汪 博， 孫 偉， 太興宇， 聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110004)

主軸系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床的核心部件之一，其動(dòng)力學(xué)特性直接影響數(shù)控機(jī)床的加工精度、表面粗糙度和工作效率。因而圍繞主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的設(shè)計(jì)與分析受到了企業(yè)界及學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注［1]。

以高檔立式加工中心為例，其主軸系統(tǒng)通常包括主軸箱、電主軸、軸承、刀柄、刀具等。主軸系統(tǒng)中存在著主軸－軸承、主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面，而這些結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有著顯著的影響。目前，學(xué)者們圍繞主軸系統(tǒng)結(jié)合面建模、測(cè)試以及考慮結(jié)合面的振動(dòng)特性分析，做了大量的工作，且取得了很多成果。例如:文獻(xiàn)［2] 介紹了Li所建立的主軸－軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，該模型包含了一個(gè)綜合的軸承動(dòng)態(tài)模型、一個(gè)主軸動(dòng)態(tài)模型和一個(gè)熱模型，能很好地計(jì)算軸承的熱膨脹及其引起的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)［3] 基于Hertz接觸力模型，將主軸－滾動(dòng)軸承系統(tǒng)簡(jiǎn)化為六自由度系統(tǒng)，討論在非平衡力作用下，主軸－軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)［4] 采用Jones’軸承模型對(duì)主軸軸承進(jìn)行了建模與分析，利用有限元法對(duì)主軸系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，通過(guò)此模型可以預(yù)測(cè)軸承剛度、模態(tài)振型、頻響函數(shù)以及主軸各部分的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)［5] 利用彈性阻抗耦合理論建立主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)測(cè)試刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，反推出主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面的復(fù)剛度矩陣，辨識(shí)出了結(jié)合面的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

從以上研究可以看出，主軸系統(tǒng)結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有著顯著的影響，這已經(jīng)得到公認(rèn)。但是這些結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性究竟有何影響還未得到確認(rèn)。而獲得這個(gè)影響規(guī)律，對(duì)于主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)與性能預(yù)估都有著重要的意義。

本文主要采用有限元方法分析主軸系統(tǒng)各結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。以某立式加工中心主軸系統(tǒng)為對(duì)象，詳細(xì)描述了利用有限元法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，采用對(duì)比分析，研究了結(jié)合面特性對(duì)該主軸系統(tǒng)固有特性和刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的影響規(guī)律。本文研究也可為主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性及穩(wěn)定性預(yù)估提供參考。

1 主軸系統(tǒng)有限元建模

對(duì)主軸系統(tǒng)有限元建模，按選取單元的不同，可以分為兩種方法，分別是采用實(shí)體單元的建模法和采用簡(jiǎn)化單元(例如梁?jiǎn)卧凸軉卧?的建模方法。實(shí)體模型建模法，便于考慮主軸結(jié)合面的空間分布特性，得到了廣泛應(yīng)用，例如文獻(xiàn)［6] 。而簡(jiǎn)化模型具有分析方便、運(yùn)算快捷，而且還可以考慮復(fù)雜的剪切效應(yīng)，同樣也是重要的分析手段。這里考慮分析的方便性，利用簡(jiǎn)化模型對(duì)某立式加工中心主軸系統(tǒng)進(jìn)行有限元建模。

1.1 主軸有限元建模

某立式加工中心主軸系統(tǒng)如圖1所示。采用簡(jiǎn)化模型法時(shí)，可將主軸系統(tǒng)劃分成若干軸段，并假設(shè)主軸系統(tǒng)的質(zhì)量是均勻的。主軸系統(tǒng)幾何尺寸見(jiàn)表1所示。假設(shè)主軸、刀柄、刀具為同一材料，具體的材料參數(shù)為:楊氏模量 E=2.06 ×1011N/m，泊松比 μ =0.3，密度 ρ=7 800 kg/m3。

圖1 某立式加工中心主軸系統(tǒng)Fig.1 The spindle system of vertical machining center

本文利用ANSYS軟件進(jìn)行主軸系統(tǒng)的有限元建模，選用Pipe16管單元。Pipe16管單元是基于三維梁?jiǎn)卧?，根?jù)對(duì)稱(chēng)性和標(biāo)準(zhǔn)管幾何尺寸進(jìn)行簡(jiǎn)化，具有拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲性能，該單元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，沿節(jié)點(diǎn)X，Y，Z方向的平移和繞節(jié)點(diǎn)X，Y，Z軸的旋轉(zhuǎn)。同時(shí)賦予這些單元截面實(shí)常數(shù)，模擬主軸、刀柄、刀具各軸段的動(dòng)力學(xué)特性及結(jié)構(gòu)。

