的方法[M].3版.孫洪，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[5]黃玉蘭.射頻電路理論與設(shè)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2008.

[6]陳艷華，李朝暉，夏瑋.ADS應(yīng)用詳解/射頻電路設(shè)計(jì)與仿真[M].北京：人民郵電出版社，2008.