叢春曉,劉 恒,呂凱波,景敏卿

(西安交通大學機械電子及信息系統(tǒng)研究所,西安 710049)

細長軸切削的非線性系統(tǒng)動力穩(wěn)定性分析*

叢春曉,劉 恒,呂凱波,景敏卿

(西安交通大學機械電子及信息系統(tǒng)研究所,西安 710049)

為了研究細長軸切削過程中的振動特征以及穩(wěn)定性,運用軸承轉子非線性分析理論研究非線性滾動軸承力和非線性切削力作用下的系統(tǒng)穩(wěn)定性及失穩(wěn)分叉規(guī)律。建立了非線性切削力模型和細長軸的有限元分析模型。通過周期解、Poincaré截面映射圖確定系統(tǒng)的運動特性。經(jīng)過計算,系統(tǒng)的失穩(wěn)分叉方式是同步周期解經(jīng)Hopf型偽周期分叉產生偽周期解。與空轉情況相比,切削狀態(tài)下的細長軸分叉點轉速下降近80%,且其分叉點轉速范圍較窄。在系統(tǒng)參數(shù)中,穩(wěn)定性規(guī)律對轉軸長徑比和軸承剛度的變化比較敏感。通過雙主軸驅動的細長軸切削實驗可以得出,失穩(wěn)前后系統(tǒng)的頻率變化特征和運動形態(tài)與計算結果一致。為提高切削穩(wěn)定性,失穩(wěn)顫振的預測和監(jiān)測提供理論依據(jù)。

細長軸；非線性動力特性；穩(wěn)定性；分叉

0 引言

在車削軸類零件的過程中,動態(tài)切削力和振動位移會相互耦合形成自激振動。當切削軸剛度較大時,系統(tǒng)的切削穩(wěn)定性主要取決于刀具,可以把軸當作剛體。由于細長軸的柔性較大,在切削力的作用下容易激起振動,加工質量難以保證,所以其加工穩(wěn)定性一直是學者們的研究對象。并且目前的車刀剛性也較大,所以細長軸的結構振動對切削穩(wěn)定性的影響不能忽視。以前一般把細長軸當成剛支簡化梁來進行研究,趙海濤[1]建立了細長軸車削時的簡化受力模型,并在此基礎上對細長軸的振動作了理論研究。隨著轉子動力學的發(fā)展成熟,柔性轉子的研究成果應用于對切削振動的分析上,鄒亞平[2]利用轉子動力學的方法對切削振動進行了研究,考慮了不同參數(shù)對振動的影響。在解析法穩(wěn)定性分析中,由于分析方法的限制,軸承力和切削力多簡化為線性力[3]。為了研究切削系統(tǒng)的非線性動力特性,通過建立非線性模型,對轉子進行有限元離散的數(shù)值分析方法可以對非線性動力系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。TIWARI[4]建立了非線性滾動軸承支承的轉子模型。張偉剛[5]等建立了6自由度的機床主軸-滾動軸承系統(tǒng),進行非線性動力學研究。J.-J.SINOU[6]用Timoshenko梁軸單元對軸承——轉子系統(tǒng)進行了有限元建模,并研究了非線性滾動軸承力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

結合雙電主軸驅動的車削機床(圖1)的結構特點,本文將細長軸的切削系統(tǒng)簡化成滾動軸承支承的柔性轉子。將軸承-轉子非線性動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分叉理論運用到對細長軸切削加工穩(wěn)定性的分析上。研究該柔性轉子在非線性軸承力和非線性切削力作用下的振動特性。求出切削加工前后的自激振動失穩(wěn)轉速以及失穩(wěn)形式。并研究了軸承接觸剛度系數(shù)、長徑比對穩(wěn)定性分叉規(guī)律的影響。最后通過在車銑復合中心上的細長軸車削實驗,將實驗數(shù)據(jù)與理論計算結果進行驗證。為切削參數(shù)的確定,失穩(wěn)顫振的預測和監(jiān)測提供理論依據(jù)。

圖1 雙電主軸車削機床

1 切削力和滾動軸承力的非線性分析模型

1.1切削力模型

在切削過程中,工件的振動位移會通過切削厚度的改變來影響切削力,產生動態(tài)切削力,形成自激效應。為了對切削系統(tǒng)進行振動特性研究,需要確定非線性動態(tài)切削力分析模型,建立如圖2所示的軸類零件切削力模型。

圖2 軸類零件切削力模型

設在切削過程中軸心的振動位移為x,y,則

由于振動產生的切削深度變化量為

瞬時切削深度ap=ap′+Δ ap,ap′為理論切削深度(mm),r為軸的半徑。

切削寬度b=ap/sinα,α為刀具主偏角。

切削厚度 h=f?sin α+Δ ap?cosα,f為理論軸向進給量(mm/r)。

動態(tài)切削力為:

