黃 河，趙澤茂

(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江杭州310018)

0 引言

低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check，LDPC)碼是一種基于稀疏矩陣的線性分組碼，然而由于提出時計算機處理能力的限制和相關(guān)理論的薄弱，該碼并未引起人們的重視［1］。近年來人們重新研究了LDPC碼，使這種優(yōu)秀的編碼理論開始復(fù)興。LDPC碼通常采用置信傳播(Belief Propagation，BP)譯碼算法，而BP譯碼算法只有在校驗矩陣中無環(huán)的情況下才能實現(xiàn)錯誤概率最小的最佳譯碼，因此使用BP譯碼算法難以達到最優(yōu)的譯碼效果。準循環(huán)LDPC碼是最為典型的結(jié)構(gòu)化構(gòu)造方法，由于其便于硬件實現(xiàn)，同時還有良好的譯碼性能，已被多個通信標準所采用。另外，利用有限幾何的方法構(gòu)造出了不含4環(huán)的LDPC碼［2］，其碼長和碼率范圍大，性能良好。本文基于光正交碼的特性提出的準循環(huán)LDPC碼的構(gòu)造方法也是一種結(jié)構(gòu)化的構(gòu)造方法，其校驗矩陣不含長度為4和6的環(huán)路，并且具有良好的性能。

1 準循環(huán)LDPC碼的特性

準循環(huán)LDPC碼是一類非常具有特點的結(jié)構(gòu)化LDPC碼，其結(jié)構(gòu)特點大大地簡化了編譯碼復(fù)雜度，可以采用移位寄存器在線性時間內(nèi)完成編碼。這些優(yōu)良的特性，使其極具應(yīng)用價值。準循環(huán)LDPC碼的校驗矩陣H以單位矩陣的循環(huán)移位矩陣和相同維數(shù)零方陣為子陣。通常，準循環(huán)LDPC碼的校驗矩陣可表示為

式中，I表示 L ×L 維單位矩陣，αi，j表示單位矩陣向右循環(huán)移動的位數(shù)，αi，j∈{－1，0，1，…，L －1}，1≤i≤m，1≤j≤n。當 αi，j= －1 時，定義 I(αi，j)為全零矩陣;當 αi，j非負時，I(αi，j)為單位矩陣的循環(huán)移位矩陣?？梢詫⒀h(huán)移位參數(shù)αi，j構(gòu)成矩陣:

矩陣B被稱為校驗矩陣H的移位參數(shù)矩陣。一般情況下，當移位參數(shù)矩陣確定后，校驗矩陣H相應(yīng)的也就確定了。

移位參數(shù)矩陣B中每一條長度為2l的環(huán)路中各個點均不為負值，其環(huán)路可以表示為(αi0，j0，αi0，j1，αi1，j1，…，αil－1，jl－1，αil－1，j0，αi0，j0)。

根據(jù)文獻3對準循環(huán)LDPC碼的研究，有如下性質(zhì)及推論。

2 光正交碼的特性

光正交碼是為碼分多址光纖信道設(shè)計的一種專用碼［4］，提出后得到人們的廣泛關(guān)注，并取得了很多研究成果，其碼字數(shù)量較為豐富。

定義 光正交碼記為(n，ω，λa，λc)，是由一組互異的，長度為n，碼重為ω的0、1序列組成的碼的集合，并且每個碼字(x0，x1，…，xn－1)的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)和任意兩個相異碼字(x0，x1，…，xn－1)與(y0，y1，…，yn－1)之間的循環(huán)互相關(guān)函數(shù)分別滿足:

這里的光正交碼是根據(jù)周期相關(guān)來定義的，下標“⊕”是模n加，xi，yi∈{0，1}。式中λα為循環(huán)自相關(guān)值，λc為循環(huán)互相關(guān)值，當 λα=λc=λ 時，光正交碼可記為(n，ω，λ)。

本文中所使用的光正交碼均是λ=1時產(chǎn)生的光正交碼，即(n，ω，1)光正交碼。如果(n，ω，1)光正交碼碼集中碼字個數(shù)等于(n－1)/ω(ω－1)，那么這個光正交碼稱為最優(yōu)光正交碼。本文中所使用的光正交碼并不要求其一定是最優(yōu)光正交碼，主要是利用了光正交碼碼字的循環(huán)自相關(guān)和循環(huán)互相關(guān)特性。

現(xiàn)假設(shè)含有m個碼字的(n，ω，1)光正交碼集，其中每個碼字通過循環(huán)移位生成方陣Mi，1≤i≤m，構(gòu)造出矩陣M=[M1M2… Mm]，M是一個0，1矩陣。由于方陣Mi是循環(huán)移位矩陣，故其各列相當于其各行的翻轉(zhuǎn)。根據(jù)(n，ω，1)光正交碼的自、互相關(guān)特性，可得出矩陣M中任意兩列的內(nèi)積不會大于1，也就是說任意兩列中最多有一個“1”元素重合，故可得矩陣M不含長度為4的環(huán)。但是不能保證矩陣M中不含有長度為6的環(huán)。如果直接對M用L×L階單位循環(huán)矩陣填充的話，長度為6的環(huán)的數(shù)量將增長L倍。

3 準循環(huán)LDPC碼的構(gòu)造方法

由于用BP譯碼算法時，短環(huán)對譯碼性能影響很大，應(yīng)盡量避免短環(huán)的存在，(n，ω，1)光正交碼的循環(huán)自相關(guān)與循環(huán)互相關(guān)特性的約束，可以保證構(gòu)造的校驗矩陣中不含長度為4的環(huán)路，然后再利用第2節(jié)的推論可以消去所有長度為6的環(huán)路。

