王樹強(qiáng),王 可,孫興偉,劉希敏

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽 110870；2.沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽 110142)

螺旋定子內(nèi)螺旋曲面反求建模方法研究

王樹強(qiáng)1,2,王 可1,孫興偉1,劉希敏2

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽 110870；2.沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽 110142)

等壁厚橡膠襯套螺旋定子的出現(xiàn),大幅提高了螺桿鉆具和螺桿泵的性能。針對(duì)該種定子金屬殼內(nèi)螺旋曲面的復(fù)雜性和型線表達(dá)的不確定性,文章研究了采用NURBS構(gòu)造螺旋定子端面型線及螺旋曲面的表達(dá)式。提出了根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)反求定子內(nèi)螺旋曲面的兩種方法,通過CAD軟件的二次開發(fā)實(shí)現(xiàn)了螺旋定子內(nèi)螺旋曲面的三維建模,為定子及其加工刀具廓形的設(shè)計(jì)和制造提供了技術(shù)支持。

螺旋定子；NURBS；內(nèi)螺旋曲面；反求建模

0 引言

傳統(tǒng)的螺桿螺旋定子金屬殼體內(nèi)表面是光滑的內(nèi)圓柱面,新型的螺旋定子內(nèi)孔具有多頭、細(xì)長和連續(xù)光滑的特點(diǎn)。該種定子內(nèi)表面的橡膠層厚度均勻,大幅度提高了螺桿泵和馬達(dá)的各項(xiàng)性能[1]。螺旋定子的型線設(shè)計(jì)決定了螺桿鉆具性能的優(yōu)劣[2]。傳統(tǒng)的馬達(dá)定子型線是不等厚橡膠層的內(nèi)側(cè)輪廓曲線,新型定子型線是金屬殼體的內(nèi)輪廓曲線,需要重新計(jì)算。傳統(tǒng)的定子型線為不等壁厚橡膠層的內(nèi)螺旋曲面截面型線,金屬定子殼體的內(nèi)螺旋曲面型線設(shè)計(jì)和定子內(nèi)螺旋曲面的加工技術(shù)需做進(jìn)一步的研究。

NURBS方法可以精確地表示二次規(guī)則曲線(面),從而能用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式表示規(guī)則曲線(面)和自由曲線(面),并且具有可影響曲線曲面形狀的權(quán)因子,使形狀更易于控制和實(shí)現(xiàn)。本文將NURBS理論應(yīng)用到螺旋定子端面型線以及內(nèi)螺旋齒面的反求建模,從而為螺旋定子的設(shè)計(jì)與反求提供一種新的方法。

1 離散數(shù)據(jù)點(diǎn)截面型線的NUEBS數(shù)學(xué)模型

無論采用哪一種型線來設(shè)計(jì)制作螺桿鉆具馬達(dá)定子,工程上會(huì)遇到型線的替代和修正問題。依照傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法,型線都是用一定的解析式表示的,隨著定子型線段組成的增多,設(shè)計(jì)每一種型線所需的方程就越多,這不僅使計(jì)算量增加,也使設(shè)計(jì)周期變長,嚴(yán)重影響了設(shè)計(jì)效率以及后續(xù)的制造過程中刀具廓形設(shè)計(jì)或者刀具軌跡的生成。有很多螺旋曲面截面型線是由試驗(yàn)或測(cè)量得到離散點(diǎn)的坐標(biāo)值給出的,沒有統(tǒng)一的方程表示。因此,采用離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線擬合方法來表示定子的端面齒形以及內(nèi)螺旋齒面,可提高設(shè)計(jì)效率,也為刀具軌跡的生成提供了光滑的型線。有文獻(xiàn)[3]提出了采用三次樣條插值函數(shù)來逼近螺桿轉(zhuǎn)子截面型線的方法,不過在采用三次樣條方法擬合時(shí),要求在某一區(qū)間內(nèi)擬合的坐標(biāo)一定要單凋,否則無法得到所需的擬合方程,當(dāng)曲率較大時(shí),擬合曲線容易發(fā)生失真。

NURBS所具有的很多的優(yōu)點(diǎn)使其成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)參數(shù)曲而造型中通用的表達(dá)形式,有相關(guān)文獻(xiàn)[4-8]就NURBS曲線曲面的數(shù)學(xué)定義和一些相關(guān)算法應(yīng)用進(jìn)行了討論和研究。