Kd為切削力系數(shù)(N/mm2)[7]。

1.2 角接觸球軸承的支承力模型

在加工機床中,主軸的支承多為角接觸球軸承。根據(jù)赫茲彈性接觸理論,第j個滾動體與滾道間的局部接觸力Qj與彈性變形 δj之間的關系可表示為[4]:

其中Kn為單個滾珠的接觸剛度系數(shù)(N/mm1.5)。

角接觸軸承軸向預緊后,第j個滾動體的彈性變形表示為:

式中ds為接觸阻尼,其大小和等效剛度系數(shù)的關系為:

dk為軸承阻尼系數(shù)(0.25 ×10-5～2.5 ×10-5)[8]。

2 非線性動力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 穩(wěn)定性分叉規(guī)律的數(shù)值分析方法

為了對非線性系統(tǒng)進行數(shù)值法穩(wěn)定性分析,采用Timoshenko梁軸有限元單元[9]對轉子系統(tǒng)進行離散。由于非線性特征在軸承和切削點的區(qū)域,所以系統(tǒng)屬于高維局部非線性系統(tǒng),為了保證完整分析整個系統(tǒng)的動態(tài)特性,同時減小計算量,采用模態(tài)綜合法將非線性節(jié)點自由度保留在物理空間,將線性部分轉化到模態(tài)空間,實現(xiàn)系統(tǒng)降維[10]。

獲取縮減后的系統(tǒng)質量、阻尼和剛度矩陣后,建立系統(tǒng)運動方程:

其中F=Fg+Fb+Fex+Fc；Fg為重力向量,Fb為軸承力向量,Fex為不平衡外激勵力向量,Fc為非線性切削力向量。

研究非線性動力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解隨外參數(shù)變化的分叉規(guī)律,用打靶法求解系統(tǒng)的周期解,然后用CPNF(Continued-Poincar é-Newton-Floquet)[11]方法追蹤預估外參數(shù)變化時的周期解。對非線性動力系統(tǒng)的周期解的判穩(wěn)以及分叉形式通過對周期解的狀態(tài)轉移矩陣的特征值(Floquet乘子)的結構分析得出[12]。

結合以上理論,建立如圖3所示的細長軸切削模型,其中細長軸分成8段,整個轉子分成10段,共11個節(jié)點,其中非線性滾動軸承力加在2和10節(jié)點上。自由度縮減時保留3個節(jié)點(軸承2和10,切削點6),保留8階低階模態(tài)。

圖3 軸承轉子有限元模型

2.2 無切削力時的e-ω圖

在不加切削力的情況下,細長軸受非線性軸承力和軸段質量偏心的影響,取細長軸長度320mm,軸徑20mm,軸承剛度系數(shù)Kn=5.465 ×1010N/m1.5,經(jīng)過計算可得分叉點轉速隨質量偏心變化的e-ω圖如圖4a所示。

圖4 轉速變化圖

從圖中可以看出,不加切削力時轉子系統(tǒng)的分叉點轉速在5000 ～20000rpm區(qū)域內,取出細長軸的質量偏心為0.2mm的一組參數(shù)進行研究,其振動位移隨轉速變化的分叉圖如圖4b所示。轉速從9000rpm到11000rpm之間的Floquet乘子的變化規(guī)律如表1所示。

表1 無切削力時Floquet乘子 λ的變化

可見轉速經(jīng)過10000rpm時,有一對Floquet乘子以復共軛方式穿出復平面上的單位圓,同步周期解經(jīng)Hopf型偽周期分叉產生偽周期解,在分叉點前后各取一點研究其特性,當轉速9000rpm時,節(jié)點6的同步周期解以及細長軸各節(jié)點的解如圖5所示,當轉速為11000rpm時,節(jié)點2和節(jié)點6的偽周期解以及其在Poincar é截面上的投影如圖6所示。

圖5 轉速9000rpm時節(jié)點6的同步周期解和細長軸運動

圖6 轉速11000rpm時節(jié)點2的偽周期解和Poincaré maps

圖7 轉速11000rpm時細長軸的偽周期運動

2.3 加上動態(tài)切削力時的e-ω分叉規(guī)律

為了考慮在加工狀態(tài)下質量偏心的不同對穩(wěn)定性的影響,給定切深ap=0.5mm,則系統(tǒng)的e-ω圖如圖8所示。

圖8 切深0.5mm時的e-ω圖和偏心0.2mm的分叉圖

從圖中可知,系統(tǒng)的分叉點轉速在2050 ～2130rpm區(qū)域內,在100rpm以內,與無切削力時相比,分叉點轉速的變化范圍很小,可見切削過程中系統(tǒng)的分叉點對質量偏心的變化比較不敏感。同樣取出細長軸的質量偏心為0.2mm的一組參數(shù)進行研究。其轉速從1800rpm到2200rpm之間的Floquet乘子的變化規(guī)律如表2所示。

