吳 曉

(湖南文理學(xué)院，常德 415000)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。物體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，取決于物體的質(zhì)量、形狀和回轉(zhuǎn)軸的位置。對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從外形尺寸及其質(zhì)量求出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的只能從回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中去測(cè)得。三線擺法是通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)運(yùn)慣量的一種常見方法。此方法已成功地用在公斤級(jí)小人造衛(wèi)星、吸排油煙機(jī)的葉輪、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)等產(chǎn)品的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試中。一般三線擺扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是非線性振動(dòng)，只有當(dāng)給三線擺扭轉(zhuǎn)一個(gè)小于6°的初始角后，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)才可以近似為線性振動(dòng)［1－8]。文獻(xiàn)［2－4] 都是把三線擺處理為線性振動(dòng)后，推導(dǎo)出扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率計(jì)算公式。如扭轉(zhuǎn)初始角大于6°以后，采用線性振動(dòng)理論推導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算會(huì)帶來一定的誤差。但是，扭轉(zhuǎn)初始角太小又給測(cè)試實(shí)驗(yàn)帶來不便。因此，只有利用非線性振動(dòng)理論研究三線擺的扭轉(zhuǎn)固有振動(dòng)，推導(dǎo)出計(jì)算精度高、表達(dá)形式簡(jiǎn)便的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率計(jì)算公式，才能很好地解決上述矛盾。

1 三線擺扭轉(zhuǎn)振動(dòng)近似解

當(dāng)圖1所示三線擺扭轉(zhuǎn)θ角后(θ角不限于很小)，圓盤的位置升高為h，它的勢(shì)能增加為Ep，則有下式成立:

式中:m0為下圓盤的質(zhì)量，g為重力加速度。

當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)角為θ時(shí)，具有的動(dòng)能為:

式中:I0為下圓盤對(duì)O1O2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

如果略去摩擦力，按機(jī)械能守恒定律，圓盤的勢(shì)能與動(dòng)能之和應(yīng)等于一常量，即:

圖1 三線擺示意圖Fig.1 Sketch map of trilinear pendulum

設(shè)懸線長(zhǎng)l，上圓盤半徑為r，下圓盤半徑為R。當(dāng)下圓盤轉(zhuǎn)一角度θ時(shí)，從上圓盤B點(diǎn)作下圓盤垂線，與升高h(yuǎn)前、后的下圓盤分別交于C和C'則:

因?yàn)?

而(BC+BC')可近似為兩盤間距離d0的二倍，則:

把式(6)代式(3)中并對(duì)t微分可得:

取sinθ泰勒級(jí)數(shù)展開式前三項(xiàng)代入上式中可得:

在式(8)中引入“人工攝動(dòng)參數(shù)”且令τ=ωt可以得到:

令式(9)的初始條件為:

令:

把式(11)代入式(9)中可以得到下式:

把式(9)的解表示為系數(shù)待定的傅里葉級(jí)數(shù):

為了使式(13)滿足初始條件式(10)，可補(bǔ)充條件:

把式(13)代入式(12)中利用系數(shù)待定法及式(14)可以求得:

當(dāng)下圓盤放上一質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的重物時(shí)，三線擺的振動(dòng)周期為，所以由以上各式可得:

利用式(16)、式(17)可得被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

在式(18)中當(dāng)R=r時(shí)，式(18)即可化為:

采用式(19)即可計(jì)算文獻(xiàn)［1，2] 所采用三線擺所測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 計(jì)算分析

當(dāng)把圖1所示三線擺處理為線性振動(dòng)即簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，可知其振動(dòng)周期為，由此可知三線擺的非線性振動(dòng)周期與簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期比值為下面把三線擺振動(dòng)周期與簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的比值列在表1中，以便討論分析。

表1 三線擺振動(dòng)周期比值Tab.1 Ratio of trilinear pendulum's vibrating period

從表1可以看出，本文給出的三線擺振動(dòng)頻率公式計(jì)算結(jié)果與精確解吻合得相當(dāng)好，這說明式(15)的計(jì)算精度很高，而且式(15)的表達(dá)形式也很簡(jiǎn)便。當(dāng)三線擺轉(zhuǎn)角超過10°時(shí)，按線性振動(dòng)理論計(jì)算的結(jié)果與非線性振動(dòng)理論計(jì)算的結(jié)果誤差達(dá)到0.2%以上，這與文獻(xiàn)［1] 的誤差分析是一致的。三線擺轉(zhuǎn)角不超過45°時(shí)，線性振動(dòng)理論的計(jì)算結(jié)果與非線性振動(dòng)理論的計(jì)算結(jié)果誤差不超過4%。

由文獻(xiàn)［9] 可知，若采用三條擺線相互平行的三線擺測(cè)試物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，要求扭轉(zhuǎn)角小于6°時(shí)才可使用公式，即必須保證測(cè)試系統(tǒng)為線性的。

由于文獻(xiàn)［2] 沒有給出三條擺線相互平行三線擺擺盤的有關(guān)參數(shù)，因此無法把本文方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［2] 測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比較。

為驗(yàn)證本文方法可靠性，采用三條擺線相互平行三線擺進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。擺盤為標(biāo)準(zhǔn)樣件的實(shí)心圓鋼盤。圓鋼盤密度 ρ=7.8×103kg/m3，鋼盤半徑 R0=7.19 ×10－2m 圓鋼盤厚 δ=1.15 ×10－2m，擺線長(zhǎng) d0=1.928 m，圓盤重心到擺線與圓盤固結(jié)點(diǎn)的距離 r=5×10－2m。

由以上計(jì)算參數(shù)可知圓鋼盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I'0==37.64 ×10－4kg·m2。

當(dāng)三線擺扭轉(zhuǎn)角等于18°時(shí)，可測(cè)得三線擺的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)周期為 T0=2.869 5 s。

當(dāng)R=r時(shí)，由式(16)可以得到:

把有關(guān)參數(shù)代入式(20)中可知I0=38.157 4×10－4kg·m2。把實(shí)驗(yàn)結(jié)果I0與理論值I'0進(jìn)行比較，可知二者誤差為1.374 6%。

從以上分析可知，本文方法計(jì)算精度較高，且不受扭轉(zhuǎn)角小于6°的限制，而且計(jì)算過程也比較簡(jiǎn)便。

3 結(jié)論

(1)三線擺轉(zhuǎn)角較大時(shí)，應(yīng)采用非線性振動(dòng)理論來測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(2)本文給出的三線擺振動(dòng)頻率公式計(jì)算精度較高且表達(dá)形式簡(jiǎn)潔，完全可以取代已有的三線擺振動(dòng)頻率計(jì)算公式并在工程實(shí)際中應(yīng)用。

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