鐘煒輝，郝際平，雷 蕾

(1.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055;2.中國電力工程顧問集團(tuán) 西北電力設(shè)計(jì)院，西安 710075)

早期對(duì)軸心壓桿沖擊屈曲的研究方法大多以BR運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則［1]與放大函數(shù)法［2]為主，雖然這些方法本身存在著一定的不足，且在一定程度上掩蓋了屈曲問題的本質(zhì)，但作為一種便于計(jì)算機(jī)計(jì)算的實(shí)用屈曲準(zhǔn)則，仍得到廣泛的應(yīng)用［3，4]。而自上個(gè)世紀(jì)60年代以來，國外學(xué)者開始討論應(yīng)力波傳播對(duì)沖擊屈曲的影響［5，6]，國內(nèi)關(guān)于應(yīng)力波對(duì)沖擊屈曲影響的研究，具有代表性的工作有:朱兆祥［7]通過實(shí)驗(yàn)研究揭示了沖擊屈曲過程中的應(yīng)力波效應(yīng)，張善元等［8，9]就直桿沖擊分岔屈曲進(jìn)行的理論與實(shí)驗(yàn)研究，王安穩(wěn)［10，11]建立的直桿彈、塑性動(dòng)力屈曲能量準(zhǔn)則并提出了特征參數(shù)方法等。

實(shí)際上，作用在實(shí)際結(jié)構(gòu)上的沖擊荷載往往是相當(dāng)復(fù)雜的，但目前對(duì)于沖擊屈曲問題的研究，其沖擊荷載的形式大多集中在較為簡單的理想脈沖荷載與階躍荷載二者上，前者主要研究結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下被激發(fā)的行為，而后者則重點(diǎn)對(duì)應(yīng)力波傳播對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行分析。Youngdahl［12]與朱國琦［13]曾就沖擊荷載形式對(duì)結(jié)構(gòu)塑性動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行了討論，可以預(yù)見的是，沖擊荷載形式對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力屈曲有較大的影響。

圖1 雙參數(shù)沖擊荷載Fig.1 Two-parameters impact load

有鑒于此，本文試采用如圖1所示的非恒值沖擊荷載形式——雙參數(shù)沖擊荷載P(t)對(duì)彈性壓桿沖擊屈曲進(jìn)行分析，將雙參數(shù)沖擊荷載進(jìn)行等價(jià)矩形脈沖簡化，除對(duì)理想軸心壓桿建立沖擊分岔屈曲條件外，還對(duì)初始幾何缺陷軸心壓桿進(jìn)行分析，并通過有限差分法進(jìn)行計(jì)算，得出了雙參數(shù)沖擊荷載作用下彈性壓桿沖擊屈曲的計(jì)算方法。通過兩端簡支和兩端固定軸心壓桿沖擊屈曲算例，初步揭示了沖擊荷載形式對(duì)軸心壓桿動(dòng)力屈曲的影響規(guī)律，獲得了有價(jià)值的結(jié)論。

1 雙參數(shù)沖擊荷載的簡化

雙參數(shù)沖擊荷載(圖1)可以表示為:

式中:Pmax為雙參數(shù)荷載的最大值;tp為雙參數(shù)荷載的作用時(shí)間。

對(duì)軸心壓桿沖擊屈曲而言，雙參數(shù)沖擊荷載較階躍荷載要復(fù)雜得多，其主要原因是不同時(shí)刻不同桿件截面的受力情況并非僅與應(yīng)力波的傳播有關(guān)，還與雙參數(shù)沖擊荷載的Pmax與tp密切聯(lián)系。一個(gè)簡單、有效的做法就是參照Youngdahl的思路［12]將雙參數(shù)沖擊荷載近似看作由若干個(gè)矩形脈沖荷載組成(等價(jià)矩形脈沖，即令沖量面積與形心位置相同的脈沖來代替真實(shí)的沖擊荷載形狀)，再將各矩形脈沖荷載作用下的桿段組合起來，就可對(duì)雙參數(shù)沖擊荷載作用的軸心壓桿進(jìn)行近似分析，從而簡化計(jì)算。如圖2所示根據(jù)不同簡化精度的各矩形脈沖荷載大小分別為(m表示簡化的矩形脈沖荷載總數(shù)):

圖2 雙參數(shù)沖擊荷載的簡化Fig.2 Simplify two-parameters impact load

2 理想彈性壓桿的沖擊分岔屈曲

2.1 控制方程(組)

階躍荷載作用下理想軸心壓桿(如圖3所示)的沖擊屈曲控制方程(組)可以表示為:

圖3 階躍荷載作用下的軸心壓桿Fig.3 Axial compression bar under step load

可得:

式中:γ為一動(dòng)力參數(shù);κi=對(duì)于式(5a)，根據(jù)動(dòng)力參數(shù)γ取值不同，其解呈現(xiàn)不同特性，當(dāng)γ＜0時(shí)，為指數(shù)型發(fā)散解，形式為 T(t)=A eωt+B e－ωt(ω = －A、B為常數(shù))，表明系統(tǒng)在經(jīng)受微小擾動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)是無界的，處于不穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)應(yīng)動(dòng)力屈曲情況。當(dāng)γ＜0(即 κi＜0)時(shí)式(5b)有解:

(Ⅲ)當(dāng)4κi＜ －＜0時(shí)

2.2 連續(xù)條件

各桿段間的連續(xù)條件可表示為(定義不同應(yīng)力桿段的交界處為Li，i+1，分 段 規(guī)則如圖4所示):

圖4 桿件分段規(guī)則Fig.4 Rule for segmentation of bar

2.3 補(bǔ)充定解條件

相比于靜力屈曲，由于式(5a)中動(dòng)力參數(shù)γ的引入，通過積分常數(shù)的齊次方程組獲得的沖擊分岔屈曲條件中存在著兩個(gè)未知參量(P與γ)，因此類似靜力屈曲建立屈曲條件的方法只能得出兩個(gè)未知參量的關(guān)系而不能確定其值，有必要補(bǔ)充新的定解條件。根據(jù)文獻(xiàn)［10] “直桿發(fā)生分岔屈曲的瞬間所釋放出的壓縮變形能等于屈曲所需變形能與屈曲動(dòng)能之和”以及“在能量轉(zhuǎn)換過程中能量對(duì)時(shí)間的變化率服從守恒定律”的思想，可建立關(guān)于軸心壓桿的沖擊分岔屈曲補(bǔ)充定解條件［11]:

2.4 沖擊分岔屈曲條件

由式(6a)～式(6c)可知，各桿段的解Vi均有4個(gè)待定積分常數(shù)，因此可通過桿件兩端4個(gè)邊界條件以及各桿段間的4個(gè)連續(xù)條件，獲得關(guān)于4n個(gè)積分常數(shù)的齊次方程組，進(jìn)而建立沖擊分岔屈曲條件，從而求得桿件在不同時(shí)刻下的沖擊屈曲荷載及相應(yīng)屈曲模態(tài)［14]。

2.5 理想彈性壓桿的沖擊分岔屈曲計(jì)算

雙參數(shù)沖擊荷載作用下理想彈性壓桿的動(dòng)力屈曲計(jì)算應(yīng)根據(jù)不同的矩形脈沖荷載作用區(qū)域?qū)U件劃分成若干個(gè)桿段，而簡化的矩形脈沖荷載個(gè)數(shù)越多，荷載越精確，將使問題求解的計(jì)算量越大。

表1列出了兩端簡支和兩端固定理想彈性壓桿的首階沖擊屈曲荷載Pdcr(對(duì)應(yīng)著式(1)中的Pmax)及相應(yīng)動(dòng)力參數(shù)ω，對(duì)比了兩種荷載簡化情況的影響(m分別取 1、3)，同時(shí)對(duì)荷載作用時(shí)間 tp分別取 t0.5、t1.0(即應(yīng)力波傳播至桿件中央和遠(yuǎn)端的時(shí)間)進(jìn)行了計(jì)算。由表中可以看出，m=3的沖擊屈曲荷載Pdcr相比m=1的情況略小(除兩端簡支tp=t1.0時(shí))，而相應(yīng)動(dòng)力參數(shù)ω則偏大，這主要是因?yàn)樵诰植織U段上存在著相對(duì)較大的桿件應(yīng)力，致使桿件容易發(fā)生屈曲，同時(shí)也使桿件的屈曲變形發(fā)展較快。

表1 理想彈性壓桿的沖擊屈曲Tab.1 Impact buckling of ideal elastic compression bars

3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲

3.1 控制方程

如圖5所示具有初始幾何缺陷(初彎曲)的軸心壓桿，其沖擊屈曲控制方程為:

式中:v0為桿件的初始橫向位移。由于上式不易獲得精確的解析解，因此本文采用有限差分法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。

圖5 初始幾何缺陷軸心壓桿Fig.5 Axial compression bar with initial imperfection

3.2 有限差分格式

控制方程式(9)含有z與t兩個(gè)未知量，因此對(duì)其需進(jìn)行空間與時(shí)間上的離散。如圖6所示將桿件沿其長度z方向等分成n段，每段長度為Δl=l/n。若設(shè)第i段末端的位移為vi，則中心差分格式為:

將上式代入式(9)可得第i點(diǎn)的差分方程:

式中:·v·表示橫向位移對(duì)時(shí)間的兩階導(dǎo)數(shù)。圖6中的v－1與vn+1可根據(jù)不同邊界條件而定，若為簡支則v－1=－ v1、vn+1= － vn－1，若為固定則 v－1=v1、vn+1=vn－1。

圖6 有限差分法的空間離散Fig.6 Discrete space of finite difference method

其次，進(jìn)行時(shí)間離散，可得k時(shí)刻各離散點(diǎn)位移vi，k的中心差分格式(時(shí)間步長為Δt):

將上式第二式代入式(9)可得第i點(diǎn)在k時(shí)刻的差分方程:

由上式可見，只要知道k及k－1時(shí)刻各離散點(diǎn)的位移v，就可求得k+1時(shí)刻各點(diǎn)的橫向位移，依此類推。當(dāng)k=0時(shí)，由式(12)整理可得:

上述有限差分計(jì)算時(shí)時(shí)間步長Δt的選取應(yīng)小于由所求解方程性質(zhì)決定的某個(gè)臨界值Δtcr，否則算法是不穩(wěn)定的，本文將Δtcr定義為軸向應(yīng)力波在兩相鄰離散點(diǎn)之間的傳播時(shí)間。

3.3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲計(jì)算

對(duì)于兩端簡支和兩端固定軸心壓桿的初始幾何缺陷形式如表2所示。表3列出了兩端簡支和兩端固定初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲系數(shù)ζ(ζ=vm/v0m，vm、v0m分別為桿件最大撓度與初始幾何缺陷最大撓度)，對(duì)比了三種荷載簡化情況(m分別取1、3、5)和兩種沖擊荷載的影響，同時(shí)對(duì)荷載作用時(shí)間tp分別取t0.5、t1.0和桿件長細(xì)比 λ 分別取 50、100 進(jìn)行了計(jì)算。

表2 軸心壓桿的初始幾何缺陷形式Tab.2 Initial imperfection forms of axial compression bars

表3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲Tab.3 Impact buckling of elastic compression bars with initial imperfection

由表中可以看出，荷載簡化精度m對(duì)沖擊屈曲系數(shù)ζ的影響不大，比較m=1與m=5的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，誤差通常在5%左右，且一般不超過10%，即雙參數(shù)沖擊荷載采用沖量相等的原則來簡化計(jì)算是可行而有效的。m=1相對(duì)于m=3、5由于首先輸入的應(yīng)力較大，其作用在構(gòu)件的時(shí)間最長，因此隨著m的增大，沖擊屈曲系數(shù)ζ(絕對(duì)值，后同)應(yīng)會(huì)有所減小。但實(shí)際上，沖擊屈曲系數(shù)ζ會(huì)隨著時(shí)間t的增加而呈非線性增大，若后續(xù)輸入的應(yīng)力較大，則也有可能會(huì)出現(xiàn)沖擊屈曲系數(shù)ζ隨著m的增大而增大的現(xiàn)象。另外，沖擊荷載的增加會(huì)使沖擊屈曲系數(shù)ζ增大，但由于本文是在彈性小變形范圍內(nèi)進(jìn)行計(jì)算的，因此沖擊屈曲系數(shù)ζ隨沖擊荷載的非線性變化不明顯。對(duì)于兩端固定軸心壓桿，初始幾何缺陷1所產(chǎn)生的屈曲變形大多偏大。

圖7 初始幾何缺陷兩端簡支軸心壓桿的沖擊屈曲變形Fig.7 Impact buckling deformations of elastic compression bars with initial imperfection of both ends simple supported

初始幾何缺陷兩端簡支軸心壓桿的沖擊屈曲變形如圖7所示(圖中縱坐標(biāo)均進(jìn)行了歸一化處理，后同)。由圖中可以看出，m=5時(shí)桿件的最大橫向變形(峰值)相對(duì)于m=1偏向于沖擊端，表現(xiàn)出雙參數(shù)沖擊荷載所產(chǎn)生的變形與階躍荷載的差異，但二者差別不大。

初始幾何缺陷兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形如圖8所示。由圖中可以看出，固定邊界條件將對(duì)桿件屈曲變形有重要影響，會(huì)使桿件出現(xiàn)較大的反向橫向變形，并且隨著時(shí)間的增大(應(yīng)力波傳播更充分)，正向橫向變形發(fā)展相對(duì)迅速，且隨著長細(xì)比λ的增大，該現(xiàn)象越顯著。荷載簡化精度m的變化對(duì)兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形有一定影響，比兩端簡支的影響要大，這主要是由于邊界條件使桿件發(fā)生較大的局部變形所造成的。

圖8 初始幾何缺陷兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形Fig.8 Impact buckling deformations of elastic compression bars with initial imperfection of both ends fixed

4 結(jié)論

(1)雙參數(shù)沖擊荷載作用下彈性壓桿的沖擊屈曲問題研究可采用等價(jià)矩形脈沖的方法對(duì)荷載進(jìn)行簡化，本文對(duì)理想的和初始幾何缺陷的彈性壓桿沖擊屈曲分別進(jìn)行了分析和計(jì)算。

(2)雙參數(shù)荷載的簡化精度對(duì)理想彈性壓桿沖擊分岔屈曲的計(jì)算量有重要影響，從本質(zhì)上看是改變了桿件不同位置處的剛度，大體上所得沖擊屈曲荷載將比實(shí)際情況要小，但沖擊屈曲變形發(fā)展卻要快。

(3)雙參數(shù)荷載的簡化精度對(duì)初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲計(jì)算影響較小，但當(dāng)邊界條件是固定時(shí)，桿件會(huì)出現(xiàn)顯著的反向變形，此時(shí)不同情況下桿件的正、反向變形變化將有顯著差異。

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