通常構(gòu)造準循環(huán)LDPC碼需要兩個步驟:首先確定移位參數(shù)矩陣;然后用循環(huán)移位矩陣對移位參數(shù)矩陣進行填充。本文提出的基于光正交碼的準循環(huán)LDPC碼的構(gòu)造方法具體步驟如下:

(1)根據(jù)所需LDPC碼的列重、行重、碼長、碼率等參數(shù)，確定所需光正交碼的個數(shù)m、光正交碼的碼長n以及單位循環(huán)移位矩陣的維數(shù)L×L;

(2)從選中的光正交碼集中取出m個不同的碼字，將這m個碼字分別循環(huán)右移，生成m個方陣M1，M2，…，Mm，將這m個方陣組合成矩陣M=[M1M2… Mm]，pi，j為矩陣 M 中的元素;

(4)由于矩陣M中不含長度為4的環(huán)路，故經(jīng)過步驟3后，移位矩陣B中依然不含長度為4的環(huán)路。然后檢驗移位參數(shù)矩陣B中的非零元素是否完全滿足第2節(jié)的推論。如果不完全滿足推論，則對移位矩陣B中的非負元素進行修正，使這些非負元素完全滿足推論。經(jīng)過這個步驟后，該移位矩陣構(gòu)造的校驗矩陣將不含長度為4和6的環(huán)路;

(5)最后根據(jù)移位矩陣B中的參數(shù)αi，j，使用相同維數(shù)的全零矩陣、單位矩陣、單位矩陣循環(huán)右移αi，j位的矩陣來填充移位參數(shù)矩陣，這樣即可得到一個碼率為(m－1)/m的校驗矩陣H。

本文提出的構(gòu)造方法參數(shù)選擇比較靈活，通過調(diào)整光正交碼的長度、個數(shù)和循環(huán)置換矩陣的維數(shù)等來確定碼字的碼長及碼率。由于光正交碼碼字數(shù)量較為豐富，故LDPC碼的碼長、碼率的設(shè)計也比較靈活。

4 仿真結(jié)果及分析

在加性高斯白噪聲信道下，對本文新方法構(gòu)造的準循環(huán)LDPC碼采用高斯消元法進行編碼，然后使用BP譯碼算法進行譯碼仿真，仿真工具使用Matlab，仿真中采用BPSK調(diào)制，最大迭代次數(shù)為100次。

仿真1 選取(21，3，1)光正交碼集，然后選取該碼集的兩個相異碼字，通過第3節(jié)中提出的構(gòu)造方法構(gòu)造準循環(huán)LDPC碼，分別設(shè)置循環(huán)移位矩陣的維數(shù)為24和48，分別構(gòu)造出碼長為504和1 008的準循環(huán)LDPC碼，兩者碼率均為1/2，并選取Mackay構(gòu)造法［5］構(gòu)造的相同碼長、碼率的碼字做為比較對象。仿真結(jié)果如圖1所示，其中OOCQC為本文構(gòu)造的LDPC碼，從圖1中可以看出本文構(gòu)造的準循環(huán)LDPC碼在兩種長度下的性能均優(yōu)于Mackay碼，并且在誤碼率達到10－6時，并未出現(xiàn)誤碼平臺。

仿真2 根據(jù)(27，3，1)光正交碼碼集構(gòu)造出的碼長為1 296的LDPC碼，碼率分別為3/4，2/3，1/2。仿真結(jié)果如圖2所示，不同碼率相同碼長的LDPC碼在誤碼率達到10－6時，并未出現(xiàn)誤碼平臺。

圖1 在碼長為504和1008時與Mackay碼的比較

圖2 在碼率為3/4，2/3，1/2時的性能

以上仿真結(jié)果表明，新構(gòu)造的基于光正交碼構(gòu)造的準循環(huán)LDPC碼具有良好的性能，性能優(yōu)于Mackay構(gòu)造法，并且在誤碼率達到10－6數(shù)量級時，仍然沒有出現(xiàn)誤碼平臺。Mackay構(gòu)造法構(gòu)造的校驗矩陣雖不存在長度為4的環(huán)路，但是存在一定數(shù)量的長度為6的環(huán)路，可以看出這些短環(huán)對譯碼性能還是有一定的影響的。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于光正交碼的特性構(gòu)造準循環(huán)LDPC碼的方法，構(gòu)造出了不存在長度為4和6的環(huán)路的準循環(huán)LDPC碼。仿真結(jié)果表明，在采用BP譯碼算法時本文構(gòu)造的準循環(huán)LDPC碼具有良好的性能，且在誤碼性能達到10－6數(shù)量級時，并未出現(xiàn)誤碼平臺。同時，可以靈活地調(diào)整LDPC碼的碼長及碼率，使其在應(yīng)用中有更多的選擇。

［1］ Gallgaer R G.Low density parity check codes［J］.IRE Transactions Information Theory，1962，8(1):21 －28.

［2］ Kou Y，Lin S，F(xiàn)ossorier M P C.Low density parity check codes based on finite geometries:A rediscovery and new results［J］.IEEE Trans on Information Theory，2001，47(7):2 711 －2 736.

［3］ Fossorier M P.Quasi-cyclic low density parity check codes from circulant permutation matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，2004，50(8):1 788 －1 793.

［4］ 楊淑雯.全光光纖通信網(wǎng)［M］.北京:科學出版社，2004:336－257.

［5］ Mackay D J C.Good Error-Correcting Codes Based on Very Spase Matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，1999，27(5):399－431.