表2 切削深度0.5mm時Floquet乘子的變化

轉速經(jīng)過2129rpm時,同步周期解經(jīng)Hopf型偽周期分叉產生偽周期解。當轉速2000時,節(jié)點6的同步周期解,Poincar é截面圖以及細長軸各節(jié)點的解如圖9,10所示。轉速2200時,節(jié)點2和節(jié)點6的偽周期解以及其Poincar é截面圖如圖11所示。

圖9 轉速2000rpm節(jié)點6的同步周期解和Poincaré maps

圖10 轉速2000rpm時細長軸的運動情況

通過與上圖的對比可以發(fā)現(xiàn),空轉時轉子的運動是以靠近原點處為中心的同步周期運動,其穩(wěn)定振動的幅值較大。切削狀態(tài)下轉子的運動中心偏離原點較大,而其穩(wěn)定振動幅值較小。

圖11 轉速2200rpm節(jié)點6的偽周期解和Poincaré maps

由以上結果可得,與空轉情況相比,切削狀態(tài)下的細長軸分叉點轉速大幅下降,由10000rpm附近降到2100rpm附近,降幅近80%,且其分叉點轉速范圍較窄。兩種情況下的失穩(wěn)分叉方式都是同步周期解經(jīng)Hopf型偽周期分叉產生偽周期解。

3 實驗分析和驗證

通過數(shù)值方法的計算,可以確定非線性切削系統(tǒng)的失穩(wěn)頻率特征和運動特征。為了驗證計算結果,設計雙主軸驅動的細長軸切削實驗,實驗在車銑復合中心(CHD25A)上進行,實驗方案如圖12所示,實驗參數(shù)和設備類型如表3所示。在實驗中通過改變切削參數(shù),采集系統(tǒng)穩(wěn)定切削和不穩(wěn)定切削兩種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)。通過頻域分析和軸心軌跡對切削軸的振動進行研究,分析數(shù)據(jù)并與計算結果進行對比。

表3 實驗參數(shù)和設備

圖12 車銑復合中心和實驗方案

從圖13～14中的實驗結果可以看出在穩(wěn)定切削時,細長軸的加工表面比較光滑,振動較為平穩(wěn),通過頻率分析可以看出,振動頻率以工頻為主。通過數(shù)值計算可得,切削系統(tǒng)失穩(wěn)以前的運動形式為同步周期解(圖15,圖中w為系統(tǒng)振動頻率,w1為工作頻率),振動頻率為工頻(w/w1=1),計算結果與實驗數(shù)據(jù)一致。

圖13 穩(wěn)定切削時的表面質量和軸件的時域波形

圖14 穩(wěn)定切削時的主頻率和軸心軌跡

圖15 計算得到的穩(wěn)定振動主頻率和同步周期解

當切削深度等參數(shù)改變,系統(tǒng)可能發(fā)生失穩(wěn)顫振,從圖16 ～17中可以看出,細長軸加工表面粗糙,系統(tǒng)的振動位移較大,系統(tǒng)的主頻率發(fā)生變化,以3倍頻為主,且運動軌跡較為混亂。不易滿足加工表面質量的要求。數(shù)值計算結果顯示(圖18),系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的形式為同步周期解分叉形成偽周期運動,偽周期運動的主頻率為3倍頻(w/w1=3)。實驗結果和計算結果也相一致。

圖16 切削失穩(wěn)時的表面質量和時域波形

圖17 切削失穩(wěn)主頻率和軸心軌跡

圖18 通過計算的偽周期主頻率和運動軌跡

4 系統(tǒng)參數(shù)的改變對穩(wěn)定性分叉集的影響

4.1 細長軸長徑比變化的影響

在細長軸的加工中,對轉軸長徑比比較敏感,長徑比越大,轉軸柔性越大,越難加工。設軸徑不變,可以通過改變細長軸的長度來研究細長軸在不同長徑比情況下的分叉規(guī)律,參數(shù)Kn=1.095×1010N/m1.5,轉軸直徑20mm,取切削深度0.5mm,分別取長度400mm,360mm,320mm(長徑比分別為20,18,16)三組細長軸進行研究,其穩(wěn)定性分叉規(guī)律如圖19所示,其中縱坐標為切削寬度,橫坐標為轉速。