已知n+1個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…n)的k次NURBS曲線表示為:

式中,pi為控制頂點(diǎn)；wi為控制頂點(diǎn)的權(quán)因子；Bik(ci)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1…,un]決定的k次規(guī)范B樣條基函。

將獲得的定子一個(gè)齒的型線離散點(diǎn)作為型值點(diǎn),用3次NURBS曲線表示定子端面型線,只需求出控制頂點(diǎn)pi(i=0,1,…n+1)和其相應(yīng)的權(quán)因子wi,3次B樣條基函數(shù)Bi,3(ci)可由遞推公式表示:

由已知的n+1個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)和已反算出的控制頂點(diǎn)權(quán)因子,根據(jù)式(2)可獲得控制頂點(diǎn)pi。

NURBS曲線節(jié)點(diǎn)矢量的確定采用三維坐標(biāo)下的累加弦長參數(shù)化法即可求得,端點(diǎn)的切失可由貝塞爾條件確定。

2 反求方法及實(shí)體建模

2.1 已知型線類型反求成形參數(shù)

螺桿馬達(dá)定子理論型線有普通內(nèi)擺線等距型線、普通外擺線等距型線、內(nèi)、外擺線法型線、短幅外擺線等距型線和短幅內(nèi)擺線等距型線[2]。以國內(nèi)外普遍使用的短幅內(nèi)擺線等距線為例,根據(jù)短幅內(nèi)擺線的成形原理,方程為:

式中,R為導(dǎo)圓半徑；r為滾圓半徑；φ是兩圓心連線與X軸夾角；Z=R/r是內(nèi)擺線的分支數(shù)；K為變幅系數(shù)。以6頭定子為例,其截面曲線根據(jù)方程(4)可獲得,如圖1所示,這里稱為骨線。

圖1 螺旋定子截面型線

根據(jù)等距線方程,易推導(dǎo)出短幅內(nèi)擺線等距線方程。多頭定子的截面型線在尖點(diǎn)處采用圓弧替代,方程為:

式中,Re為等距半徑；Z為頭數(shù)；φk=2nπ/Z,n取0～(Z-1)時(shí)某個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的角度對(duì)同一齒頂來說為一常量。δ為φk終止線與該圓弧半徑線逆時(shí)針方向的夾角。

內(nèi)擺線等距線部分方程為:

式中,Re為等距半徑；R,r分別為等距線導(dǎo)圓半徑和滾圓半徑,i為從零位計(jì)算的頭序數(shù)。

在已知線型類型為內(nèi)擺線等距線和定子頭數(shù)的情況下。根據(jù)圓弧替代部分測(cè)量數(shù)據(jù)可獲得等距半徑Re和圓心坐標(biāo)P1,在廓形齒頂點(diǎn)沿廓形法線方向可獲得內(nèi)擺線最低點(diǎn)P2。將以上兩點(diǎn)坐標(biāo)代入(1)式,可獲得擺線成形參數(shù)R和r,然后根據(jù)方程(5)和(6)求得截面輪廓曲線。

2.2 離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的NURBS表示過程

不確定型線類型直接根據(jù)有序離散數(shù)據(jù)點(diǎn)反求截面輪廓曲線可采用NURBS擬合方法。擬合過程的點(diǎn)云數(shù)據(jù)NURBS曲線表示具體步驟:

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理,采用弦高差法剔除壞點(diǎn),提取特征點(diǎn)；

(2)累積弦長參數(shù)化確定節(jié)點(diǎn)矢量；

(3)求出非均勻B樣條基函數(shù)；

(4)若所有特征數(shù)據(jù)點(diǎn)的重要程度相同,則令數(shù)據(jù)點(diǎn)權(quán)因子w=1,反算控制頂點(diǎn)權(quán)因子；

(5)通過貝塞爾條件確定端點(diǎn)切矢,反算控制頂點(diǎn)；

(6)在[[0,1]范圍內(nèi),均分節(jié)點(diǎn)矢量。計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)位置,仿真截面型線輪廓曲線。

