孫啟國(guó)

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100144)

轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的研究一直是力學(xué)學(xué)科的研究熱點(diǎn)之一［1，2]。Antunes 等［3，4]基于整體流動(dòng)模型和 Hirs壁面摩擦系數(shù)方程，用解析方法研究了大間隙環(huán)流中偏心轉(zhuǎn)子的靜特性和動(dòng)特性。作者基于整體流動(dòng)模型和更為合理的Moody壁面摩擦系數(shù)方程，建立的大間隙環(huán)流中轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型，采用數(shù)值方法分析了大間隙環(huán)流中同心和偏心轉(zhuǎn)子的靜特性和動(dòng)特性［5－7]。然而，以上研究均做了“無(wú)限長(zhǎng)”大間隙環(huán)流的假設(shè)，即忽略了沿軸向變量變化的影響。這種假設(shè)僅適合于無(wú)軸向流動(dòng)的大間隙環(huán)流。因此，后來(lái)作者計(jì)入了大間隙環(huán)流軸向壓差等因素的影響，研究了同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)［8]。本文基于作者建立的大間隙環(huán)流中轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型，用攝動(dòng)法推導(dǎo)了有限長(zhǎng)偏心大間隙環(huán)流流場(chǎng)非線性控制方程的零階攝動(dòng)方程，該方程是一個(gè)非常復(fù)雜的三維偏微分方程組，其求解難度較大。本文提出了一種簡(jiǎn)化方法，該方法基于同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)［8]來(lái)計(jì)算三維偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)。最后應(yīng)用該方法對(duì)偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性進(jìn)行了分析。

1 理論分析

基于紊流整體流動(dòng)模型和Moody壁面摩擦系數(shù)方程，作者建立了大間隙環(huán)流中轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型，從而得到大間隙環(huán)流流場(chǎng)3D非線性微分方程組［5]:

式中:θ和z是周向和軸向坐標(biāo);r是轉(zhuǎn)子半徑;ω是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速;ρ是流體密度;μ是流體動(dòng)力粘度;p是流體壓力;u是流體速度;h是流體膜局部厚度;t是時(shí)間;下標(biāo)θ，z，r和s表示周向、軸向、轉(zhuǎn)子和靜子變量;fr和fs是轉(zhuǎn)子和靜子Moody壁面摩擦系數(shù)，

式中:c1，c2和 c3是 Moody實(shí)驗(yàn)常數(shù)，c1=0.001 375，c2=1×104，c3=5×105;e是壁面粗糙度。

圖1為有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流中偏心渦動(dòng)轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)示意圖，其中O1為靜子中心，O為轉(zhuǎn)子軸心，O2為轉(zhuǎn)子擾動(dòng)中心，r0為轉(zhuǎn)子擾動(dòng)半徑，動(dòng)態(tài)時(shí)O繞O2做小擾動(dòng)。

圖1 有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流中偏心渦動(dòng)轉(zhuǎn)子Fig.1 Eccentric whirling rotor in a finite-length large gap annular flow

令ε*為轉(zhuǎn)子軸心O在擾動(dòng)中心O2附近攝動(dòng)的攝動(dòng)變量，將h=h0+ε*h1，代入式(1)～式(3)中，得到零階攝動(dòng)方程:

式中:z和θ是方向坐標(biāo);下標(biāo)“z”和“θ”表示z和θ方向變量;該偏微分方程組出現(xiàn)了周向偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和，給求解帶來(lái)了一定困難，對(duì)于復(fù)雜的一階攝動(dòng)方程更是難以求解。對(duì)于同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流，其零階攝動(dòng)方程經(jīng)式(4)－(6)可簡(jiǎn)化為常微分方程組，求解零階攝動(dòng)方程組和一階攝動(dòng)方程組，可以求得同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)，請(qǐng)參見(jiàn)文［8] 。

針對(duì)以上方程組求解的困難，本文提出了一種簡(jiǎn)化的數(shù)值計(jì)算方法求解偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)，其基本思路為:設(shè)在x方向擾動(dòng)位移為x，流體激振力可用下式表示:

將大間隙環(huán)流圓周平分N份，如圖2所示，流體激振力可用N段合力表示:

圖2 有限長(zhǎng)偏心大間隙環(huán)流轉(zhuǎn)變?yōu)镹個(gè)間隙為hi的有限長(zhǎng)同心大間隙環(huán)流Fig.2 N finite-length concentric large gap annular flows that the gap equals hi got from a eccentric one

式中:C是待定常數(shù)，K(Φi)和k(Φi)為Φi位置上同心大間隙環(huán)流(同心大環(huán)流間隙為hi)的主剛度和耦合剛度。當(dāng)N→∞時(shí)，

在同心時(shí)K(Φi)和k(Φi)不隨Φi變化，其值等于Kxx和 Kxy，代入式(9)得 C=1/π，所以，

同理，得到:

采用同樣的方法，得到另外八個(gè)系數(shù):