當(dāng)?shù)侗迦胫鬏S、刀具插入刀柄時(shí)，假設(shè)刀柄和刀具與主軸和刀柄結(jié)合的部分分別與主軸和刀柄剛性地連接在一起，構(gòu)成修正后的主軸系統(tǒng)。主軸、刀柄、刀具的尺寸也因此而改變。

表1 主軸系統(tǒng)幾何參數(shù)Tab.1 Geometrical parameter of spindle system

1.2 主軸系統(tǒng)結(jié)合面建模

在建立主軸、刀柄和刀具模型的同時(shí)，也要考慮對(duì)主軸－軸承、主軸 －刀柄、刀柄 －刀具結(jié)合面進(jìn)行處理。

對(duì)于電主軸的角接觸軸承，將其簡(jiǎn)化為彈性支承;假設(shè)軸承平動(dòng)剛度為定值，不隨軸承負(fù)載和轉(zhuǎn)速而變化，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為零。該主軸前后各兩個(gè)軸承支承的空間位置分布見(jiàn)表2。

表2 軸承在主軸系統(tǒng)中的空間位置分布Tab.2 Distribution of the bearing on spindle system

針對(duì)主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面，用彈簧阻尼單元來(lái)模擬修正后的主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性(包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng))。對(duì)照同類(lèi)主軸系統(tǒng)確定上述結(jié)合面的剛度，如表3所示。

表3 主軸系統(tǒng)結(jié)合面剛度Tab.3 Dynamical properties of the bearings and interfaces

選用MATRIX27單元模擬主軸系統(tǒng)結(jié)合面(軸承、主軸－刀柄、刀柄－刀具)的平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。MATRIX27單元連接2個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，該單元是12×12的矩陣，可表示為:

模擬結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，只需將矩陣中對(duì)應(yīng)元素賦以相應(yīng)的值，以主軸－刀柄結(jié)合面為例，其在Y，Z方向有平動(dòng)剛度，在繞Y，Z旋轉(zhuǎn)方向有轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，輸入實(shí)常數(shù)分別為:C13=C64=6×107，C19= －6×107，C24=C69=6 ×107，C30= －6 ×107，C43=C76=2 ×106，C49= －2 ×106，C51=C78=2 ×106，C57= －2×106。

綜上，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化處理的主軸系統(tǒng)，利用ANSYS軟件完成建模，共劃分91個(gè)單元，92個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖2所示，其中刀尖節(jié)點(diǎn)編號(hào)為88。

圖2 主軸系統(tǒng)有限元模型Fig.2 The finite element model of spindle system

2 主軸系統(tǒng)結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)固有特性的影響

目前對(duì)主軸系統(tǒng)固有特性的研究時(shí)，大多只考慮軸承結(jié)合面，而忽略了主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面的影響，但在實(shí)際的機(jī)床主軸系統(tǒng)中，主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響是客觀存在的。這里對(duì)比分析了僅考慮軸承結(jié)合面及考慮全部結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)固有特性的影響。

2.1 結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)固有特性的影響

在僅考慮主軸－軸承結(jié)合面情況下，假設(shè)主軸－刀柄、刀柄－刀具之間是剛性連接;而考慮全部結(jié)合面時(shí)，將主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面的平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度引入到系統(tǒng)模型中。將兩種情況下前8階固有頻率列于表4;對(duì)應(yīng)的僅考慮主軸－軸承結(jié)合面時(shí)的前四階振型見(jiàn)圖3;考慮全部結(jié)合面的前四階振型見(jiàn)圖4，其中前兩階為剛體振型，后兩階為彈性體振型。

表4 兩種情況下主軸系統(tǒng)前8階固有頻率(Hz)Tab.4 The first eight order inherent frequencies under two different situations(Hz)

圖3 僅考慮主軸－軸承結(jié)合面時(shí)主軸系統(tǒng)模態(tài)振型Fig.3 The modal shape of spindle system with only spindle-bearing interface

2.2 影響分析

通過(guò)對(duì)比固有頻率值及振型可以看出:

(1)主軸－軸承結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性?xún)H影響主軸系統(tǒng)剛體模態(tài)，不影響彈性模態(tài);

(2)主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)的彈性模態(tài)影響較為明顯;

圖4 考慮全部結(jié)合面時(shí)主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)振型Fig.4 The modal shape of spindle system with all interfaces

(3)主軸系統(tǒng)中考慮全部結(jié)合面的動(dòng)力學(xué)特性(包括平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)之后，主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)的固有頻率值明顯降低。

3 主軸系統(tǒng)結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響

3.1 刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的含義

主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)是指在一定的頻率范圍內(nèi)對(duì)主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)激勵(lì)，同時(shí)在刀尖點(diǎn)識(shí)振，通過(guò)兩者的比值獲得的頻響函數(shù)，又可以稱(chēng)之為刀尖點(diǎn)的原點(diǎn)頻響或直接頻響，其表達(dá)式對(duì)應(yīng)著頻響函數(shù)矩陣中的一個(gè)元素，可以表示為