3 參數(shù)化設(shè)計(jì)程序

基于圖形模板的參數(shù)化設(shè)計(jì)和基于程序的參數(shù)化設(shè)計(jì)是兩種主要的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法[8]。本文采用基于參數(shù)化程序的設(shè)計(jì)方法,即遵循點(diǎn)、線、面、體的方式進(jìn)行。該方法可通過 UG/Open API、UG/Open Grip來實(shí)現(xiàn)。Uf_call_grip函數(shù)用于UG/Open API調(diào)用UG/Open Grip,其調(diào)用的Grip程序是經(jīng)過編譯和連接后的grx程序。Grip程序利用UFARGS接收UF_args_s數(shù)組中的參數(shù)。

參數(shù)化建模程序的流程如圖2所示。

以某6頭螺桿鉆具頭定子為例,導(dǎo)程780mm,大徑 Φ 129.3,小徑 Φ 97.33。通過兩種反求方法獲得的結(jié)果基本一致。建模結(jié)果如圖3所示。

圖2 參數(shù)化建模程序流程

圖3 螺旋定子的實(shí)體建模

4 結(jié)束語

根據(jù)螺旋定子的型線理論,介紹了設(shè)計(jì)定子內(nèi)螺旋曲面的方法。采用NURBS統(tǒng)一表示了由離散點(diǎn)形成內(nèi)螺旋曲面的數(shù)學(xué)模型。介紹了反求定子內(nèi)螺旋曲面的方法,并采用CAD二次開發(fā)軟件成形對(duì)內(nèi)螺旋曲面進(jìn)行了計(jì)算機(jī)輔助建模,為定子內(nèi)螺旋曲面的仿真加工提供了可靠的實(shí)體模型。

[1]韓傳軍,邱亞玲,劉清友,等.螺桿鈷具等壁厚襯套性能分析[J].西南石油大學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(4):163-165.

[2]蘇義腦.螺桿鉆具研究及應(yīng)用[M].北京:石油工業(yè)出版社,2001.

[3]王可,趙巍,顧可民,等.螺旋曲面廓型的數(shù)值擬合方法研究[J].沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,24(2):91-94.

[4]周紅梅,王燕銘,劉志剛,等.基于最少控制點(diǎn)的非均勻有理B樣條曲線擬合[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2008,42(1):73-77.

[5]Dalibor Marti?ek,Jana Proch á zková,Brno,Relation Between Algebraic and Geometric View on NURBS Tensor Product Surfaces[J],APPLICATIONS OF MATHEMATICS,2010,55(5):419-430.

[6]陳紹平.二次NURBS曲線的插值與應(yīng)用[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2001(9):691-692.

[7]Y.Bazilevs?T.J.R.HughesNURBS-based isogeometric analysis for the computation of flows about rotating components[J],Comput Mech,2008,43:143-150.

[8]黃勇.UG/Open API、MFC和COM開發(fā)實(shí)例精解[M].北京:國防工業(yè)出版社,2009.

Study on Reverse Metod of Solid Molding for the Inner Helicoids in Helical Stator

WANG Shu-qiang1,2,WANG Ke1,SUN Xing-wei1,LIU Xi-min2
(1.Shenyang University of Technology,School of Mechanical Engineering,ShenYang 110870,China；2.Shenyang University of Chemical Technology,School of Mechanical Engineering,ShenYang 110142,China)

The new type stator which has an equal thickness rubber bushing increases the performance of the PDM and screw pump substantially.Acording to the complexity of the helical surface and the uncertainty of the expression for the cross-section profile,this article concluded the equations of the the metal stator whose cross section curve is an equidistance of curtate hypocycloid.Then the mathematical expression for the cross-section of the stator and the inner helicoids which based on MURBS were studied.The article proposes reverse methods based on the discrete points data in resolving the helical surface of the stator and implementes three-dimensional solid molding of the stator automatically using computer-aided program.The conclusion will provide technical support for the design and manufacturing of the helical stator and for the calculation of the contour of cutting tools.

helical stator；inner helicoids；NURBS；reverse solid molding

TH123；TE924

A

1001-2265(2011)10-0021-03

2011-03-31

王樹強(qiáng)(1978—),男,山東德州人,沈陽化工大學(xué)講師,博士研究生,主要研究方向?yàn)槁菪龣C(jī)械設(shè)計(jì)理論及應(yīng)用,(E-mail)wsqwsq-200@126.com；通訊作者:劉希敏(1979—),女遼寧葫蘆島人,沈陽化工大學(xué)講師,碩士,主要研究方向?yàn)楣こ虉D形,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì),(E-mail)lxmlxm-2001@163.com。

(編輯 趙蓉)