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 與已有結(jié)果的比較

基于以上基本思路，采用采用Simpson數(shù)值積分方法計(jì)算了偏心有限長(zhǎng)環(huán)壓密封動(dòng)特性系數(shù)并與Kanki［9]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和 Andres［10]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了比較，如圖3所示。其主要計(jì)算參數(shù)為:er/(2h0)=es/(2h0)=0.0，l=D=0.2 m，ΔP=9.8 × 105Pa，C/r=0.005，ω=2 000 r/min。由圖3可見(jiàn)本文的計(jì)算結(jié)果與Andres的數(shù)值計(jì)算結(jié)果在多數(shù)計(jì)算點(diǎn)上吻合較好。例如當(dāng)偏心率為0.5時(shí)，剛度系數(shù) Kxx，Kyy，Kxy，Kyx的相對(duì)誤差分別為42%，27%，16%，7%;阻尼系數(shù) Dxx，Dyy，Dxy，Dyx的相對(duì)誤差分別為 6%，3.7%，9.6%，0%;慣性系數(shù) Mxx，Myy，Mxy，Myx的相對(duì)誤差分別為2.6%，0.3%，1.4%，8.7%與 Kanki的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在許多測(cè)點(diǎn)上也有較好的一致性。例如當(dāng)偏心率為0.45 時(shí)，剛度系數(shù) Kxx，Kyy，Kxy，Kyx的相對(duì)誤差分別為73%，12%，6.7%，24.9%;阻尼系數(shù) Dxx，Dyy，Dxy，Dyx的相對(duì)誤差分別為28%，14%，18%，16%;慣性系數(shù)Mxx，Myy的相對(duì)誤差分別為33%，36%。

圖3 本文計(jì)算結(jié)果與已有數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.3 Present results comparing with the existing numerical and experimental results

2.2 實(shí)例分析

本文以某浸在水中的離心泵轉(zhuǎn)子作為實(shí)例研究對(duì)象，分析偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性。主要計(jì)算數(shù)據(jù)為:流體密度 ρ=1.0×103kg·m－3，轉(zhuǎn)子半徑r=0.1 m，環(huán)流間隙 h0=1.01 ×10－2m，入口損失系數(shù)ξ=0.1，轉(zhuǎn)速 ω =6.0 ×103r/min，轉(zhuǎn)子表面相對(duì)粗糙度er/(2h0)=1.0 × 10－3，靜子表面相對(duì)粗糙度es/(2h0)=1.0×10－3，流體粘度 μ =1.3 ×10－3N·s/m2，入口壓力 pi=3.0 ×106Pa，出口壓力 p0=0.0 Pa，環(huán)流長(zhǎng)度l=5.8 ×10－2m，進(jìn)口相對(duì)旋轉(zhuǎn)速度 uθi/(rω)=0.2。

計(jì)算中先采用文［8] 的計(jì)算方法，求得同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)，然后采用上述簡(jiǎn)化的數(shù)值計(jì)算方法求得偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)。

圖4給出了一組不同偏心率下偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流動(dòng)特性系數(shù)的變化曲線。可見(jiàn)偏心大間隙和同心大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)［8]有許多相同與不同點(diǎn)，偏心大間隙環(huán)流動(dòng)特性系數(shù)與靜偏心有關(guān)，系數(shù)矩陣的主項(xiàng)不再相等，耦合項(xiàng)也不再反向?qū)ΨQ，特性系數(shù)主項(xiàng)隨著偏心率的增加而呈不同程度的指數(shù)增加。例如在偏心率ε從0.0變化到0.9時(shí)主剛度由－6.95×104N/m增加到1.93×106N/m，主阻尼項(xiàng)和主質(zhì)量項(xiàng)也分別增加了約100%和300%。說(shuō)明偏心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流動(dòng)特性系數(shù)在大偏心下會(huì)增大。

圖4 不同偏心率下有限長(zhǎng)偏心大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)Fig.4 Dynamic coefficients of a finite-length large gap annular flow under different eccentricity ratio

3 結(jié)論

(1)本文提出了基于同心有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)計(jì)算偏心大間隙環(huán)流的動(dòng)特性系數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。該方法具有簡(jiǎn)單方便等優(yōu)點(diǎn)。本文的計(jì)算結(jié)果與已有數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較表明，在多數(shù)計(jì)算點(diǎn)上兩者吻合較好;與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較表明，在許多測(cè)點(diǎn)上兩者也有較好的一致性。

(2)有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流動(dòng)特性系數(shù)不具備主項(xiàng)相等，耦合項(xiàng)大小相等、符號(hào)相反的特點(diǎn)，特性系數(shù)主項(xiàng)隨著偏心率的增加而呈不同程度的指數(shù)增加。在大偏心情況下有限長(zhǎng)大間隙環(huán)流中轉(zhuǎn)子動(dòng)特性系數(shù)會(huì)增大。

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