圖19 細長軸的長徑比變化對分叉集的影響

從圖中可以看出細長軸長度越小,其分叉點轉速越高,切深0.5mm時三組長徑比的分叉點分別為2763rpm,4200rpm,5639rpm,可見當轉軸長徑比由16增加到20,分叉點轉速減小了51%。從圖中還可以看出,分叉曲線不是單調的,不是切深越小越穩(wěn)定,理想的切削深度都在0.5mm左右。所以在加工過程中應盡量減小加工部分的長度并合理的調整切削深度。

4.2 軸承剛度系數(shù)變化的影響

在機床加工過程中,主軸的旋轉特性對加工有很大影響,機床主軸多采用角接觸球軸承支承,軸承安裝方式以及預緊狀態(tài)的差異都對轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響。預緊狀態(tài)的不同可以導致角接觸球軸承的接觸剛度不同,取三組不同的接觸剛度系數(shù),研究軸承接觸剛度系數(shù)對穩(wěn)定性分叉規(guī)律的影響。如圖20所示,可以分析得出,在不考慮旋轉精度的情況下,接觸剛度系數(shù)越小,分叉轉速越大,穩(wěn)定區(qū)域越大。圖21為接觸剛度不同時節(jié)點2的周期解情況,可以看出,接觸剛度系數(shù)越小,周期解的振幅越大,旋轉精度越差。因此需要考慮穩(wěn)定性和加工質量的雙重因素來適當?shù)恼{整軸承的剛度系數(shù)。

圖20 軸承接觸剛度系數(shù)對穩(wěn)定性分叉規(guī)律的影響

圖21 軸承接觸剛度系數(shù)對旋轉精度的影響

5 結束語

(1)建立了細長軸的非線性有限元分析模型進行穩(wěn)定性分析。與空轉情況相比,切削狀態(tài)下的細長軸分叉點轉速大幅下降,降幅近80%,且其分叉點轉速范圍較窄。兩種情況下的失穩(wěn)分叉方式都是同步周期解經(jīng)Hopf型偽周期分叉產生偽周期解。

(2)通過進行細長軸的切削實驗發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)失穩(wěn)前后的振動特征在時域上和頻域上都與理論分析相一致。穩(wěn)定切削是工頻為主的同步周期運動,失穩(wěn)切削是以3倍頻為主的偽周期運動。失穩(wěn)后的表現(xiàn)形式為振幅的增大和振動主頻率的轉變,為失穩(wěn)顫振的預測和監(jiān)測提供理論依據(jù)。

(3)穩(wěn)定性規(guī)律對轉軸長徑比和軸承剛度系數(shù)比較敏感。減小長徑比能大幅度的提高系統(tǒng)的加工穩(wěn)定性。理想的切削深度在0.5mm左右。軸承接觸剛度系數(shù)越小,穩(wěn)定區(qū)域越大而旋轉精度越差,提高穩(wěn)定性需要適當?shù)恼{整軸承的剛度系數(shù)。

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Nonlinear Dynamics Stability Analysis of Cutting a Slender Shaft

CONG Chun-xiao,LIU Heng,LU Kai-bo,JING Min-qing
(Institute of Mechatronics and Information Systems,Xi'an Jiaotong University,Xi'an 710049,China)

To study the vibration characteristics and stability while cutting a slender shaft,the system's stability and bifurcation are researched under the effect of the nonlinear ball bearing force and the cutting force using the nonlinear dynamics analysis theory of rotor bearing system.The nonlinear cutting force model and finite element analysis model of slender shaft are established.The system's motion characteristics are determined by the periodic solution and Poincar émaps.The analysis result shows that system's instability bifurcate way is the synchronized periodic solution turn into quasi-periodic solution through Hopf quasi-periodic bifurcation.The speed of bifurcation point in cutting condition is reduced by 80%compared to no cutting system,and the speed has small change.Stability rules are more sensitive to the stiffness on bearings and length-diameter ratio changes on shaft.The frequency and motion characteristics in stable and unstable experiments agree well with the theory results.Which provides the theory basis for prediction and monitoring of chatter.

slender shaft；nonlinear dynamics characteristic；stability；bifurcation

TG519.1；O347.6

A

1001-2265(2011)10-0040-05

2011-02-23；

2011-04-11

國家機床重大科技專項(2009ZX04001-071)；國家自然科學基金面上項目(51075315)；軸研所主軸項目(2010ZX04012-014)；國家973計劃項目(2007CB707705)；國家863計劃項目(2007AA04Z432)

叢春曉(1985—),男,山東煙臺人,西安交通大學機電信息研究所研究生,主要從事機床的加工振動研究,(E-mail)cong.chun@stu.xjtu.edu.cn。

(編輯 趙蓉)