由主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)可以得出系統(tǒng)的固有頻率、動(dòng)剛度(頻響函數(shù)的倒數(shù))以及對(duì)主軸系統(tǒng)穩(wěn)定性做出評(píng)價(jià)，因而，獲得主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)有著重要的意義。

用有限元法來(lái)求解主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)的具體思想是:通過(guò)諧響應(yīng)分析獲得刀尖點(diǎn)在指定力幅的正弦掃頻激勵(lì)下的諧響應(yīng)，用諧響應(yīng)幅值除以力幅即可獲得刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)流程如圖5所示。

3.2 結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響

同樣按兩種情況，即僅考慮主軸－軸承結(jié)合面和考慮全部結(jié)合面，用圖5所示的流程預(yù)測(cè)刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。

在刀尖點(diǎn)徑向(節(jié)點(diǎn)號(hào)88)施加大小為200 N，頻率范圍為1 Hz至6 000 Hz的諧波載荷，選用模態(tài)疊加法求解主軸系統(tǒng)的諧響應(yīng)。得到兩種情況下刀尖點(diǎn)在頻率1至6 000范圍內(nèi)的幅頻響應(yīng)X，見(jiàn)圖6。利用頻響函數(shù)的定義式，這里的激勵(lì)可以用圖7來(lái)描述，接著用獲得的幅頻響應(yīng)X除以激振力F，就可以獲得刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)，見(jiàn)圖8。

3.3 影響分析

從主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)的幅頻響應(yīng)圖(圖6)和刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)圖(圖8)中可以看出:

(1)主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)在低頻段(前2階，即主軸系統(tǒng)剛體模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率段為低頻段)的頻響函數(shù)主要受到主軸－軸承結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性的影響;

(2)主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)在高頻段(高于2階，即主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率段為高頻段)的頻響函數(shù)主要受到主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性的影響，而主軸－軸承結(jié)合部對(duì)高頻段的影響很小。

4 結(jié)論

主軸系統(tǒng)結(jié)合面是影響主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)鍵因素，分析結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，對(duì)研究主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性、優(yōu)化主軸系統(tǒng)抗振性能具有重要意義。本文采用有限元法對(duì)主軸系統(tǒng)進(jìn)行建模，分析了結(jié)合面對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，主要工作包括:

(1)考慮主軸系統(tǒng)結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性，采用有限元分析方法，應(yīng)用Pipe16管單元和MATRIX27矩陣單元?jiǎng)?chuàng)建了主軸系統(tǒng)的有限元模型。

(2)通過(guò)對(duì)主軸系統(tǒng)固有特性分析，得出主軸－軸承結(jié)合面影響主軸系統(tǒng)剛體模態(tài);而主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面影響主軸系統(tǒng)的彈性模態(tài);考慮主軸系統(tǒng)全部結(jié)合面動(dòng)力學(xué)特性之后，主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)固有頻率有明顯降低。

(3)提出了基于有限元法的主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)分析流程。通過(guò)對(duì)主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的分析，得出主軸－軸承結(jié)合面影響刀尖點(diǎn)的低頻段的頻響函數(shù);而主軸－刀柄、刀柄－刀具結(jié)合面主要影響高頻段頻響函數(shù)。這與主軸系統(tǒng)固有特性分析結(jié)果一致，驗(yàn)證了固有特性分析的正確性和有限元法求解頻響函數(shù)的有效性。

［1] 關(guān)錫友，孫 偉.數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析方法研究［J] .機(jī)械強(qiáng)度，2009，31(4):629－633.

［2] 高尚晗，孟 光.機(jī)床主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究進(jìn)展［J] .振動(dòng)與沖擊，2007，26(6):103 －110.

［3] 高尚晗，龍新華，孟 光.主軸－滾動(dòng)軸承系統(tǒng)三種分岔形式［J] .振動(dòng)與沖擊，2009，28(4):59 －65.

［4] Li H Q，Yung C.Shin.Analysis of bearing configuration effects on high speed spindles using an integrated dynamic thermo-mechanical spindle model［J] .International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2004，44(4):347－364.

［5] Cao Y Z，Altintas Y.Modeling of spindle-bearing and machine tool systems for virtual simulation of milling operations［J] .International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2007，47(9):1342－1350.

［6] 楊明亞，楊 濤，湯本金，等.應(yīng)用有限元分析系統(tǒng)計(jì)算車(chē)床主軸的動(dòng)態(tài)特性［J] .機(jī)械工程與自動(dòng)化，2007，1(3):41－44.